Методика организации и проведения уроков итогового повторения в 9 классе по теме: 'Основные методы решения планиметрических задач' в плане подготовки к ГИА. Дипломная (ВКР). Педагогика.
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Методика организации и проведения уроков итогового повторения в 9 классе по теме: 'Основные методы решения планиметрических задач' в плане подготовки к ГИА
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
Министерство
образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ
ВПО Нижегородский государственный педагогический университет
Факультет
математики, информатики и физики
Кафедра
математического анализа, теории и методики обучения математике
Методика
организации и проведения уроков итогового повторения в 9 классе по теме:
«основные методы решения планиметрических задач» в плане подготовки к ГИА
§
1. Обобщающее повторение по математике: его цели, особенности организации и
проведения
§
2. Основные методы решения планиметрических задач школьного курса геометрии
§
3. Специальные приёмы решения планиметрических задач школьного курса геометрии
§1.
Тематическое планирование уроков
С
2004 года в Российской Федерации проводится апробация государственной
(итоговой) аттестации (ГИА) выпускников девятых классов в новой форме.
В
КИМ ГИА-9 в условиях апробации новой формы экзамена достигнута определенная
стабильность (в целом год от года сохраняется структура и содержание КИМ ГИА по
абсолютному большинству предметов). Необходимые корректировки структуры и
содержания работы (изменение количества заданий, усиление практико-ориентированной
составляющей, увеличение доли заданий, выполнение которых требует опоры на
логическое мышление, умения делать выводы и т.п.) вносятся постепенно после
широкого общественного обсуждения и апробационных исследований. При этом КИМ
ГИА ежегодно совершенствуются по каждому общеобразовательному предмету:
уточняются формулировки заданий и подходы к отбору экзаменационного материала,
совершенствуется система оценивания отдельных заданий и экзаменационной работы
в целом.
Основное
отличие экзаменационной работы от модели, действовавшей в последние годы,
заключается в том, что в ней отражены предложения по раздельному оцениванию
алгебраической и геометрической подготовки учащихся с целью выставления отметок
по курсу алгебры и курсу геометрии, а также усилен блок заданий по
использованию приобретенных знаний и умений в практической деятельности и
повседневной жизни. Работа включает три модуля - «Алгебра», «Геометрия»,
«Реальная математика».
Максимальное
количество баллов, которое может получить экзаменуемый за выполнение всей
экзаменационной работы, - 38 баллов. Из них - за модуль «Алгебра» - 17 баллов,
за модуль «Геометрия» - 14 баллов, за модуль «Реальная математика» - 7 баллов.
Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 6 заданий базового уровня, в
части 2 - 2 задания в одном из которых необходимо уметь проводить доказательные
рассуждения при решении задач, а в другом уметь выполнять действия с
геометрическими фигурами, координатами и векторами.
Рекомендуемый
минимальный результат выполнения экзаменационной работы, свидетельствующий об
освоении федерального компонента образовательного стандарта в предметной
области «Математика», - 8 баллов, набранные в сумме за выполнение заданий всех
трёх модулей, при условии, что из них не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не
менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная
математика». Преодоление этого минимального результата даёт выпускнику право на
получение, в соответствии с учебным планом образовательного учреждения,
итоговой оценки по математике или по алгебре и геометрии.
В
процессе обучения математике важное место отводится организации повторения
изученного материала. Необходимость повторения обусловлена задачами обучения,
требующими прочного и сознательного овладения ими. Одним из важнейших вопросов,
способствующих дальнейшему повышению успеваемости, достижению глубоких и
прочных знаний у учеников является вопрос о повторении ранее пройденного
материала.
Без
прочного сохранения приобретенных знаний, без умения воспроизвести в
необходимый момент, ранее пройденный материал, изучение нового материала всегда
будет сопряжено с большими трудностями и не дает надлежащего эффекта.
