Метод разделения переменных в уравнениях теплопроводности. Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование.
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Информационное обеспечение, программирование
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Метод разделения переменных в уравнениях теплопроводности
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
Государственное образовательное
учреждение
высшего профессионального образования
«Московский государственный
технический университет им. Н.Э. Баумана»
Кафедра "Программного
обеспечения ЭВМ, информационных технологий и прикладной математики"
(ФН1-КФ)
На тему «Метод разделения переменных
в уравнениях теплопроводности»
1. Техническое задание на разработку пакета программ
.4 Требования к программной документации
.1 Общие сведения о программной платформе и среде разработки
.1 Описание логической структуры программы
.1.1 Метод разделения переменных для бесконечного стержня
.1.2 Метод разделения переменных для полубесконечного стержня
.1.3 Метод разделения переменных для ограниченного стержня
Данный курсовой проект представляет собой моделирования процесса
распространения тепла в стержне (бесконечном, полубесконечном и ограниченном)
методом разделения переменных.
Проект предназначен для расчета распространения тепла в стержне. Возможно
использование в различных процессах моделирования.
Программа должна обеспечивать возможность моделирования распространения
тепла методом разделения переменных в:
Надежное функционирование программы должно быть обеспечено выполнением
Заказчиком совокупности организационно-технических мероприятий, перечень
которых приведен ниже:
а) организацией бесперебойного питания технических средств;
б) использованием лицензионного программного обеспечения;
в) регулярным выполнением требований ГОСТ 51188-98. Защита информации.
Отказы программы вследствие некорректных действий пользователя при
взаимодействии с программой недопустимы.
В состав технических средств должен входить IВМ-совместимый персональный
компьютер (ПЭВМ) включающий в себя:
. процессор Pentium-4, не менее 1800MHz;
. оперативную память объемом, 512 Мегабайт, не менее;
. операционную систему семейства Windows, начиная с версии Windows XP;
. Монитор, поддерживающий разрешение от 1280х1024 и выше;
Состав программной документации должен включать в себя:
. Должны быть разработаны следующие программные документы:
. Техническое задание (ГОСТ 34.602-89).
. Исследовательская часть (ГОСТ 19.506-79).
. Процесс распространения тепла в бесконечном стержне (диаграмма)
. Метод разделения переменных для бесконечного, полубесконечного и
конечного стержня (диаграмма)
Разработка должна быть проведена в три стадии:
На стадии разработки технического задания должен быть выполнен этап
разработки, согласования и утверждения настоящего технического задания.
На стадии рабочего проектирования должны быть выполнены перечисленные
ниже этапы работ:
. разработка программной документации;
На последней стадии, выполняется написание/испытание программы, которая
была спроектированная на втором этапе.
На этапе разработки технического задания должны быть выполнены
перечисленные ниже работы:
. определение и уточнение требований к техническим средствам;
. определение требований к программе;
. определение стадий, этапов и сроков разработки программы и документации
на неё;
. согласование и утверждение технического задания. На этапе
проектирования программы должна быть выполнена работа по выбору средств для
выполнения проекта, и описание назначения основных модулей программы.
На этапе разработки программной документации должна быть выполнена
разработка программных документов в соответствии с требованиями к составу
документации.
На этапе испытания программы должны быть выполнены перечисленные ниже
виды работ:
. разработка, согласование и утверждение и методики испытаний;
. проведение приемо-сдаточных испытаний;
. корректировка программы и программной документации по результатам
испытаний.
- система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг
пользователей. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры,
это указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые
способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения
системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только
символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными
средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.
Казалось бы, нелепо называть такую мощную систему, как Maple 13
математической системой «для всех». Однако по мере ее распространения она
становится полезной для многих пользователей ПК, вынужденных в силу
обстоятельств (работа, учеба, хобби) заниматься математическими вычислениями и
всем, что с ними связано. А все это простирается от решения учебных задач в
вузах до моделирования сложных физических объектов, систем и устройств, и даже
создания художественной графики (например, фракталов).
