Методика решения уравнений типа свертки - Математика дипломная работа

Главная

Математика
Методика решения уравнений типа свертки

Обоснование итерационных методов решения уравнений в свертках, уравнений Винера-Хопфа, с парными ядрами, сингулярных интегральных, интегральных с одним и двумя ядрами. Рассмотрение алгоритмов решения. Анализ учебных программ по данной дисциплине.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

уравнение свертка интегральный алгоритм
1. Методика решения уравнений типа свертки
1.1 Сравнительная характеристика рабочих программ по дисциплине "Уравнения типа свертки"
1.2 Классификация интегральных уравнений типа свертки
1.3 Методы решения интегральных уравнений типа свертки
2.1 Краевые задачи типа Карлемана для полосы
2.2 Задача Карлемана с дробно рациональным коэффициентом
2.3 Задача Карлемана с интегральным условием
2.4 Интегральное уравнение типа плавного перехода для двух функций
3. Сингулярные интегральные уравнения
3.1 Обзор приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений
3.2 Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью
Актуальность работы. На протяжении XIX и XX веков были исследованы многочисленные виды интегральных уравнений в свертках; причем получены как качественные результаты, так и приближенные методы их решения. Огромный вклад в разработку методов исследования уравнений в свертках внесли Н. Винер и Е. Хопф, Ф.Д. Гахов [15], Г. Деч, М.Г. Крейн [17], Н.И. Мусхелишвили [42], В.А. Фок, предложившие различные методы решения этих уравнений.
Дальнейшее развитие аналитических и численных методов решения уравнений в свертках связано с именами И.В. Бойкова [11], Г.И. Василенко, А.Ф, Верланя [14], Ф.Д. Гахова [16], И.Ц. Гохберга [17] ? [19], В.В. Гласко, Б.Н. Енгибаряна [12], И.К. Лифанова [37], Б.И. Мусаева, В.С. Сизикова [14], А.Н. Тихонова [44] и др.
Параллельно с уравнениями в свертках на протяжении XX столетия развивались аналитические и численные методы решения сингулярных интегральных уравнений в свертках. Основные направления развития численных методов решения сингулярных интегральных уравнений отмечены в монографиях С.М. Белоцерковского [10] и И.К. Лифанова, И.В. Бойкова и др.
В последнее время активно развиваются новые направления, связанные с применением интегральных уравнений в свертках.
Объект исследования. Объектами исследования являются интегральные уравнения типа свертки.
· Разработать учебно-методический комплекс дисциплины "Уравнений типа свертки" для студентов 4 курса;
· Получить углубленные знания в области краевых задач и приводящихся к ним интегральным уравнениям типа свертки;
· Исследовать методы решения различных классов уравнений свертки и уметь применять полученные результаты к решению задач;
· Предложить и обосновать итерационные методы решения уравнений в свертках, уравнений Винера?Хопфа, уравнений с парными ядрами, сингулярных интегральных уравнений, интегральных уравнений с одним и двумя ядрами.
· Предложить алгоритмы при решении уравнений типа свертки.
· Разбираться в классификации уравнений свертки и методах их решения.
· Провести сравнительный анализ учебных программ других ВУЗах по данной дисциплине.
Методика исследования. В работе использованы: метод Винера-Хопфа, методы функционального анализа, численные методы, проекционные методы, преобразование Фурье, преобразование Лапласа, вельвет-преобразования, преобразования Меллина.
- реализованы методы решения задач уравнений типа свертки.
- даны обобщение методов решения интегральных уравнений в свертках с ядрами различного вида, принадлежащими пространству ;
- предложены методы решения уравнений Винера-Хопфа, парных уравнений, уравнений с двумя ядрами, уравнений с одним ядром, сингулярных интегральных уравнений.
Теоретическая и практическая ценность работы. Теоретическая ценность работы заключается в разработке параллельных методов решения уравнений в свертке, дающих решение следующим классам невырожденных уравнений в свертках: односторонних уравнений (Винера-Хопфа), уравнений с двумя ядрами, уравнений с одним ядром, парные уравнения, сингулярные интегральные уравнения.