Проблема
повторения широко обсуждается в литературе. Большое значение повторению
учебного материала и упражнений придавали Я.А.Коменский, Н.И.Лобачевский,
К.Д.Ушинский . Широко известны классификации повторений по различным признакам
[О.А.Аракелян, М.К.Бишевский, Л.Ю. Березина и др. ], описаны приемы и методы
организации повторения [Т.К.Авдеева, О.А.Аракелян, Г.В.Асауляк, О.К.Афанасьева,
М.К.Бишевский и др. ]
Чтобы
готовить учащихся к решению планиметрических задач необходимо проводить
итоговое повторение по данной теме. Однако, в виду загруженности программы и
нехватки часов итоговое повторение осуществляется не в полном объеме, или не
осуществляется вовсе.
В
свете вышесказанного следует, что, не смотря на всю важность и значимость курса
планиметрии в школьной программе, большему количеству разработок в плане
итогового повторения, процент верно выполненных планиметрических заданий в ГИА
находится на низком уровне.
Всё
это определяет актуальность проблемы исследования, которая заключается в
разрешении указанного противоречия путём разработки научно-обоснованных
методических рекомендаций по организации и проведению итогового повторения
школьного курса математики.
Проблема
исследования заключается в систематизации знаний учащихся и проведения
итогового повторения курса планиметрии.
Объект
исследования - Процесс обучения планиметрии учащихся основной школы.
Предмет
исследования - Методическая система организации итогового повторения
планиметрии и систематизация приемов и методов решения планиметрических задач.
Цель
исследования - Обосновать необходимость итогового повторения, выяснить, какова
роль итогового повторения курса планиметрии при подготовке к ГИА, выявить
условия организации школьного курса планиметрии и на их основе разработать
решение.
Гипотеза
исследования: если в соответствии с систематизацией знаний и умений учащихся,
организовать итоговое повторение по курсу планиметрии, включив основные методы
решения планиметрических задач, то это будет способствовать более эффективной
сдачи ГИА.
Исходя
из сформулированной гипотезы для достижения цели исследования, были определены
следующие задачи:
провести
анализ научно-методической, математической, психолого-педагогической литературы
по теме исследования;
выделить
цели и особенности организации и проведения итогового повторения школьного
курса математики;
выделить
основные и специальные методы решения планиметрических задач;
разработать
методические рекомендации по теме исследования;
провести
опытную проверку разработанной методики.
Проблема,
цели, задачи обусловили выбор методов исследования:
анализ
научной, методической, математической литературы по теме;
анализ
результатов решения планиметрических задач в ГИА;
проведение
диагностики решения планиметрических задач;
Значимость
состоит в том, что результаты и выводы исследования, содержание уроков
итогового повторения могут быть использованы учителями при проведении уроков по
разработанной тематике.
§
1. Обобщающее повторение по математике: его цели, особенности организации и
проведения
Повторение
можно классифицировать в зависимости от содержания повторяемого материала:
повторение, проводимое на уровне понятий, на уровне системы понятий, на уровне
теорий. Это дает возможность осуществлять дифференцированный подход к учащимся,
учитывать их возрастные и индивидуальные особенности [7]
Обобщающее
повторение на уровне понятий в большей степени приемлемо в группе
слабоуспевающих учащихся, а обобщающее повторение па уровне теорий - в группе
наиболее подготовленных учащихся. При работе со слабыми учащимися не следует
пассивно приспосабливаться к их слабым сторонам, необходимо активно
воздействовать на их умственное развитие, чтобы ученики постепенно переходили к
наиболее оптимальному процессу обучения. Ученика, достигшего определенных
положительных сдвигов в учении, надо как можно быстрее вводить в общий ритм
работы класса, оказывая при этом необходимую помощь.
При
обобщающем повторении на уровне понятий сопоставляются изученные понятия,
школьники учатся переформулировать определения понятий через другую
совокупность существенных признаков, давать определение понятию, принимая за
основу (если это возможно) другое родовое понятие, отличное от того, которое
содержалось в исходном определении понятия. В процессе этой работы у учащихся
вырабатываются умения сравнивать понятия по схеме: выделение признаков понятий
нахождение различных, а затем сходных признаков, сопоставление понятий по этим
признакам. Основными методами работы на таких уроках являются методы наблюдения
и сравнения.