Для наших читателей (в том числе и для математиков-профессионалов)
возможности систем символьной математики, реализованных на массовых ПК класса
IBM PC, порой являются полной неожиданностью и вызывают вполне заслуженное
удивление и восхищение, но иногда и резкое отрицание. Впрочем, последнее
характерно скорее для тех, кто с системой Maple просто не работал и относится к
ней, как дама из анекдота о паровозе - увидев паровоз впервые, она воскликнула:
«Не может быть, что он едет без лошадей!» Maple - тщательно и всесторонне
продуманная система компьютерной математики. Она с равным успехом может
использоваться как для простых, так и для самых сложных вычислений и выкладок.
Заслуженной популярностью системы Maple (всех версий) пользуются в университетах
- свыше 300 самых крупных университетов мира (включая и наш МГУ) взяли эту
систему на вооружение. А число только зарегистрированных пользователей системы
уже давно превысило один миллион. Ядро системы Maple используется в ряде других
математических систем, например в MATLAB и Mathcad, для реализации в них
символьных вычислений.
Добавьте к этому куда большее число незарегистрированных пользователей -
ведь система записана на многих компакт-дисках, лихо продаваемых в России по
вполне доступным ценам. Если учесть все это, то оказывается, что популярность
системы Maple ничуть не ниже, а то и выше, чем у гораздо более простых систем,
таких как Derive и Mathcad. Вот и решайте, какая из систем и впрямь рассчитана
на всех!- типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:
· мощный язык программирования (он же язык для интерактивного
общения с системой);
· редактор для подготовки и редактирования документов и
программ;
· современный многооконный пользовательский интерфейс с
возможностью работы в диалоговом режиме;
· мощную справочную систему со многими тысячами примеров;
· ядро алгоритмов и правил преобразования математических
выражений;
· численный и символьный процессоры;
· систему диагностики;
· библиотеки встроенных и дополнительных функций;
· пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых
других языков программирования и программ.
Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из программы. Maple -
одна из самых мощных и «разумных» интегрированных систем символьной математики,
созданная фирмой Waterloo Maple, Inc. (Канада).
Во многих обзорах систем компьютерной алгебры Maple справедливо считается
одним из первых кандидатов на роль лидера среди них. Это лидерство она
завоевывает в честной конкурентной борьбе с другой замечательной математической
системой - Mathematica 4.1. Каждая из данных двух систем имеет свои
особенности, но в целом эти две лидирующие системы практически равноценны.
Однако надо отметить, что появление новейшей версии Maple 13 означает очередной
виток в соревновании этих систем за место лидера мирового рынка. Причем виток
на этот раз раньше сделала система Maple 13.
Система Maple прошла долгий путь развития и апробации. Она реализована на
больших ЭВМ, рабочих станциях Sun, ПК, работающих с операционной системой Unix,
ПК класса IBM PC, Macintosh и др. Все это самым положительным образом повлияло
на ее отработку и надежность (в смысле высокой вероятности правильности решений
и отсутствия сбоев в работе). Не случайно ядро системы Maple V используется
целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами
класса Mathcad и MATLAB. А совсем недавно упрощенная версия Maple для
операционной системы Windows СЕ стала использоваться в миниатюрных компьютерах
фирмы Casio - Cassiopeia
Поскольку метод разделения переменных позволяет решать различные
дифференциальные уравнения, а большинство задач уравнений математической физики
сводится к решению дифференциальных уравнений, то изучение метода является
необходимым для улучшения знаний в области дифференциальных уравнений и
уравнений математической физики.
Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны,
закрепленной на концах .
Итак, будем искать решение уравнения
удовлетворяющее однородным граничным условиям
Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также
является решением этого уравнения. Будем искать решение уравнения в виде
где
X ( x )- функция только переменного , T ( t )-
функция только переменного .