Практическая ценность заключается в полном решении уравнений в свертках. Полученные результаты представляют теоретический интерес и вносят существенный вклад в развитие интегральных уравнений.
Структура и объем дипломной работы. Диплом состоит из введения, трех разделов, приложения, заключения и списка использованных источников. Список использованных источников включает 57 наименований. Общий объем работы 65 страниц текста.
1. Методика решения уравнений типа свертки
1.1 Сравнительная характеристика рабочих программ по дисциплине "Уравнения типа свертки"
В Южном федеральном университете предлагается рабочая программа "Теория операторов Нетёра" Дыбина В.Б. [25]. Общая трудоемкость составляет 108 часов. Из них 32 часа лекций, 36 часов на экзамен и 40 часов самостоятельной работы. Преподается "Теория операторов Нетёра" для магистров в девятом семестре. По этой специальности рассматриваются такие темы: Нормализация операторов, представимых в виде произведения нетерова и неограниченно обратимого операторов; Примеры нормализации операторов Теплица, операторов типа свертки и сингулярных интегральных операторов. На изучение дается 2 лекции (4 часа).
Дыбин В.Б. [24] разработал рабочую программу "Сингулярные интегральные уравнения" для магистров, очного обучения. Изучение дисциплины составляет 72 часа. Из них 32 часов лекций и 40 часов самостоятельной работы. Встречаются разделы по дисциплине "Уравнения типа свертки": Изометрия континуального оператора типа свертки на прямой и сингулярного интегрального оператора на прямой; Изометрия дискретного оператора типа свертки и сингулярного оператора на окружности; Редукция к дискретным уравнения типа свертки; Редукция к континуальным уравнениям типа свертки.
Учебно-методический комплекс "Дискретные свертки" в Южном федеральном университете был разработан Дыбиным В.Б. [23]. Предложена программа спецкурса и система индивидуальных заданий.
Следующая рабочая программа по дисциплине "Теория Нетера" изучается в Кубанском государственном университете. Барсукова В.Ю. [7] разработала программу для магистров и изучение курса составляет 72 академических часа. Из них предусмотрены 16 часов практических занятий, а также 56 часов самостоятельной работы. Проходят такие темы: Основные определения оператора Нетера; Регуляризация операторов; Свойства операторов Нетера.
Рабочая учебная программа по дисциплине "Преобразование Фурье и уравнения типа свертки" конкретно изучает данную тему уравнений свертки. Данная дисциплина, написанная Барсуковой В.Ю. [6], читается на 6 курсе, 9 семестр. Встречаются темы: Интегральный оператор типа свертки; Линейные интегральные уравнения типа свертки на оси; Уравнение типа свертки с экспоненциально-степенным ядром. Время на изучение 36 часов.
Программа дисциплины "Обобщенные краевые задачи" составили Киясов С.Н. и Обносов Ю.В. [29] для бакалавров 4 курса Казанского федерального университета. Общая трудоемкость дисциплины составляет 216 часов, 8 разделов. Похожие темы встречаются как, Операторы сингулярного интегрирования; Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши; Сингулярное интегральное уравнение со сдвигом Карлемана; Характеристические уравнения типа свертки; Полные уравнения типа свертки и т.д. Применены вопросы к зачету и экзамену.
Аблаева С.Г. [1] является автором программы дисциплины "Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения" в Казанском федеральном университете. Читается спецкурс на 3 курсе, 5 семестр. Время на изучение 252 часов (21 раздел). Одни из тем являются: Сингулярные интегральные уравнения, содержащие комплексно сопряженные неизвестные; Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта; Сингулярные интегральные уравнения в случае кусочно-гладкой линии интегрирования. Предоставлены примерные вопросы к зачету и экзамену и учебно-методические обеспечение самостоятельной работы студентов.
Рабочая учебная программа "Уравнения типа свертки" составлена В.А. Лукьяненко для Таврического национального университета. Данная дисциплина читается для студентов 4 курса и выделяет всего 72 часа. Темы разделов: Преобразования Фурье и краевая задача Римана; ИУТС; ИУТС в классах функций показательного роста; Приближенное решение уравнений типа свертки; Приложения к задачам математического физики. Предоставлены индивидуальные работы для студентов и контрольные вопросы.
