Методы решения геометрических задач
Методы решения геометрических задачСкачать файл - Методы решения геометрических задач
Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно. Геометрия — наиболее уязвимое звено школьной математики. Решение геометрических задач вызывает трудности у многих учеников. Это связано как с обилием различных типов задач, так и с многообразием приемов и методов их решения. В отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Программа для общеобразовательных школ по геометрии не акцентирует внимание на методах решения задач. Поэтому рассмотрим сегодня эти методы. В чем же заключается искусство — решать задачи? Искусство - решать задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов и в овладении определённым арсеналом приёмов и методов решения. Поэтому, чтобы ученики умели решать задачи нужно: Нужно добиваться от ученика знаний теоретического материала. Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание. Не спешить начинать решать задачу. Этот совет не означает, что задачу надо решать как можно медленней. Он означает, что решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем:. При этом нужно выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство - посылки и заключения. После прочтения сделать рисунок от руки или с помощью линейки. Нужно научиться делать хорошие, большие и красивые чертежи, а иногда не чертежи, а рисунки. Чертежи - рисунки, если они выполнены грамотно, могут сильно облегчить поиск решения, работу над ним. Рисунок может подсказать какое-либо геометрическое соотношение между отрезками или углами. Особенно, если нарисовать несколько чертежей, изменяя размеры присутствующих на нем фигур. Нужно пытаться изобразить все возможные конфигурации, отвечающие на первый взгляд условиям задачи, а затем с помощью рассуждений отбросить лишние. Так, если в задаче надо найти радиус окружности, вписанной в треугольник, то в большинстве случаев саму эту окружность не следует изображать. Если же в условии задачи фигурируют точки этой окружности, т. Необходимо избегать чрезмерного усложнения рисунка. Этого можно добиться, за счет выносных картинок, изображающих фрагменты общей конфигурации. Если идет речь, например, о произвольном треугольнике или четырехугольнике, то необходимо, чтобы фигура не имела характерных особенностей, присущих 'хорошим' фигурам, то есть треугольник не должен быть прямоугольным или равнобедренным, а тем более правильным, четырехугольник - быть похожим на параллелограмм. Необходимо знание методов решения геометрических задач. Эти методы обладают некоторыми особенностями: При решении геометрических задач обычно используются три основных метода: Какой бы путь ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения применять их. В качестве основного метода решения геометрических задач, который стоит освоить и отработать в первую очередь, выступает алгебраический метод. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с площадью 4 и площадью Задача решается введением трех неизвестных величин, составлением системы из трех уравнений и решением этой системы. Рассмотрим несколько методов решения геометрических задач: Метода опорного элемента, метод дополнительного построения,. Иногда, нарисовав рисунок фигуры и отметив на нем все данные величины, не удается найти требуемые в задаче отрезки или углы. В этой ситуации может помочь использование метода опорного элемента - он является основным методом составления уравнений в геометрических задачах и заключается в следующем: Диагонали ромба относятся как 3: Периметр ромба равен В задаче площадь фигуры выражается двумя разными способами, а затем из полученного уравнения находится искомая величина. Данный подход еще называется методом площадей. Площадь ромба находим через диагонали и эту же площадь выразим через высоту ромба. Диагонали ромба перпендикулярны, значит, треугольник АОВ — прямоугольный. Во многих случаях решать задачи помогает введение в чертеж дополнительных линий - так называемые дополнительные построения. Такие дополнительные построения, вводящие новые углы и новые отрезки, иногда приводят к появлению геометрических фигур, облегчающих решение задачи. Стандартное дополнительное построение в задачах на трапецию: Если же в условии задачи говорится о диагоналях трапеции, то стандартным будет дополнительное построение, состоящее в проведении через одну из ее вершин прямой, параллельной диагонали. Когда в условии задачи фигурирует медиана треугольника, то стоит попытаться продолжить эту медиану на расстояние равное длине медианы , то есть продлить ее за точку, лежащую на стороне треугольника. Полученная новая точка соединяется с вершиной вершинами исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или доказать предложенное утверждение. Рассмотрим треугольник ABC рис. Пусть отрезок BM — его медиана и биссектриса. Образовались равные треугольники AMB и MCD 1-й признак равенства треугольников. В задаче медиана ВМ продолжена за точку М на отрезок МД равный длине медианы. Если в условии задачи фигурирует середина одной или нескольких сторон четырехугольника, то стоит добавить середины каких-то других сторон или диагоналей и рассмотреть средние линии соответствующих треугольников. Метод введения вспомогательного элемента или параметра. Заметим, что диагонали разбивают четырехугольник на треугольники. При этом площадь каждого из указанных треугольников будем вычислять по известной формуле. При помощи некоторого дополнительного построения продление отрезка, геометрическое преобразование и др. Обычно такой треугольник обладает двумя важными для решения задачи свойствами: Доказать, что средние линии треугольника параллельны его сторонам и вдвое меньше их. Кроме описанного метода, при решении данной задачи используется известное дополнительное построение — продление