Например,
при повторении понятия касательная к окружности полезно, чтобы ученики свойство
касательной (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в
точку касания) переформулировали в определение касательной: прямая, проходящая
через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку,
называется касательной к окружности. Определение касательной (прямая, имеющая с
окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности)
переформулировали как свойство касательной: касательная с окружностью имеет
одну общую точку.
При
обобщающем повторении на уровне системы понятий отыскиваются новые связи и отношения
между понятиями, прослеживается развитие определенных понятий в их
иерархических зависимостях, при этом происходит либо обогащение и расширение
понятий, либо образование новых. Обобщающее повторение на уровне системы
понятий должно быть также направлено на выявление общих свойств группы понятий
и на их распространение на другие понятия, при этом на первый план выдвигается
анализ взаимосвязей понятий. Сначала следует выделить отношения,
устанавливающие связи между элементами одного и того же класса математических
объектов, затем отношения, устанавливающие связи между элементами различных
классов. К ним следует отнести отношения тождества, несогласованности,
подчинения, соподчинения, частичного совпадения.
Для
того чтобы систематизированным знаниям была придана определенная структура,
полезно также представить полученные результаты обобщения в виде
классификационной схемы, сводных таблиц, определенных записей.
В
схемах и таблицах выделяются не только элементы схемы, но и отражаются
отношения между ними. Охватывая разом множество понятий, учащимся легче
проследить за развитием узловых понятий, увидеть, в какие отношения вступает
каждое из них с остальными. Схемы выступают как модель структуры учебного
материала и как средство лучшего отражения этой структуры в сознании учения.
Они помогают школьникам получить целостное представление об изученной порции
учебного материала.
Приведем
примеры схем, которые можно использовать при обобщающем повторении на уровне
системы понятий.
При обобщающем повторении темы «Многоугольники»
происходит сопоставление понятий треугольник, параллелограмм, прямоугольник,
ромб, квадрат, трапеция, выясняются связи между ними. Эти понятия включаются в
новые отношения, учащиеся устанавливают иерархию понятий. Результатом обобщения
может служить схема, изображенная на рис. 1.
Методы работы с таблицами и схемами различны:
учитель проводит беседу, выразив ее результаты в виде схемы; знакомит учащихся
с планом беседы, а затем по этому плану проводит ее; знакомит учащихся со
схемой, по которой они самостоятельно проводят обобщение, предлагает учащимся
самостоятельно обобщить материал и выразить результаты в виде схемы. [12]
Рассмотрев эту схему с учащимися, учитель
предлагает серию вопросов:
Как определить ромб через четырехугольник,
квадрат через четырехугольник, квадрат через ромб?
Можно ли определить ромб через прямоугольник?
Что является пересечением множества всех
прямоугольников и множества всех ромбов?
Методика организации работы учащихся по данной
теме может быть и другой. Например, учитель может лишь определить цель работы и
указать основные вопросы, на которые учащиеся должны найти ответы; определить
не только цель работы и перечень вопросов, но и раскрыть этапы и методику
работы над этими вопросами.
При обобщающем повторении на уровне теорий
дается определенная трактовка изученным понятиям с позиции тех или иных
фундаментальных теорий, входящих в содержание математических курсов, при этом
строится единая, общая форма многообразия частных фактов, явлений понятий.
Значительное внимание уделяется происхождению понятий. Школьники устанавливают
общие закономерности, причинно-следственные отношения, обобщают и
конкретизируют материал, применяют общие положения к конкретным фактам.
Материал, выносимый на обобщающее повторение на уровне теорий, должен
представлять собой логическую систему, вопросы которой объединены той или иной
фундаментальной теорией.
Обобщающее повторение на уровне теорий освещает
полученные знания не только в плане внутри предметных, но и меж предметных
связей, так как многие понятия различных учебных предметов получают единую
трактовку с позиций одной какой-либо теории.
Например, при повторении темы «Векторы» основное
внимание следует уделить векторному методу решения задач. Сначала необходимо
повторить основные теоретические факты: коллинеарность и равенство векторов,
сложение, вычитание и умножение вектора на число. Основное время урока следует
отвести для решения задач, показывающих применение векторов при доказательстве
и решении задач.