1.2 Классификация интегральных уравнений типа свертки
В учебно-методическом пособии разбираются интегральные уравнения типа свертки для классических случаев класса , класса функций показательного роста и обобщенных функций.
В монографии Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского [16] рассматривается интегральные уравнения типа свертки с одним и двумя ядрами, парные уравнения, одностороннее уравнения, сингулярные интегральные уравнения, которые принадлежат классу .
Уравнение с одним ядром имеет такой вид:
Приводится уравнение с двумя ядрами, принадлежащий классу :
Парное интегральное уравнение рассмотрено в учебном пособии
и одностороннее уравнение определено на положительной полуоси
Все уравнения вида рассмотрены и приведены для самостоятельного решения в учебно-методическом комплексе.
Определение 1.1. Классом называется искомая функция одновременно, удовлетворяющая условию Гельдера и принадлежит пространству . Чтобы решить интегральные уравнения типа свертки в классах функций показательного роста, нужно ссылаться на методичку, в которой даны основные определения.
Определение 1.2. Говорят, что функция принадлежит классу , если .
Определение 1.3. Говорят, что функция
следует, что если , то также для любого , и если , то для .
Из "Обобщенных функций" Александрова В.А. [2] наводятся следующие определения, доказательства и примеры, относящиеся к свертке обобщенных функций.
1.3 Методы решения интегральных уравнений типа свертки
В учебно-методическом пособии предложены методы решения уравнений Винера-Хопфа, парных уравнений, уравнений с двумя ядрами, уравнений с одним ядром, уравнений плавного перехода и сингулярных интегральных уравнений на вещественной оси.
Методикой исследования является метод Винера-Хопфа, метод функционального анализа, численные методы, преобразование Фурье, преобразование Лапласа и другие.
Научной новизной в дипломной работе является приведенные обобщенные примеры во втором разделе: Краевые задачи Карлемана для полосы; Задача Карлемана с дробно-рациональным коэффициентом, с интегральным условием; Интегральные уравнения типа плавного перехода для двух функций.
Целями освоения дисциплины "Уравнения типа свертки" являются:
· Получить знания в области краевых задач, приводящихся к ним интегральных уравнений типа свертки;
· Развить способность применения общих методов анализа, теорий функций и теории операторов к конкретным прикладным задачам;
· Обладать теоретическими знаниями и иметь четкое представлениях о методах исследования и решения краевых задач со сдвигом и интегральных уравнений типа свертки;
· Научиться применять полученные знания к решению конкретных задач.
В результате освоения дисциплины формируется следующие компетенции:
В результате освоения дисциплины студент:
1. Должен знать: знать основные понятия теории краевые задачи, сингулярные интегральные уравнения со сдвигом и уравнения типа свертки, определения и свойства, формулировки утверждений, методы их доказательства, их приложений.
2. Должен уметь: уметь решать краевые задачи, сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки.
3. Должен владеть: владеть математическим аппаратом, методами решения задач и доказательства.
Имеем одно линейно независимое решение
Приведенные методы решения краевой задачи Римана оказываются полезными при исследовании сингулярных интегральных уравнений (с.и.у.) на замкнутом контуре
При исследовании с.и.у. вида (3.1), как правило, выделяют характеристический оператор
Вначале исследуем разрешимость характеристического уравнения
Одним из методов решения характеристических уравнений является его сведение к краевой задаче Римана.
Введем кусочно-аналитическую функцию, заданную интегралом типа Коши, плотностью которого служит искомое решение характеристического уравнения
Используя формулы Сохоцкого ? Премеля, имеем:
Подставляя в уравнение (3.2) вместо и их значения по формуле (3.3), приходим к краевой задаче:
Так как решение уравнения (3.2) ищем в виде интеграла типа Коши , который на бесконечности равен нулю, то решение краевой задачи (3.4) ищем при дополнительном условии
Индекс коэффициента краевой задачи Римана (3.4) называется индексом сингулярного интегрального уравнения (3.2).
Нормальным случаем уравнения (3.2) называется случай, когда коэффициент соответствующей краевой задачи Римана не общается на контуре в нуль или бесконечность. Исключительным случаем сингулярного интегрального уравнения называется случай, когда соответствующий коэффициент обращается в нуль или бесконечность на контуре . Нетрудно видеть, что в нормальном случае на .