Подставим
(4) в уравнение (1), получим:
Чтобы
функция (4) была решением уравнения (1), равенство (5) должно удовлетворяться
тождественно, то есть для всех значений независимых переменных , . Правая
часть равенства (5) является функцией только переменного x , а левая-
только .
Фиксируя,
например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим,
что правая и левая части (5) при изменении своих аргументов сохраняют
постоянное значение, то есть
Из соотношения (6) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для
определения функций X ( x ) и T ( t ).
Отсюда
следует, что функция X ( x ) должна удовлетворять дополнительным
условиям
так как иначе мы имели бы T ( t )≡0 и U ( x, t )≡0,
в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения.
Таким образом, в связи с нахождением функции X ( x ) мы
приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти такие значения
параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения задачи:
а
также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями , а
соответствующие им нетривиальные решения - собственными функциями задачи
(10).
1. , например, .Запишем
характеристическое уравнение для (10):
Общее решение уравнения может быть записано в виде
Но
в рассмотренном случае - действительно и положительно, так что .
Поэтому
, и,
следовательно, , а мы ищем нетривиальное решение.
При
также не существует нетривиальных решений. Действительно,
в этом случае общее решение уравнения (7) имеет вид
то
есть A =0 и B =0 и, следовательно, .
Характеристическое уравнение имеет вид
где
n - любое целое число. Обозначим p через ,
- нетривиальное решение задачи (10),((11)
определяемое
с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице.
Этим же значениям соответствуют решения уравнения (8).
Возвращаясь
к задаче (1) - (3), заключаем, что функции
являются
частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (3) и
представимыми в виде произведения (4) двух функций.
Обратимся
к решению в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма
частных решений
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (2).
Начальные
условия позволяют определить и . Потребуем, чтобы функция (13) удовлетворяла условиям
(3):
Если
функции и удовлетворяют
условиям разложения в ряд Фурье, то
Подставив (15) в (13), мы удовлетворим краевым условиям и получим решение
уравнения.
В самом начале задается уравнение тепловроподности
Затем указывается что решение будет искаться в виде:
Далее производится замена = = - , в следствие чего имеем:
Откуда получаем, что общее решение имеет вид:
Функция - есть решение уравнения для любого (где - непрерывно меняющейся параметр со
значениями в интервале от - до + ), причем для каждого будут соответствующие коэффициенты и .
Для определения и пользуемся начальными условиями и получаем:
Это выражение соответствует разложению в интеграл Фурье, которое имеет
следующий вид:
Таким образом коэффициенты и можно представить как:
Подставляем выраженные коэффициенты в , получаем:
После чего сделаем замену переменной и упростим:
Подставим в рассматриваемый интеграл, имеем:
В итоге получаем, получаем решение задачи в виде:
Пример 1 . Начальное условие задано в виде функции, имеющий вид:
В результате подстановки начального условия, получим решение в виде:
Пример 2 . Начальное условие задано в виде кусочно-заданной функции, имеющий вид:
В результате подстановки начального условия, получим решение в виде:
с начальным условием и граничным условием:
. Конец стержня в точке теплоизолирован:
. Конец стержня в точке поддерживается при постоянной температуре:
Далее аналогично, как для бесконечного стержня полчаем решение в виде:
. После чего рассматривается случай, когда конец стержня в точке теплоизолирован:
В этом случае необходимо продолжить на отрицательную полуось четным
образом: = .
Затем, уравнение u(t,x) дифференцируется по х, и получаем:
Здесь подынтегральная функция нечетна; поэтому интеграл равен нулю и
граничное условие в точке выполнено.
При этом решение может быть записано в виде:
. После чего рассматривается случай, когда конец стержня в точке поддерживается при постоянной
температуре ( ):
Для решения этой задачи преобразуем граничное условие к однородному :
При этом необходимо продолжить на отрицательную полуось нечетным
образом: = .
