Методы коллокаций и Галеркина

⚡⚡⚡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻

В общем случае на границах области могут возникать неоднородности.
Для решения задач механики сплошной среды с такими неоднородностями используется метод Галеркина.
Пусть заданы уравнения Галеркина, то есть
, , где – некоторые функции, причем - произвольные.
Тогда можно записать задачу Коши для системы уравнений Галеркина в виде
. При условии
получаем
. (2.1.1)
Сформулируем так называемое условие Галеркина:
(2.1.2)
Это условие означает, что на границе области
произведение

В этой главе мы рассмотрим методы решения задач линейной алгебры с помощью приближенных методов.
Для этого мы будем использовать метод Галеркина.
Метод Галеркина является разновидностью метода последовательных приближений, который используется для решения линейных уравнений и систем линейных уравнений.
При этом методе система уравнений решается на каждом шаге приближения методом Галеркина (рис. 11.1).
Рис. 11.1.
Метод последовательных Галеркиных
Метод Галеркина является частным случаем метода конечных элементов (МКЭ).
Он был разработан в середине 20 века и позволяет вычислить решение задачи по методу конечных разностей (МКФ).
Для решения задачи в МКЭ используется метод конечных элементов.
В методе Галеркина применяется метод коллокации.
Основная идея метода Галеркина заключается в том, чтобы с помощью метода коллокаций решить задачу о распределении сосредоточенных сил на элементах (концентраторы).
Метод Галеркина применяется для решения задач с помощью интегральных преобразований.
Этот метод используется для решения уравнений, содержащих в явном виде производные и дифференцируемые члены.
В методе Галеркина производная в явной форме не задается.
Поэтому приходится решать задачу в неявной форме.
Для этого необходимо найти решение исходной задачи, удовлетворяющее некоторым ограничениям или ограничениям, связанным с явной формулой для производной.
В первой части материала мы рассмотрели методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в частных производных, которые состоят из двух этапов:
1) составление уравнений ОДУ в частных производные;
2) нахождение частных производных;
В данной части статьи мы рассмотрим методы решения ОДУ, состоящие из трех этапов: составление уравнений ОДУ с частными производными, нахождение частных производной и нахождение области допустимых значений.
Для решения задач теплопроводности и диффузии с использованием уравнений математической физики необходимо знать методы, позволяющие получить аналитические решения этих задач.
Одним из таких методов является метод коллокации.
Он применим для решения уравнений теплопроводности методом конечных разностей и метода конечных элементов.
в задачах о движении твердого тела
На основе методов Галеркина и коллокации в теории движения твердого тела, сформулированных в работах [12], [13], [14], разработаны новые методы расчета движения тел с учетом трения и трения скольжения.
В частности, в [15] изложены принципы расчета движения твердых тел при наличии трения с помощью метода коллокация в трехмерном случае, а в работе [16] — в двумерном случае.
При этом...
Читать ещё
Глава 1. ОБЩИЕ ВЫВОДЫ
1. Постановка задачи
2. Метод коллокации

Определение.
Пусть в системе уравнений (1.2), (1.3) имеются решения, удовлетворяющие условию:
. (1.4)
В этом случае говорят, что система (1.2) (или (1.3)) имеет решение, которое называется решением первого типа.
Иначе, говорят, что данная система имеет решение первого типа, если существует такой положительный вещественный корень уравнения , что
, (1.5)
где .
Методы коллокации и Галеркиной — методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, основанные на использовании специальных функций (коллокаций), определённых на конечномерном пространстве, и их производных.

Метод галеркина.
Пусть в некоторой области $G\subset \R^n$ заданы граничные значения функций $f(x,y)$ и $g(x)$, $x\in G$. Тогда в силу теоремы Галера уравнение $$\label{eq:gale}
{\frac}{d^2u}{dx^2}=f(x,\tfrac{du}{dx})+g(u)$$ имеет единственное решение $u=u^{\star}(x)$.
В самом деле, если $\phi _0=\phi (x)$ — произвольная функция, то $${\frac}d{dx}\left( {\frac}{du}{dx}+\phi _0\right) ={\frac}{(du/dx)+\phi_0}{x}-{\frac}{2f}{\phi}={\frac}{g(\phi)}{\phi}-{\frac}{4f}{x}.$$
Твердый Переплет Магистерская Диссертация
Евразия: география, особенности, история исследования
Рефераты По Психологии Эмоции