Повторение можно организовать в ходе решения
задач:
На стороне BC треугольника отмечена
точка N так, что . Выразите
вектор через
векторы и .
Три точки A, B и C расположены так,
что . Докажите,
что для любой точки O справедливо равенство .
Доказать для того, чтобы C было
серединой отрезка AB необходимо и достаточно выполнение векторного равенства .
Докажите, что отрезок, соединяющий
середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности
оснований.
Докажите, что отрезки, соединяющие
середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой
пересечения делятся пополам.
Пусть , и - медианы треугольника , а произвольная
точка. Докажите, что .
Дан четырехугольник и точка . Что
представляет собой данный четырехугольник, если .
Заметим, что для того, чтобы
повторение сыграло определенную положительную роль, нужно не эпизодическое, а
систематическое, целенаправленное его использование после изучения различных
тем, разделов и всего курса в целом. [13]
В контрольно-измерительные материалы
единого итоговой государственной аттестации по математике за курс средней школы
и государственного экзамена за курс основной школы включены задания по
геометрии, результаты выполнения которых учитываются при определении порога
успешности, то этот факт актуализирует своевременное изучение геометрии в
полном объеме. Прежде всего, незнание фундаментальных метрических формул, а
также свойств основных планиметрических фигур полностью лишает учащихся
возможности применять свои знания по планиметрии при решении соответствующих
задач ГИА и ЕГЭ.
В контрольно-измерительные материалы
2008 г. были включены задания по всем основным содержательным разделам курса
планиметрии:
«Треугольники» (прямоугольный
треугольник, признаки равенства треугольников, решение косоугольного
треугольника, подобие треугольников, площадь треугольника);
«Четырехугольники» (параллелограмм и
его виды, трапеция);
«Правильные многоугольники»
(четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, девятиугольник,
двенадцатиугольник);
«Окружность» (длина окружности,
площадь круга, касательная к окружности и её свойства; вписанная и описанная
окружности);
В приведенной ниже таблице 1
представлено распределение заданий по разделам курса геометрии в зависимости от
уровня сложности.
При разработке содержания экзаменационной работы
учитывалась необходимость проверки овладения различными видами деятельности.
При этом задания подбирались с учетом распределения по видам деятельности,
представленного в таблице 2.
%
от максимального балла за всю работу
Применять
знания и умения в знакомой ситуации
Применять
знания и умения в измененной ситуации
Применять
знания и умения в новой ситуации
Для учащихся, собирающихся продолжить обучение в
старшей школе важно сформировать представление о геометрии как об
аксиоматической науке. Это позволит им получить целостное представление о
математике и иметь предпосылки для успешного обучения в будущем.
Для учителей математики будет полезна следующая
система работы в 9-х классах во время подготовки к ГИА в новой форме. [10]
Введение государственной итоговой аттестации по
математике в новой форме (ГИА) в 9 классе вызывает необходимость изменения в
методах и формах работы учителя.
Данная необходимость обусловлена тем, что
изменились требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся в материалах
экзамена по математике. Само содержание образования существенно не изменилось,
но существенно сместился акцент к требованиям умений и навыкам. Изменилась
формулировка вопросов: вопросы стали нестандартными, задаются в косвенной
форме, ответ на вопрос требует детального анализа задачи. И это всё в первой
части экзамена, которая предусматривает обязательный уровень знаний. Содержание
задач изобилует математическими тонкостями, на отработку которых в
общеобразовательной программе не отводится достаточное количество часов. В
обязательную часть включаются задачи, которые либо изучались давно, либо на их
изучение отводилось малое количество времени (проценты, стандартный вид числа,
свойства числовых неравенств, задачи по статистике, чтение графиков функций), а
также задачи, требующие знаний по другим предметам, например, по физике.
К сожалению, научно-методические службы не
обеспечивают школы новыми, соответствующими современным требованиям,
учебно-методическими комплексами, поэтому учителям приходится самим находить
пути решения данной проблемы. И здесь уже однозначного решения нет:
подготовленность детей разная, уровень классов разный. В этой ситуации в
наиболее выгодном положении находятся классы с углубленным изучением
математики.