В этом случае решение задачи - функция:
Учитывая нечетность функции , получаем:
Для вычисления этих интегралов производятся замены:
После подстановки и упращения получим:
Пример 1 . Начальное условие задано в виде кусочно-заданной функции, имеющий вид:
моделирование тепло стержень переменная
То есть конец стержня в точке теплоизолирован.
В результате подстановки начального и граничного условия, получим решение
в виде:
Пример 2 . Начальное условие задано в виде кусочно-заданной функции, имеющий вид:
То есть конец стержня в точке поддерживается при постоянной
температуре ( ).
В результате подстановки начального и граничного условия, получим решение
в виде:
с начальным условием и граничными условиями:
( - коэффициент теплопроводности, и - коэффициенты теплообмена на концах
стержня, и - температуры на концах стержня).
Далее аналогично, как для бесконечного стержня получаем общее решение в
виде:
Чтобы применить метод Фурье, необходимо свести исходную задачу к случаю
однородных граничных условий.
Здесь и - постоянные коэффициенты. Тогда:
Граничные условия при этом запишутся:
Поскольку для предполагаются однородные граничные условия, получаем:
В этом случае граничные условия для действительно примут вид однородных:
При этом функция удовлетворяет тому же уравнению, что и :
Поэтому для функция общее решение имеет вид:
Учтем однородные граничные условия для :
Решаем полученные уравнения относительно С1 и получаем, что С1 равняется:
Отсюда имеем уравнение, определяющее :
Далее рассматривается несколько режимов.
. Концы стержня в одинаковом режиме; концы стержня теплоизолированы:
Из первого уравнения видно, что , тогда:
При подстановки начального условия:
Поэтому коэффициенты определяются согласно формулам преобразования Фурье:
Таким образом, общее решение имеет вид:
. Концы
стержня в разных режимах; один конец стержня теплоизолирован, температура на
втором конце постоянна:
Поэтому коэффициенты определяются согласно формулам преобразования Фурье:
Пример 1 . Начальное условие задано в виде кусочно-заданной функции, имеющий вид:
А граничные условия имеет вид первого типа.
В результате подстановки начального и граничного условия, получим решение
в виде:
Пример 2 . Начальное условие задано в виде кусочно-заданной функции, имеющий вид:
А граничные условия имеет вид третьего типа.
В результате подстановки начального и граничного условия, получим решение
в виде:
Данная программа представляет собой моделирования процесса
распространения тепла в стержне (бесконечном, полубесконечном и ограниченном)
методом разделения переменных
Для запуска необходим программный пакет Maple 13. После чего выбрать файл
(для бесконечного, полубесконечно, ограниченного стержня), и произвести запуск.
· Процессор семейства Pentium - 4
· Операционная система Windows XP/Vista/Seven
· Монитор, поддерживающий разрешение 1280х1024
· 2 Гб места на жестком диске
1. Применение
пакета Maple в курсе “Уравнения математической физики”. Часть 2. Уравнения
параболического типа / А.В.Тихоненко.
2. А.Н.Тихонов,
А.А.Самарский. Уравнения математической физики. М. Издательство Московского
университета. 1999.
. Н.С.
Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. Уравнения в частных производных
математической физики. М. Высшая школа. 1970
. И.Г.
Араманович, В.И. Левин. Уравнения математической физики. М. Наука. 1964.
. В.Я.
Арсенин. Математическая физика. М. Наука. 1966.
