Метод «общего знакомого»
Решим сначала совсем простую задачку.
Имеются две цилиндрические цистерны: у первой радиус в два раза больше, чем у второй, но у второй высота в три раза больше, чем у первой. Как соотносятся их объёмы?
Предлагается следующее нехитрое рассуждение. Обозначим радиус второй цистерны за r, а высоту первой цистерны за h. Тогда объём первой цистерны равен V₁ = π(2r)²h = 4πr²h, объём второй — V₂ = πr²3h = 3πr²h. Значит, V₁ : V₂ = 4 : 3.
Можно несколько модифицировать это рассуждение — ввести вспомогательную цистерну с радиусом r и высотой h. Тогда объём первой цистерны в 4 раза больше объёма вспомогательной цистерны, а объём второй цистерны — в 3 раза больше, откуда и получаем требуемое отношение.
Но вопрос в том, что такая искусственно введённая вспомогательная цистерна особо никому не нужна, и потому вряд ли кому придёт в голову такое рассуждение. Однако в других задачах это может оказаться не так. Введение вспомогательной цистерны раскрывает суть приёма, который можно назвать методом «общего знакомого».
Приведём более содержательные примеры применения этого метода.
При доказательстве 2-го и 3-го признаков подобия треугольников мы строим вспомогательный треугольник — «общий знакомый» для двух данных: одному из них он равен, а другому подобен по уже доказанному признаку.
Вспомним также доказательство теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих общий угол: мы сначала вводим вспомогательный треугольник, одна сторона которого совпадает со стороной первого треугольника, а другая сторона — со стороной второго, и из сравнения площадей наших треугольников с площадью их «общего знакомого» получаем требуемый результат.
Вот ещё классическая задача на использование данного приёма. Требуется доказать равенство площадей параллелограммов на рисунке:
Для решения задачи нужно просто предъявить ещё один параллелограмм, равновеликий им обоим:
Приведём ещё алгебраический пример. Нужно сравнить числа:
log₁₀(11) ˅ log₁₁(12).
Для начала вычтем по единице от обеих частей сравнения (удобнее сравнить числа, близкие к нулю), получим:
log₁₀(11/10) ˅ log₁₁(12/11).
Теперь несложно подобрать «общего знакомого» этих чисел — это число log₁₀(12/11). Используя монотонность по аргументу логарифма, легко понять, что оно меньше log₁₀(11/10).
А используя монотонность по основанию, что оно больше log₁₁(12/11). И потому первое число больше второго.
Было бы интересно прочитать в комментариях, в каких ещё задачах или теоремах используется этот приём.