Теорема 3.1. Если , то однородное уравнение имеет линейно независимых решений. Если , то однородное уравнение имеет только тривиальное (нулевое) решение. Если , то неоднородное уравнение разрешимо при любой правой части и его общее решение зависит от произвольных постоянных. Если , то неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условия
В настоящее время неизвестны методы решения полных сингулярных интегральных уравнений вида (3.6) в замкнутой форме. Результатом этого исследования являются теоремы Нетера.
Теорема I. Число решений сингулярного интегрального уравнения (3.6) конечно.
Теорема II. Необходимым и достаточным условием разрешимости с.и.у. (3.6) является выполнение равенства
где , ? полная система линейно независимых решений союзного однородного уравнения , где
Теорема III. Разность числа линейно независимых решений особого уравнения и числа линейно независимых решений союзного уравнения зависит лишь от характеристической части оператора и равна ее индексу, т.е. .
Первой работой по приближенным методам решения с.и.у. была статья М.А. Лаврентьева, в которой были исследованы два приближенных метода решения с.и.у. первого рода
Уравнениями вида (3.7) описывается обтекание крыла конечного размаха воздушным потоком.
В работах Н.Винера и Е.Хопфа был предложен принципиально новый метод решения некоторых классов уравнений в свертках.
Выделенный ими класс уравнений в свертках называется сейчас уравнениями Винера-Хопфа.
Вслед за уравнением (3.7) были исследованы приближенные методы решения уравнений видов
Здесь единичная окружность с центром в начале координат, а коэффициенты и правые части уравнений принадлежит классу функций Гельдера.
В цикле работ И.В. Бойкова были исследованы приближенные методы решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, систем сингулярных интегральных уравнений и систем с.и.-д.у. Были рассмотрены с.и.-д.у.
Пример 3.1. Нелинейные уравнения с ядром Гильберта:
Имеют единственное решение в гильбертовом пространстве .
В 1977 году Г.М. Магомедов рассмотрел нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши вида
В 1979 году вышла работа А.И. Гусейнова и Х.Ш.Мухтарова, в которой было доказано, что уравнение вида
Имеет решение в пространстве Лебега со степенным весом
В 1980 году, приводится в монографии лишь один результат, касающийся уравнения (3.13), так как попытка использования формулы Пуанкаре-Бертрана для сведения уравнения вида (3.12) к уравнению вида (3.13) не привела к желаемым результатам.
В 1979-1981 годах были опубликованы статьи автора, в которых рассмотрены уравнения более общего вида (3.16), (3.18) и (3.20):
в пространстве , с тем же весом , где
в пространстве с тем же весом, но при условии, что
в пространстве , при условии (3.17).
Из результатов автора как прямое следствие вытекает, что можно брать и отрицательные и . Более того можно брать и условие коэрцитивности на нелинейность при этом является излишним.
Рассмотрены нелинейные сингулярные интегральные уравнения на действительной оси в комплексных пространствах с общим весом , т.е. есть любая неотрицательная почти всюду отличная от нуля на измеримая функция. В случае оси возникают дополнительные трудности связанные, по сути дела, с тем, что пространства не являются вложенными друг в друга. В связи с этим представляют интерес следующие две леммы.
Лемма 3.1. Пусть и . Тогда сингулярный оператор
действует из в , непрерывен и положителен, причем
Лемма 3.2. Пусть , вес , и функция Тогда сингулярный оператор
Действует из в , ограничен и положителен, причем:
Обозначим через множество всех комплексных числе. Введем в рассмотрение нелинейный оператор суперпозиции , порожденный комплекснозначной функцией , удовлетворяющей условиям Каратеодори:
1) существуют такие, что для почти всех и любого
2) для почти всех и всех выполняется неравенство: ;
3) существуют и такие, что для почти всех и любого ;
4) существуют и такие, что для почти всех и любого
5) для почти всех и всех выполняется неравенство:
6) существуют такие что для почти всех и всех
Следующие теоремы относятся к различным классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений исследование каждого из которых требует своего особого подхода.