PDE:=diff(u(t,x),t)=a^2*diff(u(t,x),x,x);
решение будем искать в виде T(t)*X(x)
struc:=pdsolve(PDE,HINT=T(t)*X(x));
dsolve(diff(X(x),`$`(x,2))=_c[1]*X(x)/a^2);(diff(T(t),t)=-lambda^2*T(t)*a^2);(diff(X(x),`$`(x,2))=-lambda^2*X(x));
>
u(t,x):=(C1*sin(lambda*x)+C2*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);
u[lambda](t,x):=(C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);
> u(t,x):=int(u[lambda](t,x), lambda=-infinity..infinity);
Для определения и пользуемся начальными условиями:
> u_0(t,x):=eval(subs(t=0, u(t,x)))=f(x);
Это выражение соответствует разложению в интеграл Фурье:
>
f(x)=(1/(2*Pi))*int(int(f(xi)*cos(lambda*(xi-x)),xi=-infinity..infinity),
lambda=-infinity..infinity);
Таким образом коэффициенты и можно представить как:
>
C1(lambda):=(1/(2*Pi))*int(f(xi)*sin(lambda*xi),xi=-infinity..infinity);(lambda):=(1/(2*Pi))*int(f(xi)*cos(lambda*xi),xi=-infinity..infinity);
Подставляем выраженные коэффициенты в
u(t,x):=int((C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t),lambda
= -infinity.. infinity);(t,x):=combine(int((C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t),lambda
= -infinity.. infinity));
> int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi),
lambda = -infinity.. infinity);
Сделаем замену переменной и упростим:
>
simplify(subs({xi=-v*a*t^(1/2)+x,lambda=w/(a*sqrt(t))},exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi)));
> Int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi),lambda =
-infinity.. infinity)=(1/(a*sqrt(t)))*int(exp(-w^2)*cos(w*v),w = -infinity..
infinity);
>
Int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi),lambda=-infinity..infinity)=
subs(v=(x-xi)/a/t^(1/2),1/a/t^(1/2)*Pi^(1/2)*exp(-1/4*v^2));
>
u(t,x):=(1/(2*a*sqrt(Pi*t)))*int(f(xi)*exp(-1/4*(x-xi)^2/a^2/t),xi =
-infinity.. infinity);
> a:=1;L:=1;alpha:=1;l:=L/3;(xi):=u0*exp(-gamma^2*xi^2);
> u0:=1;gamma:=0.5;(f(xi), xi=-15..15, color=red,thickness=3);
> u(t,x):=1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int(f(xi)*exp(-1/4*(x-xi)^2/a^2/t),xi =
-infinity.. infinity);
> with(plots):(t,x):=(1/(2*a*sqrt(Pi*t)))*exp(1/(-4*beta^2*a^2*t-1)*x^2*beta^2)*u0/((4*beta^2*a^2*t+1)/a^2/t)^(1/2);
> animate(plot,[u(t,x),x=-15..15], t=0.0001..60,
frames=30,thickness=3);
> a:=1;L:=2;alpha:=1;(x):=x->piecewise(x<-L,0,
x<0,alpha*(1+x/L),xL,0);
> plot(f(x),-10..10,-0.1..1.1, numpoints=400,color=blue,thickness=3);
> restart;(xi):=xi->piecewise(xi<-L,0,
xi<0,alpha*(1+xi/L),xiL,0);
>
u(t,x):=simplify(1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int(alpha*(1+xi/L)*exp(-1/4*(x-xi)^2/a^2/t),xi
= -L.. 0)+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int(alpha*(1-xi/L)*exp(-1/4*(x-xi)^2/a^2/t),xi =
0.. L));
>
with(plots):(t,x):=-1/2*alpha*(-Pi^(1/2)*t^(1/2)*erf(1/2*(L+x)/a/t^(1/2))*L-2*a*t*exp(-1/4*(L+x)^2/a^2/t)-t^(1/2)*x*Pi^(1/2)*erf(1/2*(L+x)/a/t^(1/2))+4*a*t*exp(-1/4/a^2/t*x^2)+2*t^(1/2)*x*Pi^(1/2)*erf(1/2/a/t^(1/2)*x)-Pi^(1/2)*t^(1/2)*erf(1/2*(L-x)/a/t^(1/2))*L-2*a*t*exp(-1/4*(L-x)^2/a^2/t)+t^(1/2)*x*Pi^(1/2)*erf(1/2*(L-x)/a/t^(1/2)))/Pi^(1/2)/t^(1/2)/L;(plot,[u(t,x),x=-15..15],
t=0.0001..15, frames=30,thickness=3);
Однородное уравнение и его решение:
> PDE:=diff(u(t,x),t)=a^2*diff(u(t,x),x,x);
struc:=pdsolve(PDE,HINT=T(t)*X(x));
>
dsolve(diff(T(t),t)=_c[1]*T(t));(diff(X(x),`$`(x,2))=_c[1]*X(x)/a^2);
> dsolve(diff(T(t),t)=-lambda^2*T(t)*a^2);(diff(X(x),`$`(x,2))=-lambda^2*X(x));
В результате общее решение имеет вид:
>
u(t,x):=(C1*sin(lambda*x)+C2*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);
u[lambda](t,x):=(C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);
В результате решение линейного однородного уравнения можно представить в
