Модули Контрольная Работа 10 Класс
Модули Контрольная Работа 10 Класс
В статье на конкретных примерах рассматриваются некоторые методы решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком абсолютной величины, в том числе решение уравнений и неравенств с параметрами.
1. Определение и свойства модуля действительного числа
Напомним определение модуля действительного числа:
Определение 1 . Модулем действительного числа а называется число , равное самому числу а, если оно неотрицательное и противоположному для а числу, если оно отрицательно.
Таким образом, по определению имеем:
Перечислим основные свойства модуля числа, которые в дальнейшем будем учитывать при решении уравнений и неравенств:
Замечание 1 . Известно, что любое действительное число а можно интерпретировать, как точку на числовой оси. В связи с этим геометрически – это расстояние от начала координат до точки а . При этом величина задает расстояние между точками а и b на числовой оси.
2. Методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, могут быть использованы следующие методы:
- раскрытие модуля по определению;
- возведение обеих частей уравнения в квадрат;
- разбиение области решения уравнения на промежутки знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля.
Каждый из этих методов рассмотрим на конкретном примере и сделаем необходимые обобщения.
Решение. 1-й способ. Воспользовавшись определением модуля получим совокупность двух систем: 1) или 2) . Решим каждую из этих систем: 1) ; 2) х = 0.
2-й способ. Так как обе части уравнения неотрицательны, то возведя их в квадрат, получим уравнение равносильное данному: , учитывая свойство 3, будем иметь: х1 = 0; .
Решение. 1-й способ. Уединим выражение, содержащее знак абсолютной величины . Воспользовавшись определением модуля получим совокупность двух систем: 1) ; 2) . Решив полученные системы найдем корни первоначального уравнения: ; .
2-й способ. Возведем обе части уравнения в квадрат, потребовав при этом, чтобы . Получим систему: . Решая полученную систему, получим те же корни. Ответ: ; .
Замечание 2 . Уравнение вида может быть решено двумя методами:
- по определению модуля оно равносильно совокупности двух уравнений:
- возведением обеих частей уравнений в квадрат. Учитывая свойство 3, получится уравнение , равносильное данному.
Замечание 3 . Уравнение вида может быть решено двумя методами:
- по определению модуля оно равносильно совокупности двух систем:
- возведением обеих частей уравнений в квадрат. Учитывая, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной, получится система:
Решение. Обе части уравнения неотрицательны, поэтому, возведя их в квадрат и учитывая свойство модуля 3, получим уравнение равносильное данному:
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение: , решив которое найдем корни первоначального уравнения: ; . Ответ: ; .
Замечание 4. Уравнения вида удобно решать методом возведения обеих частей в квадрат, если f ( x ) и g ( x ) – многочлены первой степени.
Решение. 1) Найдем значения переменной, обращающие выражения, стоящие под знаком абсолютной величины в нуль: ; ; .
2) Нанесем полученные значения на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определим знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины:
3) Пользуясь определением модуля и используя п. 2 раскроем на каждом из интервалов все знаки модулей:
4) Решим каждое из полученных уравнений: при : х = –2 это значение в интервал не входит; при : х = –2 полученное значение входит в обозначенный интервал; при : ни при каких значениях х уравнение решений не имеет; при : х = –2 в данный интервал это значение не входит.
5) Таким образом, уравнение имеет единственный корень х = –2, так как это значение входит в один из интервалов. Ответ: х = –2.
Замечание 5 . Алгоритм, с помощью которого было решено уравнение, можно обобщить для решения любого уравнения, содержащего несколько модулей:
1) Найти значения переменной, обращающие выражения стоящие под знаком абсолютной величины в нуль;
2) Все найденные значения нанести на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определить знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины;
3) Учитывая получившиеся знаки, воспользоваться определением модуля и раскрыть на каждом из интервалов все знаки модулей;
4) Решить каждое из полученных уравнений и из их решений выбрать те, которые принадлежат соответствующему интервалу, они и будут являться решениями первоначального уравнения.
Решение. Заметим, что слагаемые в знаменателе неотрицательны, следовательно сумма равна нулю в том и только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Ни при каких значениях переменной этого произойти не может, т. е. знаменатель дроби при любом значении х отличен от нуля.
Для решения воспользуемся сформулированным алгоритмом.
4) Выбирая из полученных решений те, которые принадлежат соответствующим промежуткам, получим: ; ; .
3. Методы решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
Для того чтобы решить неравенство, содержащее неизвестную под знаком абсолютной величины, можно разбить область допустимых значений неравенства на интервалы, в которых выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют знак. На каждом таком интервале решить неравенство (раскрыв предварительно знак абсолютной величины). Объединение полученных решений и будет являться решением первоначального неравенства
Решение. Под знаком модуля стоит квадратный трехчлен, найдем промежутки его знакопостоянства: при и значения трехчлена неотрицательно; при значения трехчлена отрицательны. Учитывая это решим неравенство на каждом из полученных интервалов:
Объединив найденные на каждом интервале решения, получим решение первоначального неравенства: и х = 4. Ответ: [1; 3], 4.
Решение. По определению модуля имеем совокупность двух систем:
Решая системы, получим: или . Окончательно получаем ответ.
Замечание 6 . В общем случае неравенство вида в соответствии с определением модуля имеет решение только в случае, когда . Неравенство вида при выполняется во всей области определения функции .
