Методы сравнения числовых выражений
Методы сравнения числовых выраженийТема урока: 'Сравнение числовых выражений'
=== Скачать файл ===
У Вас есть замечания, вопросы по изложенному материалу, или же Вы просто хотите оставить свой отзыв? В конце каждой статьи доступны комментарии. Также Ваши пожелания и предложения можно отправлять на почту, ICQ или аккаунт VK. В первой части этой темы мы начали разбирать примеры применения признаков сравнения для исследования вопроса сходимости положительных рядов. Вот два этих признака:. И вот два ряда, с которыми мы и будем сравнивать исследуемые в задачах ряды: На этой странице поговорим о рядах, у которых выражение общего члена ряда включает в себя некий 'несущественный' элемент: В вопросе исследования сходимости таких рядов нам помогут записанные ниже неравенства. На неравества с арксинусом и арккосинусом стоит обратить особое внимание. Да и вообще, если в записи общего члена ряда указан арксинус или арккосинус, то нелишне проверить его аргумент: То же самое касается, кстати, и иных выражений. Подобного рода ошибками часто страдают стандартные типовые расчёты и контрольные работы. Поэтому предварительная пусть и устная проверка не помешает. В первой части мы решали все примеры двумя способами: В этой части станем решать примеры с помощью какого-либо одного признака, — так как все эти решения, по сути, однотипны. Хотя есть примеры, где нужно применять какой-то один признак, ибо применение иного признака сравнения будет невозможным см. Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в теме 'Пределы с иррациональностями' , а также 'Предел отношения двух многочленов'. Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: Сразу обратим внимание, что общий член ряда записан корректно. В дальнейшем такие рассуждения будем пропускать, однако проводить их хотя бы устно всё-таки желательно. Выполнение необходимого условия сходимости проверять не будем. В принципе, очевидно, что так арксинус в числителе ограничен см. Обычно дело и ограничивается устной проверкой, после которой переходят к одному из признаков сходимости. В данном случае переходим к применению признаков сравнения. Выберем ряд для сравнения. Для этого сначала проведём пару неформальных рассуждений. Но что будет с числителем? А в числителе мы имеем арксинус, который удовлетворяет неравенству Мысленно отбросим арксинус в числителе. А значит будет расходиться и наш ряд. Остаётся лишь формально провести доказательство этого утверждения. В этот раз применим признак сравнения в предельной форме. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда. В предыдущих примерах общий член 'эталонного' ряда попадал всегда в знаменатель, а здесь, сугубо для разнообразия, поместим его в числитель:. Следовательно, заданный нам ряд — положительный. Так как арктангенс в числителе ограничен см. Так как эта проверка нам ничего нового не даёт ряд может как сходиться, так и расходиться , то переходим к использованию признака сравнения. Начнём с неформальных рассуждений для выбора ряда, с которым станем сравнивать. А в числителе мы имеем арктангенс. Согласно формуле 5 можно записать такое неравенство:. Данное неравенство можно и уточнить. Так как арктангенс — возрастающая функция, то записанное выше неравенство станет таким:. Итак, что мы имеем? Мысленно отбросим арктангенс в числителе. Значит, и наш ряд будет сходиться. Осталось лишь строго доказать эту сходимость. Здесь можно применять как первый, так и второй признаки сравнения. Мне удобнее применить признак сравнения в предельной форме т. Однако я укажу и решение с помощью первого признака сравнения, только скрою его под примечание в конце решения этого примера. Как решить этот пример с помощью первого признака сравнения? Кстати, отсюда следует, что наш ряд положительный и мы можем применить признаки сравнения. Отбросив синус, который, по сути, является простым числовым коэффициентом, получим ряд для сравнения: Он расходится, поэтому и наш ряд будет расходиться. Однако применить второй признак сравнения предельный признак мы в этой ситуации не можем. Значит ли это, что наш ряд расходится? Вовсе нет, — это говорит лишь о том, что нужно применять первый признак сравнения. С каким рядом станем сравнивать заданный ряд? Здесь можно применять как первый признак сравнения, так и второй. Однако проще использовать неравенства, то есть применить первый признак сравнения если есть необходимость рассмотреть применение второго признака сравнения, то отпишите об этом на форум. Уменьшая знаменатель мы увеличиваем дробь:. Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признаков сравнения рассмотрим в третьей части. Главная Онлайн-обучение Высшая математика Цены на занятия Блог Форум. Если вкратце, то решение будет таким: Комментарии можно оставлять посредством ВКонтакте или без аккаунта ВК.
Описания картины букет цветов бабочка и птичка
Образец характеристики коллектива