виде суперпозиции решений, зависящих от параметра :
> u(t,x):=int(u[lambda](t,x), lambda=-infinity..infinity);
Для определения коэффициентов и воспользуемся начальными условиями:
> u_0(t,x):=eval(subs(t=0, u(t,x)))=f(x);
Это выражение соответствует разложению функции в интеграл Фурье:
>
f(x)=(1/(2*Pi))*int(int(f(xi)*cos(lambda*(xi-x)),xi=-infinity..infinity),
lambda=-infinity..infinity);
Значит, коэффициенты и выражаются:
>
C1(lambda):=(1/(2*Pi))*int(f(xi)*sin(lambda*xi),xi=-infinity..infinity);(lambda):=(1/(2*Pi))*int(f(xi)*cos(lambda*xi),xi=-infinity..infinity);(t,x):=int((C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t),lambda
= -infinity..
infinity);(t,x):=combine(int((C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t),lambda
= -infinity.. infinity));
Полученное выражение можно преобразовать.
> int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi),
lambda = -infinity.. infinity);
Сделаем замену переменной и преобразование подынтегральной функции:
> simplify(subs({xi=-v*a*t^(1/2)+x,lambda=w/(a*sqrt(t))},exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi)));
> Int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi),lambda =
-infinity.. infinity)=(1/(a*sqrt(t)))*int(exp(-w^2)*cos(w*v),w = -infinity..
infinity);
> Int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi),lambda=-infinity..infinity)=
subs(v=(x-xi)/a/t^(1/2),1/a/t^(1/2)*Pi^(1/2)*exp(-1/4*v^2));
>
u(t,x):=(1/(2*a*sqrt(Pi*t)))*int(f(xi)*exp(-1/4*(x-xi)^2/a^2/t),xi =
-infinity.. infinity);
. Конец стержня в точке теплоизолирован:
В этом случае необходимо продолжить на отрицательную полуось четным
образом:
Здесь подынтегральная функция нечетна; поэтому интеграл равен нулю и
граничное условие в точке выполнено.
При этом решение может быть записано в виде:
>
u(t,x):=1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int(f(xi)*(exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t)+exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t)),xi=-infinity..infinity);
. Конец стержня в точке поддерживается при постоянной температуре ( ): .
Для решения этой задачи преобразуем граничное условие к однородному :
При этом необходимо продолжить на отрицательную полуось нечетным
образом:
В этом случае решение задачи - функция:
>
U(t,x):=1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int(F(xi)*exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t),xi =
-infinity.. infinity);
>
F(xi):=f(xi)-T0;(t,x):=T0+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int((f(xi)+T0)*exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t),xi
= -infinity.. infinity);
Учитывая нечетность функции , получаем:
>
u(t,x):=T0+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int((f(xi)-T0)*exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t),xi =
-infinity.. 0)+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int((f(xi)-T0)*exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t),xi
= 0.. infinity);
или > u(t,x):=T0+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int((f(xi))*(exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t)-exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t)),xi=0..infinity)-T0*Integr;
где:
> Integr:=1/2/a/(Pi*t)^(1/2)*Int((T0)*exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t),xi =
-infinity.. 0)-1/2/a/(Pi*t)^(1/2)*Int((T0)*exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t),xi
= 0.. infinity);
Для вычисления этих интегралов сделаем замены:
>
subs(xi=x-2*a*t^(1/2)*y,exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t));(xi=-x+2*a*t^(1/2)*y,exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t));
> I1:=simplify((1/a/(Pi*t)^(1/2))*int(exp(-y^2),y = -infinity..