Изменение тематического планирования. Составить
планирование таким образом, чтобы осталось достаточное число часов на
повторение всего учебного материала. Количество часов можно сэкономить на тех
темах, которые не требуют выработки навыков, а проходят в плане ознакомления, а
также сократить число часов на отработку навыков невостребованных тем. Это надо
делать очень осторожно, тщательно проанализировав содержание экзаменационных
работ.
Включать в изучение текущего учебного материала
задания, соответствующие экзаменационным заданиям.
В содержание текущего контроля включать
экзаменационные задачи.
Изменить систему контроля над уровнем знаний
учащихся по математике
Итоговое повторение построить исключительно на
отработке умений и навыков, требующихся для получения положительной отметки на
экзамене.
Уроки повторения строятся следующим образом. На
уроке разбираются типовые задачи по 2-3 темам. На дом задаются аналогичные
задачи. На следующем уроке выясняются затруднения, которые возникли у учеников,
прорабатывают эти задачи. Затем даётся проверочная работа. Ученики, не сдавшие
зачёт, обязаны дома проработать дополнительный вариант и сдать зачёт на
дополнительном занятии. Через определённое число уроков проводится
тренировочная работа по целому блоку тем, анализируется, корректируется и
проводится зачетная работа по данному блоку тем. Затем цикл повторяется по
другим темам. После обобщающего повторения проводятся (две) предэкзаменационные
работы в условиях, приближенных экзаменационным.
Важно, чтобы все ученики сдали обязательную
часть зачетной работы. В зачётную работу можно (нужно) включать не только
обязательные задания, но и более сложные (для подготовленных учеников).
Подготовка ко второй части работы осуществляется
как на уроках, так и во внеурочное время на элективных курсах. Используются
сборники для подготовки к экзаменам, рекомендованные ФИПИ и МИИО.
Важным условием успешной подготовки к экзаменам
является тщательность в отслеживании результатов учеников по всем темам и в
своевременной коррекции уровня усвоения учебного материала.
Конечно же, данная система требует большего
количества времени учителя на подготовку к урокам, на проверку работ, на
проведение дополнительных занятий. Но, если учитель заинтересован в результатах
своего труда, то ему в любом случае необходимо совершенствовать систему
контроля над уровнем знаний и умений учащихся.
Основными целями математического образования
являются:
интеллектуальное развитие учащихся, формирование
качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых
человеку для полноценной жизни в обществе;
- овладение конкретными математическими
знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения в практической
деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;
- воспитание личности в процессе освоения
математики и математической деятельности;
- формирование представлений об идеях и методах
математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.
В основу отбора содержания общего
математического образования положен принцип реализации поставленных целей на
небольшом по объему информационно емком и практически значимом материале,
доступном для учащихся школьного возраста. При этом представляется необходимым
руководствоваться принципом преемственности, или разумного консерватизма, что
обусловлено в первую очередь тем объективным фактом, что традиционное
содержание обучения математике, сложившееся в течение многих десятилетий,
отражает тот объем математических знаний, которые, с одной стороны, являются
фундаментом математической науки, а с другой - доступны учащимся. Принцип
преемственности должен сочетаться с современными тенденциями развития
отечественной и зарубежной школы.
Геометрические фигуры, измерение геометрических
величин, изучение геометрии подвергается весьма существенному пересмотру,
предлагается отказаться от строго дедуктивного построения курса, усилив
внимание к его наглядно - эмпирическому аспекту.
Проблемой обучения учащихся решению
планиметрических задач занимались математики: Семенов А.В., Трепалин А.С.,
Ященко И.В., Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. и др. Много было выпущено литературы
для подготовки к ГИА этими математиками. Так же и для этого года выпущена
специальная литература: «ГИА 2013. Математика. Семенов А.В., Трепалин А.С.,
Ященко И.В. и др. (2013, 88с.)», «Математика. 9 класс. Тренажер по новому плану
ГИА. Алгебра, геометрия, реальная математика. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова
С.Ю. (2013, 160с.)», «ГИА. Математика. 9 класс. Практикум по выполнению типовых
тестовых заданий. Реальные тесты. Лаппо Л.Д., Попов М.А. (2013, 80с.)» и др.