отрезка на отрезок, равный самому себе. Рассмотрим один из основных геометрических методов решения задач — метод вспомогательной окружности. Вспомогательные окружности часто облегчают вычисление углов в задачах о 'некруглых' фигурах. При решении некоторых задач может оказаться полезной следующая теорема условие принадлежности четырех точек окружности. Если для четырех точек плоскости А, В, М, К выполняется одно из следующих условий: Т1 и Т2 и свойства вписанных углов позволяют решать некоторые интересные геометрические задачи с помощью вспомогательной окружности. Суть метода проиллюстрируем на решении задачи. В треугольнике АВС проведена высота СК. Как известно, с давних времен, существует целая наука тригонометрия 'тригон'- по-гречески означает 'треугольник'. С ее помощью можно было, измерив одну сторону и два угла треугольника, найти длины всех его сторон. Но еще ранее с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Основные составляющие данного метода — это соотношения между сторонами и углами треугольника, перечислим их: Используя свойства площадей многоугольников, можно установить. Такая теорема называется теоремой Пифагора и является важнейшей теоремой геометрии. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике: Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: Теорема о неравенстве треугольника: Теорема о сумме углов треугольника: Нет ни одной фигуры, кроме треугольника, у которого существуют столь разнообразные приемы нахождения неизвестной величины. Для более детального рассмотрения метода треугольника как основного способа нахождения того или иного элемента, целесообразно рассмотреть типовые задачи: Четырехугольник ABCD- параллелограмм с периметром 10см. Найдите BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8см. Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием a и боковой стороной k. В прямоугольник со сторонами 3 и 4м вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как 1: Найдите площадь этого прямоугольника. Метод подобия применяется в задачах на построение, применяется подобие к доказательству теорем, а так же в задачах используются свойства подобных треугольников для определения длин пропорциональных отрезков. Пусть даны некоторые элементы фигуры: Тогда, используя углы или их величины или отношения линейных элементов, строят фигуру, подобную искомой, выбрав коэффициент подобия k равным отношению соответствующих линейных элементов, затем, используя остальные данные, строят искомую фигуру. Применение подобия к доказательству теорем. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2: Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. В задачах при использовании свойств подобных треугольников: Во многих теоремах и задачах они с успехом заменяют друг друга. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры треугольника. Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить за. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных висимость между ее элементами. Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых или обе содержит в себе искомые элементы. Стороны АВ и ВС треугольника ABC равны 8 и 11, а высота, проведенная к стороне ВС,. Найдите высоту, проведенную к стороне АВ. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе. В равнобедренном треугольнике сторона основания равна 8, а боковые стороны - Найдите длину высоты, проведенной к боковой стороне. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 12, а основание Найдите расстояние от середины основания треугольника до боковой стороны. В треугольнике стороны относятся как 1: Высота, проведенная к большей из этих сторон, равна Найдите длину высоты, проведенной к меньшей из этих стороне. С помощью площадей задача. Найти стороны треугольника АВС. Площадь треугольника СDE также равна 4, так как медиана ED делит треугольник ВСЕ на два равновеликих треугольника. Значит, площадь треугольника АВС равна Так как AD — медиана треугольника АВС, то площадь треугольника ABD равна 6. Стороны треугольника АВС можно найти по теореме Пифагора. Итак, задача может быть решена устно, если догадаться соединить точки D и Е, а затем вычислять площади треугольников. Учиться решать задачи с помощью ключевых — идея древняя. Метод составления системы задач, построенный по принципу - каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо опорной базисной задачи, называется методом ключевой задачи. Существует две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из них состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта. Зачастую такая ключевая задача оказывается дополнительной теоремой школьного курса. Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2: Медиана делит треугольник на два равновеликих. Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна ее половине. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы. Если в треугольнике длина медианы равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник - прямоугольный. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам. Решение конкурсных задач по математике. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии: Для поступающих в вузы. Нестандартные и исследовательские задачи. Учимся решать олимпиадные задачи. Рабочая тетрадь к учебнику И. Решение задач из учебника Л. Учебное пособие для студентов пед. Геометрия в классах: Методическое пособие к углубленному курсу развивающего математического образования. Институт учебника 'Пайдейя', 8. Выберите специальность, которую Вы хотите получить: Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель мировой художественной культуры Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Воспитатель детей дошкольного возраста Главный бухгалтер образовательного учреждения Менеджер образования Методист образовательной организации Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог среднего профессионального образования Педагог-библиотекарь Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог-организатор Педагого-психолог Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель высшей школы Преподаватель маркетинга Преподаватель права Преподаватель экологии Преподаватель экономики Социальный педагог Специалист в области воспитания Специалист в области охраны труда Специалист в сфере закупок Специалист по безопасности и антитеррористической защищенности объектов территорий образовательной организации Специалист по организации и предоставлению туристских услуг Специалист по организационному и документационному обеспечению управления организацией Специалист по управлению персоналом и оформлению трудовых отношений. Обучение проходит дистанционно на сайте проекта 'Инфоурок'. По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца. ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ. В статье рассматриваются методы решения геометрических задач, владеть которыми учащимся девятых классов необходимо: К каждому методу приводятся задачи с решением. Профессиональной переподготовки 30 курсов от руб. Курсы для всех от руб. Повышение квалификации 36 курсов от руб. Лицензия на осуществление образовательной деятельности: Адрес редакции и издательства: Правообладатель товарного знака ИНФОУРОК: Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов. Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи. Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ Эл. Астрономия Биология Воспитательная работа География Директору, завучу Доп. Классному руководителю Логопедия Математика Музыка Начальные классы ОБЖ Обществознание Русский язык и литература Социальному педагогу Технология Украинский язык Физика Физкультура Химия Школьному психологу Языки народов РФ. Дистанционный курс 'Оказание первой помощи детям и взрослым' от проекта 'Инфоурок' даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца часов. Начало обучения новой группы: Подать заявку на курс. Статья 'Методы решения геометрических задач по планиметрии '. Он означает, что решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем: Необходимо знание методов решения геометрических задач Эти методы обладают некоторыми особенностями: Метода опорного элемента, метод дополнительного построения, метод введения вспомогательного элемента или параметра, метод треугольника, метод подобия, метод площадей, метод ключевой задачи. Метода опорного элемента Иногда, нарисовав рисунок фигуры и отметив на нем все данные величины, не удается найти требуемые в задаче отрезки или углы. Пусть диагонали ромба равны6х и8х Диагонали ромба перпендикулярны, значит, треугольник АОВ — прямоугольный. Метод дополнительного построения Во многих случаях решать задачи помогает введение в чертеж дополнительных линий - так называемые дополнительные построения. Следующее дополнительное построение - удвоение медианы Характеристика метода. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведенные из одной и той же вершины медиана и биссектриса. Из равенства этих треугольников имеем: Метод введения вспомогательного элемента или параметра 1. Вспомогательный отрезок Характеристика метода. Bспомогательный треугольник Характеристика метода. Используя свойства площадей многоугольников, можно установить замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Метод подобия Метод подобия применяется в задачах на построение, применяется подобие к доказательству теорем, а так же в задачах используются свойства подобных треугольников для определения длин пропорциональных отрезков. Стороны АВ и ВС треугольника ABC равны 8 и 11, а высота, проведенная к стороне ВС, равна 4. Метод ключевых задач Учиться решать задачи с помощью ключевых — идея древняя. Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель мировой художественной культуры Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Воспитатель детей дошкольного возраста Главный бухгалтер образовательного учреждения Менеджер образования Методист образовательной организации Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог среднего профессионального образования Педагог-библиотекарь Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог-организатор Педагого-психолог Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель высшей школы Преподаватель маркетинга Преподаватель права Преподаватель экологии Преподаватель экономики Социальный педагог Специалист в области воспитания Специалист в области охраны труда Специалист в сфере закупок Специалист по безопасности и антитеррористической защищенности объектов территорий образовательной организации Специалист по организации и предоставлению туристских услуг Специалист по организационному и документационному обеспечению управления организацией Специалист по управлению персоналом и оформлению трудовых отношений Обучение проходит дистанционно на сайте проекта 'Инфоурок'. Чтобы добавить отзыв, войдите в Ваш кабинет или зарегистрируйтесь. Вы первый можете оставить свой комментарий. Рабочая программа по математике 1 класс Олимпиадные задания по математике 5 класс Конспект урока по математике 'Решение целых уравнений дробного вида' 6 класс План работы по самообразованию учителя математики Презентация объединение и пересечение графов Игра внеклассное занятие по теме: Презентация по математике на тему 'Разнообразный мир линий' 5 класс Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Методические особенности обучения решению геометрических задач
Статья 'Методы решения геометрических задач по планиметрии 7-9'
Схема стабилизатора iek снр1 0 1.5 ква
Схема вышивания бисером своими руками
Решение геометрических задач разными методами
Цитрин камень свойства знак зодиака
Чемпионат по боям без правил 2015
Можно ли заразиться вич через царапину