x/(2*a*t^(1/2)))*2*a*t^(1/2))/2;
I2:=simplify((1/a/(Pi*t)^(1/2))*int(exp(-y^2),y =
x/(2*a*t^(1/2))..infinity) *2*a*t^(1/2))/2;
> u(t,x):=collect(T0+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int((f(xi))*(exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t)-exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t)),xi=0..infinity)-T0*Integr,T0);
> a:=1;l:=4;L:=6;alpha:=1;(x):=x->piecewise(xL,0);
> plot(f(x),0..10,-0.1..1.1, numpoints=400,color=blue,thickness=3);
> restart;(xi):=xi->piecewise(xiL,0);
>
u(t,x):=simplify(1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int(f(xi)*(exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t)+exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t)),xi
= l.. L));
>
with(plots):(t,x):=-1/2*(erf(1/2*(l-x)/a/t^(1/2))+erf(1/2*(l+x)/a/t^(1/2))+erf(1/2*(-L+x)/a/t^(1/2))-erf(1/2*(L+x)/a/t^(1/2)));
Представим решения в виде анимированного графика:
> animate(plot,[u(t,x),x=0..25], t=0.00000001..12,
frames=60,thickness=3);
> T0:=0; a:=1;l:=4;L:=6;alpha:=1;(x):=x->piecewise(xL,0);
> plot(f(x),0..10,-0.1..1.1, numpoints=400,color=blue,thickness=3);
> restart;(xi):=xi->piecewise(xiL,0);
>
u(t,x):=simplify((-erf(1/2*x/a/t^(1/2))+1)*T0+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*
int(f(xi)*(exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t)-exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t)),xi = l.. L));
> with(plots):(t,x):=-T0*erf(1/2*x/a/t^(1/2))+T0+1/2*erf(1/2*(-l+x)/a/t^(1/2))+1/2*erf(1/2*(l+x)/a/t^(1/2))+1/2*erf(1/2*(L-x)/a/t^(1/2))-1/2*erf(1/2*(L+x)/a/t^(1/2));
Представим решения в виде двумерного анимированного графика:
> animate(plot,[u(t,x),x=0..25, y=-0.1..1.1], t=0.0000001..12,
frames=60,thickness=3);
Однородное уравнение и его решение методом разделения переменных:
> PDE:=diff(u(t,x),t)=a^2*diff(u(t,x),x,x);
struc:=pdsolve(PDE,HINT=T(t)*X(x));
> dsolve(diff(T(t),t)=_c[1]*T(t));(diff(X(x),`$`(x,2))=_c[1]*X(x)/a^2);
>
dsolve(diff(T(t),t)=-lambda^2*T(t)*a^2);(diff(X(x),`$`(x,2))=-lambda^2*X(x));
В результате общее решение имеет вид:
>
u(t,x):=(C1*sin(lambda*x)+C2*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);
Чтобы применить метод Фурье, необходимо свести исходную задачу к случаю
однородных граничных условий.
Здесь и - постоянные коэффициенты.