Спецификация контрольных измерительных
материалов для проведения в 2013 году государственной (итоговой) аттестации (в
новой форме) по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные общеобразовательные
программы основного общего образования:
Часть 1. В этой части экзаменационной работы
содержатся задания по всем ключевым разделам курса геометрии основной школы,
отраженным в кодификаторе элементов содержания. Распределение заданий по
разделам содержания приведено в таблице 3.
Табл. 3. Распределение заданий части 1 по
разделам содержания
Табл. 4. Распределение заданий части 1 по КЭС
Геометрические
фигуры и их свойства
Требования к уровню подготовки выпускников,
соответствующие Федеральному компоненту государственного образовательного
стандарта, зафиксированы в кодификаторе требований (КТ).
Табл. 5. Распределение заданий части 1 по
требованиям
Уметь
выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
Проводить
доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую
правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения
Требования к уровню подготовки выпускников
распределяются по следующим категориям познавательной деятельности:
знание/понимание (владение терминами;
распознавание); применение знаний для решения математической задачи (умение
решить геометрическую задачу, предполагающую применение системы знаний,
включение известных понятий, приемов и способов решения в новые связи и
отношения, распознавание стандартной задачи в измененной формулировке);
рассуждение (умение оценивать логическую
правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения).
Табл. 6. Распределение заданий части 1 по
категориям познавательной деятельности
Категория
познавательной деятельности
Применение
знаний для решения математической задачи
Часть 2. Задания второй части экзаменационной
работы направлены на проверку таких качеств геометрической подготовки
выпускников, как:
умение решить планиметрическую задачу, применяя
различные теоретические знания курса геометрии;
умение математически грамотно и ясно записать
решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;
владение широким спектром приемов и способов
рассуждений.
Все задания Части 2 базируются на содержании,
регламентируемом Федеральным компонентом государственного стандарта общего
образования по математике. Распределение заданий по разделам кодификаторов
элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников представлено
в таблицах 7 и 8.
Табл. 7. Распределение заданий части 2 по
разделам содержания
Табл. 8. Распределение заданий части 2 по
требованиям
Проводить
доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую
правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения
Уметь
выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
Решение: Проведём радиусы ОА, ОВ, ОС, ОD.
Треугольники АОВ и СОD равны по трём сторонам. ОК и ОL - их высоты, проведённые
к равным сторонам, следовательно, они равны как соответственные элементы равных
треугольников.
Часто решающий задачу интуитивно использует
дополнительное построение, но, не выделяя его как метод, может не увидеть
целесообразности его применения в других, более сложных или даже аналогичных
задачах.
Как узнать, какое дополнительное построение
следует выполнять в том или ином случае? Ответ на этот вопрос дает своего рода
классификация дополнительных построений, связанная с характерными признаками
фигуры, данной в задаче. Тщательный анализ решений достаточно большого
количества задач, в которых дополнительное построение используется прямо или
косвенно, показал, что целесообразность применения того или иного
дополнительного построения зависит от этих признаков.
Дополнительное построение 1. Если в треугольнике
задана медиана, то треугольник достраивается до параллелограмма с центром в
основании этой медианы (рис. 1).
В зависимости от содержания задачи такое
достраивание можно выполнять для одной, двух или даже трех медиан. При этом
возможно использование не всего параллелограмма, а лишь его части (например,
треугольника ABA2).
Задача №1. Две стороны треугольника равны 27 и
29, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 26. Найти высоту,
проведенную к стороне 27.
∆ABC, AB=27,BC=29,BO=26 − высота −
медиана
. Дополнительное построение: строим OE=BO, ABCE-
параллелограмм (по признаку) BC=AE=29. AB=EC=27
Дополнительное построение 2. Если дана трапеция,
то ее диагональ или боковая сторона параллельно переносятся (рис. 2).
Задача №2. Найти высоту равнобедренной трапеции,
если её диагонали взаимно перпендикулярны, а площадь трапеции равна S.