Теорема 3.2. Пусть почти всюду отличная от нуля на функция. Если а удовлетворяет условиям 1-3, то уравнение
Имеет решение при любых таких, что кроме того, если в условии 3 , то . Решение единственно, если выполнено условие 5 или .
Теорема 3.3. Пусть Если удовлетворяет условиям 1,3 и 5, то уравнение
Имеет единственное решение . Если в условиях 1 и 3 , то .
Теорема 3.4. Пусть Если удовлетворяет условиям 4-6, то уравнение
Имеет единственное решение при любом . Кроме того, если , то
· Разработан учебно-методический комплекс дисциплины "Уравнений типа свертки" для студентов 4 курса;
· Получены углубленные знания в области краевых задач и приводящихся к ним интегральным уравнениям типа свертки;
· Исследованы методы решения различных классов уравнений свертки и применены полученные результаты к решению задач;
· Проведены сравнения между ВУЗами по дисциплинам "Уравнения типа свертки".
В дипломной работе изложена методика решения уравнений типа свертки. Полученные результаты исследования интегральных уравнений типа свертки приводится с помощью сведения к краевым задачам теории аналитических функций, задаче Римана и Карлемана. Приведены теоремы Нетера.
Предложены методы решения уравнений Винера-Хопфа, парных уравнений, уравнений с одним и двумя ядрами, уравнений плавного перехода и сингулярных уравнений на вещественной оси.
Решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов с помощью метода Винера-Хопфа. Решение задач в случае бесконечного и полубесконечного промежутка. Применение метода Винера-Хопфа к уравнению Лапласа. реферат [1,3 M], добавлен 18.05.2010
Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур. курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011
Изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений. Составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке Фортран - IV. Приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ. методичка [150,8 K], добавлен 27.11.2009
Характеристика и использование итерационных методов для решения систем алгебраических уравнений, способы формирования уравнений. Методы последовательных приближений, Гаусса-Зейделя, обращения и триангуляции матрицы, Халецкого, квадратного корня. реферат [60,6 K], добавлен 15.08.2009
Анализ методов решения систем нелинейных уравнений. Простая итерация, преобразование Эйткена, метод Ньютона и его модификации, квазиньютоновские и другие итерационные методы решения. Реализация итерационных методов с помощью математического пакета Maple. курсовая работа [820,5 K], добавлен 22.08.2010
Историческая справка о возникновении и развитии теории неопределенных уравнений. Числовые сравнения и их свойства, а также линейные сравнения с одним неизвестным и методы их решения. Методы решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными. курсовая работа [320,8 K], добавлен 01.07.2013
Сущность итерационного метода решения задачи, оценка его главных преимуществ и недостатков. Разновидности итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений: Якоби, Хорецкого и верхней релаксации, их отличия и возможности применения. курсовая работа [39,2 K], добавлен 01.12.2009
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Методика решения уравнений типа свертки дипломная работа. Математика.
Реферат: Soil Analysis Report Essay Research Paper Soil
Белок Реферат
Доклад по теме Трудоголиков надо лечить
Сочинение На Тему Недоросль Как Произведение Классицизма
Сочинение На Тему Обыкновенный Человек
Дипломная работа: Розробка конструкції акустичної системи
Доклад: Гарсия II Хименес король Наварры
Гиа 9 Сочинения
Семья Кристалл Общества Эссе Аргументы
Мой Хороший Поступок Сочинение 5 Класс
Газоснабжение Курсовой Проект
Курсовая Количество Страниц По Госту
Сочинение Про Бабу
Финансирование Здравоохранения Реферат
Курсовая работа: Договор найма жилых помещений по законодательству РФ. Скачать бесплатно и без регистрации
Дипломная работа: Составление деловых писем
Микронаполненные и гибридные композиты
Жюль Верн Собрание Сочинений Скачать
Дипломная работа: Оценка состояния популяции диких гусей Верхнего Приамурья
Олимпийские Игры В Канаде Реферат
Административное право - Государство и право презентация
Правовое регулирование городского строительства - Государство и право реферат
Нивелирование поверхности по квадратам - Геология, гидрология и геодезия курсовая работа