Граничные условия при этом запишутся:
> subs(x=0,k*u_x(t,x)=h1*(u(t,x)-T1));
subs(x=L,-k*u_x(t,x)=h2*(u(t,x)-T2));
Поскольку для предполагаются однородные граничные условия, получаем:
> solve({k*sigma=h1*(kappa-T1),-k*sigma=h2*(kappa+sigma*L-T2)},
{kappa,sigma});
В этом случае граничные условия для действительно примут вид однородных:
> simplify(subs({x = 0, kappa =
(k*h2*T2-k*h1*T1+h2*L*h1*T1)/(k*h2-k*h1+h2*L*h1), sigma =
-h1*h2*(-T2+T1)/(k*h2-k*h1+h2*L*h1)}, (U_x(t,0)+sigma-h1*(U(t,0)+kappa-T1)/k)*k
= 0)); simplify(subs({x = 0, kappa =
(k*h2*T2-k*h1*T1+h2*L*h1*T1)/(k*h2-k*h1+h2*L*h1), sigma =
-h1*h2*(-T2+T1)/(k*h2-k*h1+h2*L*h1)},(U_x(t,L)-sigma+h2*(U(t,L)+kappa+sigma*L-T2)/k)*k
= 0));
> F(x)=f(x)-kappa-sigma*x;(t=0,U(t,x)=F(x));
При этом функция удовлетворяет тому же уравнению, что и :
diff(u(t,x),t)=a^2*diff(u(t,x),x,x);(U(t,x),t)=a^2*diff(U(t,x),x,x);
Поэтому для функции общее решение имеет вид:
> U(t,x):=(C1*sin(lambda*x)+C2*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);
Учтем однородные граничные условия для :
> eval(subs(x=0,U(t,x)*k=h1*U_x(t,x)));
eval(subs(x=L,U(t,x)*k=-h2*U_x(t,x)));
solve(C1*sin(lambda*L)+C2*cos(lambda*L)*k=-h2*(C1*cos(lambda*L)*
lambda-C2*sin(lambda*L)*lambda),C1);
Отсюда имеем уравнение, определяющее :
> k/h1/lambda=-(cos(lambda*L)*k-h2*sin(lambda*L)*lambda)/
(sin(lambda*L)+h2*cos(lambda*L)*lambda);
> k/h1/lambda =
-(k-h2*tan(lambda*L)*lambda)/(tan(lambda*L)+ h2*lambda);
> solve(k/h1/lambda = -(k-h2*G*lambda)/(G+h2*lambda), G);
> tan(lambda*L)=-k*lambda*(h1+h2)/(k-h1*lambda^2*h2);
. Концы стержня в одинаковом режиме; концы стержня теплоизолированы:
> subs({h1=0, h2=0},tan(lambda*L) =
-k*lambda*(h1+h2)/(k-h1* lambda^2*h2));
2. Концы стержня в разных режимах; один конец стержня теплоизолирован,
температура на втором конце постоянна:
> restart;(tan(lambda*L) = -k*lambda*(h1+h2)/(k-h1*lambda^2*h2),
h1=0);
> _EnvAllSolutions := true:(cot(lam
Назначение
и область применения Курсовая работа (т). Информационное обеспечение, программирование.
Дипломная Работа На Тему Совершенствование Системы Финансового Управления Предприятием
Сочинение На Тему Мороз И Солнце
Диссертация Мониторинг
Функции головного мозга и возможные нарушения этих функций
Реферат по теме Конституционный Суд Российской Федерации
Реферат Жанры Русских Народных Песен
Дипломная Работа На Тему Биология Ондатры Зейского Района Амурской Области
Курсовая работа по теме Обоснование и выбор проходческого оборудования, расчет его производительности
Инновационные процессы в образовании
Написание Эссе По Психологии
Реферат: Строение, свойства и биологическая роль биотина и тиамина
Дипломная работа по теме Формирование регулятивных универсальных учебных действий младших школьников в музыкальной деятельности
Курсовая работа: Автомобильные эксплуатационные материалы
Реферат по теме Бретань: годы Революции
Курсовая работа по теме Технологія створення фотокниги
Реферат по теме Почему я выбрала геологию
Реферат: Роль держави у стимулюванні інвестиційної та інноваційної діяльності
Реферат: The Role Of Computers In Chemistry Essay
Сочинение На Тему Самое
Сочинение по теме Искусство как эстетическое явление (автономность художественного творчества)
Реферат: 13 подвиг Геракла
Реферат: The Impact Of AI On Warfare Essay
Реферат: Послевоенное восстановительное строительство