Решение. 1-й способ. Воспользовавшись определением модуля, получим совокупность двух систем:
Решая эти системы получим: и . Окончательно получаем
2-й способ . Введем новую переменную , получим неравенство не содержащее знаков модуля: . Решая полученное неравенство методом интервалов, получим: . Перейдем к переменной х : , откуда . Ответ:
Замечание 7. Если неравенство содержит несколько одинаковых выражений под знаками модуля (как это было в примере 8), то его удобно решать методом замены переменной.
4. Уравнения и неравенства с параметрами
Пример 9. При всех а решить уравнение и определить, при каких а оно имеет ровно два решения .
Решение. Сначала воспользуемся алгоритмом, изложенным в замечании 5.
1) Найдем значения переменной, обращающие выражения, стоящие под знаком абсолютной величины в нуль: ; .
2) Нанесем найденные значения на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определим знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины:
3) Пользуясь определением модуля и используя п. 2 раскроем на каждом из интервалов все знаки модулей.
При уравнение будет иметь вид: , откуда имеем:
Исследуем решения этого уравнения в зависимости от параметра а .
Если а = –1, то (1) примет вид тождества 0 = 0, и решением уравнения (1) будут все . …………………………………………………………………………………….(2)
Если же , то из (1) х = –3, но это значение не входит в исследуемый интервал.
При уравнение будет иметь вид: , откуда имеем:
Если а = 1, то (3) примет вид тождества 0 = 0, и решением уравнения (3) будут все . …………………………………………………………………………….(4)
Если , то из (1) х = –3…………………………………………………………(5)
Если а = –1, то полученное уравнение решений не имеет. ……………………………(6)
Если , то . Выясним при каких значениях а полученное значение х будет входить в исследуемый интервал:
При остальных значениях а на этом интервале уравнение решений не имеет.
Сделаем выводы по проведенному исследованию. Уравнение будет иметь различные решения при: ; ; ; а = 1; . Из (5) следует, что при корень уравнения х = –3; из (2) и (5) следует, что при решениями уравнения будут и х = –3; из (5) и (7) следует, что при решениями уравнения будут х = –3 и , именно на этом интервале уравнение имеет ровно два решения; из (4) и (7) следует, что при а = 1 уравнение имеет решения и = 2; из (5) следует, что при решением уравнения будет х = –3.
Ответ: при х = –3; при ; при х = –3, ; при а = 1 ; при х = –3.
Пример 10. При всех значениях а решить неравенство
Решение. 1. В соответствии с замечанием 6 неравенство при решений не имеет.
2. Пусть . Определим промежутки знакопостоянства выражения, стоящего под знаком модуля: ; ; .
3. Решим неравенство на каждом из полученных интервалов.
Если , то , следовательно, имеем или
Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства (1) равен , причем так как , . Поэтому квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства (1) имеет два действительных корня. Решая неравенство (1) относительно переменной х , получим:
Заметим, что при каждом положительном а верны неравенства
Окончательно на этом интервале, получаем, что для любого положительного а решением неравенства будут числа из интервала: .
Если , то , следовательно имеет место неравенство
Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства (4) равен . Тогда неравенство (4) при имеет место при любом действительном х .
Если квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства (4) имеет два действительных корня, поэтому, решая неравенство (4) относительно переменной х , получим: и . Заметим, при этом, что при справедливы неравенства:
Тогда на этом интервале окончательно получаем: при решением неравенства является отрезок ; при решение неравенство состоит их двух промежутков: и .
Если , то , следовательно, имеем или
Решая это неравенство на этом интервале, получаем: .
Сделаем выводы по проведенному исследованию: из п.1 следует, что при неравенство решений не имеет; учитывая неравенства (2), (3), (5) при решением неравенства являются интервалы: и ; учитывая (2) при неравенство имеет решение: .
Ответ: при неравенство решений не имеет; при имеет решения:
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием для учащихся 10 классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее 20 баллов (каждая правильно решенная задача оценивается в 3 балла)
М10.3.5. При всех а решить уравнение
М10.3.10. При всех а решить неравенство .
Алфавит: А •
Б •
В •
Г •
Д •
Е •
З •
И •
К •
Л •
М •
Н •
О •
П •
Р •
С •
Т •
У •
Ф •
Ц •
Ч •
Ш •
Э
Я
Авторам
Открыть сайт
Войти
Пожаловаться
Copyright © 2009-2020 Pandia . Все права защищены
Мнение редакции может не совпадать с мнениями авторов.
Автоответчик: +7 495 7950139 228504
Реклама на сайте
Ограничения, условия, порядок работы
Размещение статей
Рассылка
Правила пользования Сайтом
Правила публикации материалов
Как сделать запрос на удаление материала
Политика конфиденциальности и обработки персональных данных
При перепечатке материалов ссылка на pandia.ru обязательна.
Минимальная ширина экрана монитора для комфортного просмотра сайта: 1200 пикселей.
Мы признательны за найденные неточности в материалах, опечатки, некорректное отображение элементов на странице - отправляйте на support@pandia.ru
Контрольная работа №3 для 10 классов по математике 2008 год
Проверочная работа по математике на тему " Модуль . Уравнения...
Уравнения и неравенства с модулем | Контрольные , курсовые...
Профильное обучение - Методический портал | Из опыта работы
Алгебра 10 класс . Самостоятельные и контрольные
Сочинение Нужна Ли Человеку Мечта
Реферат На Тему Лактазная Недостаточность У Детей
Какого Числа Пишут Декабрьское Сочинение 2021
Как Делать Курсовую Работу По Экономике
Значение Образования Ссср Эссе