Методы решения сеточных уравнений

Скачать файл - Методы решения сеточных уравнений

При решении эллиптических систем существенная часть вычислительной работы — решение возникающих сеточных уравнений. Фактически для нахождения сеточной функции решения надо получить решение системы линейных уравнений большой размерности с разреженной матрицей специального вида. При аппроксимации уравнения Лапласа или Пуассона на регулярных сетках матрица системы самосопряженная. Методы решения таких систем рассмотрим ниже. Перед чтением данного раздела рекомендуется просмотреть лекцию 2 курса 'Введение в вычислительную математику'. Наиболее эффективные алгоритмы для численного решения полученной СЛАУ — итерационные. Действительно, прямые методы требуют вычисления обратной матрицы, обратная матрица получается заполненной. Пусть — начальное приближение, выбирать которое желательно как можно ближе к искомому решению, — последующие приближения. Верхний индекс в данных обозначениях указывает номер итерации. Оценка сходимости при этом может быть получена в виде. Итерации продолжаются до тех пор, пока не выполнено условие , где — заданная точность. В таком случае можно оценить количество итераций, необходимое для достижения этой точности. Квадратные скобки в этой записи — операция взятия целой части числа. Метод простых итераций записывается для системы сеточных уравнений в следующем виде: Здесь , — итерационный параметр. Количество арифметических операций при реализации метода простых итераций. Получим формулу для эволюции погрешности. Вычтем из итерационной формулы очевидное тождество во внутренних точках, а из равенства вычтем тождество в граничных узлах. Тогда получим , во внутренних и граничных узлах соответственно. Здесь — невязка на i итерации. В таком случае для сеточной функции невязки r ml , равной нулю на границе, ее эволюция описывается уравнением. Для оценки сходимости итерационного процесса необходимо перейти к неравенству для норм, например евклидовых, и оценить норму оператора перехода. Наиболее простым для этих целей является метод Фурье или спектральный анализ оператора перехода. Непосредственной проверкой доказываются два следующих утверждения. Семейство функций являются собственными функциями оператора ; им соответствуют собственные значения. Для этого необходимо непосредственной подстановкой убедиться в истинности равенства. Семейство функций является собственными функциями оператора соответствующие собственные значения есть. Равенство также проверяется непосредственной подстановкой. Для имеем , где. Легко также оценить число обусловленности системы сеточных уравнений. Мы ищем курсы, покупаем и публикуем их для вас бесплатно. Учеба Академии Учителя Рейтинг Вопросы Магазин. Курсы Школа Высшее образование Мини-МБА Профессиональная переподготовка Повышение квалификации Сертификации. Информация Глоссарий Дипломы Вопросы и ответы Студенты Рейтинг выпускников Мнения Литература Учебные программы. Численные методы решения уравнений в частных производных. Алгоритмы и дискретные структуры , Математика. Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона. Методы решения сеточных уравнений При решении эллиптических систем существенная часть вычислительной работы — решение возникающих сеточных уравнений. Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности Реклама на сайте Напишите нам.

Научный форум dxdy

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website. Ничего не найдено Попробуйте ввести другие ключевые слова. Возможно, Вы ввели слишком короткие ключевые слова.