Дано:− равнобедренная трапецияи BD −
диагонали
. Дополнительное построение: строим
CE||BD
. равнобедренный (т.к AC=BD, BD=CE, AC=CE)
. прямоугольный (т.к CO BD, BD||CE CE CO)
. Проводим высоту CF - она является
медианой и биссектрисой
Sтр.= +AD=AE (т.к BCED- параллелограмм) BC=DEтр.= h=
Дополнительное построение 3.
продолжить на 1/3 длины всей медианы и достроить до параллелограмма
Задача №3. Длина
треугольника выражается формулой a=2/3√2(mb2+mc2)-ma2 ; где ma, mb, mc,
длины медиан треугольника. Докажите.
Отметим на медиане AD точку O
пересечения медиан треугольника; согласно свойству (три медианы треугольника
пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1,
считая от вершины треугольника), она делит AD в отношении AO:OD=2:1
Продолжим OD на расстояние
DF=OD=1/3ma и соединим точку F с B и C
Теперь составим уравнение,
связывающее длины сторон BO=2/3mb, CO=2/3mc и диагоналей OF=2/3ma, BC=a
параллелограмма OBFC
(2/3ma)2+a2=2((2/3mb)2+(2/3mc)2)=2/3√2(mb2+mc2)-ma2
Дополнительное построение №4. Если в
задаче дана длина всех трёх медиан, то как правильно, для того чтоб найти
площадь треугольника, продолжают все медианы на1/3 её длины и достраивают до
параллелограмма.
Задача №4. Медианы треугольника ABC,
AA1=3см, BB1=4см, CC1=5 см Найти площадь треугольника ABC
Продолжим медианы AA1 BB1 и CC1 на
длину отрезков A1E, B1N, C1M равные по длине OA1, OB1, OC1 соответственно
получим шесть равновеликих треугольников MBO, MOA, AON, NOC, COE, OEB стороны
которых равны 2/3 длины медиан
SOBE= = mb; OE= AA1; BE= mc= ·4= OE= ·3=2 = ·5= S=
=SBOA1+SCOA1=SBOA1+SBA1E=SBOE=3SBOE=8cм
Дополнительное построение 5. Если
дан четырехугольник, у которого суммы противоположных сторон равны, то в него
вписывается окружность.
Задача №5. В трапеции ABCD (AB и CD
основания) меньшее основание равно a, углы, прилежащие к этому основанию, равны
, а
диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.
.Дополнительное построение: строю
описанную окружность (т.к трапеция равнобедренная, то можно описать окружность)
Один из основных аналитических
методов решения планиметрических задач является векторный метод
Похожие работы на - Методика организации и проведения уроков итогового повторения в 9 классе по теме: 'Основные методы решения планиметрических задач' в плане подготовки к ГИА Дипломная (ВКР). Педагогика.
Реферат: Солнечно-земная физика
Реферат: Национальный состав Финляндии
Реферат по теме Нидерландская живопись 16 века
Положение О Магистерской Диссертации Вгую
Тишина Сочинение 9.3
Реферат На Тему Стимулирование Сбыта
Как Писать Сочинение 9.3 Шаблон
Реферат: Анализ Государственного бюджета Республики Беларусь
Реферат по теме Речевой этикет в современном русском языке
Систематика и номенклатура бактерий.
Практическое задание по теме Проектирование режущего инстремента
Понятие Безработного Гарантии И Права Безработных Курсовая
Дипломная работа по теме Спеціальні класи та функціональна повнота системи функцій алгебри логіки. Теорема Поста
Сборник Контрольных Работ Начальной Школе
Реферат: Буржуазная революция в Англии
Курсовая работа по теме Освещение молочного блока
Реферат: Формирование характера Алеши - главного героя сказки "Черная курица, или Подземные жители"
Написать Диссертацию На Заказ Цена
Реферат: Характеристика елліністичної архітектури
Реферат: Образ княжны Марьи в романе Толстого Война и мир. Скачать бесплатно и без регистрации
Похожие работы на - Главное противоречие советской власти
Курсовая работа: Оценка конкурентоспособности мясных консервов, выработанных предприятием Открытого Акционерного Общества "БурятМясоПром"
Реферат: Васнецов Виктор Михайлович