Множина Мандельброта

Іноді нескладні на вигляд послідовності можуть утворювати зображення, яке багатьом може видатися творчістю відомого і дуже талановитого художника. Сьогодні ми розглянемо один із таких випадків.

Простими словами, на кожній наступній ітерації ми підносимо число до квадрата і додаємо сталу комплексну константу c, залишаючи початкову точку незмінною. Якщо ж константа c залишається фіксованою, а змінним є початкове значення z0​, то отримуємо множину, названу на честь видатного математика Гастона Жюліа.

Перейдемо до того, як саме ми отримуємо таку картинку та що стоїть за її магічними розфарбуваннями.

Для кожної точки з коплексної площини будується послідовність, яка складається із деякої (досить великої) кількості операцій. Якщо послідовність залишається збіжною, то точка фарбується у чорний колір, інакше – у білий або блакитиний (залежить від побажання митця).

Так чому ж на більшості зображень ці малюнки різнобарвні?

Усе досить просто. Варто лише поглянути на графік, та помітити, що межа області не є гладкою. Для деяких точок послідовність стає розбіжною після 5 ітерацій, а для інших через 100000. Тому, залежно від цього показника, математики вирішили фарбувати точки у різні градієнтні кольори.

Трохи цікавих фактів про цю множину:

1. Візуально, всередині множини Мандельброта можна виділити нескінченну кількість елементарних фігур. Це схоже на набір овалів, розмір яких поступово зменшується, прямуючи до нуля. Цей процес триває нескінченно, утворюючи фрактал. Проте також утворються інші фігури, гілки, які за своєю будовою не схожі на попередні фігури. Фрактали були описані Мандельбротом у 1975 році в його книзі «Фрактальні об'єкти: форма, випадковість і розмірність». У ній науковець вперше використав термін «фрактал» для позначення математичного феномена, який демонструє настільки непередбачувану і дивну поведінку.
2. Ця множина повністю міститься у колі радіуса 2, що робить її обмеженою, а також вона є звʼязною та має нескінченну складність.
3. За допомогою множини Мандельброта можна досліджувати динамічні системи, моделювати випадкові процеси, аналізувати турбулентності та хвильові процеси. І це ще далеко не усі її застосування.

Найчастіше під назвою «множина Мандельброта» розуміється тільки множина, описана вище. Однак будь-яка функція комплексної змінної має відповідну множину Мандельброта, що також характеризується наявністю або відсутністю зв'язної множини Жюліа.

Хоч і класичні аналоги на комплексних числах існують тільки в розмірності, рівній степеню 2, розглядався також тривимірний аналог. Він отримав назву лампочка Мандельброта.

Пошук гарних зображень множини Мандельброта – цікаве хобі для дуже багатьох людей. Вони збирають колекції таких зображень, причому кожне з них може бути описане невеликою кількістю параметрів, наприклад, просто координатами центра.

Якщо вам цікаво дізнатися більше, переходьте за посиланням та переглядайте більш детальне відео побудови та розфарбування множини.

А також пишіть свої враження у коментарях та діліться улюбленими теоремами! До нових зустрічей! Любіть життя та математику.💙