Метод гаусса как решать подробно

Скачать файл - Метод гаусса как решать подробно

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной то же самое, что треугольной или близкой к трапециевидной прямой ход метода Гаусса. Пример такой системы - на рисунке сверху. В такой системе последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение обратный ход метода Гаусса , из которого находят предыдущую переменную, и так далее. В трапециевидной треугольной системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных и , а второе уравнение - переменной. После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения. Благодаря этим преимуществам, именно методом Гаусса чаще всего решаются прикладные задачи на сплавы и смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и другие, в которых системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. В конце этой статьи мы решим методом Гаусса задачу на сплавы. Кроме того, метод Гаусса является основой одного из методов нахождения обратной матрицы. Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение - один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований. При решении методом Гаусса систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно:. В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов. Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса. Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:. В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты - свободные члены. Для удобства деления коэффициентов при переменных чтобы получить деление на единицу переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на в нашем случае на , к третьей — первую строку, умноженную на в нашем случае на. Это возможно, так как. Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус. В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x:. Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:. Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую, умноженную на в нашем случае на. Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус. В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:. Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений: Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере. Решение найдём 'с конца' - это называется 'обратный ход метода Гаусса'. Для этого из последнего уравнения определим z: Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y: Из первого уравнения найдём x: Итак, решение данной системы -. Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет следующего урока по методу Гаусса. Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма - здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную. Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке - первую, умноженную на , к четвёртой - первую, умноженную на. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на. Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на. Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы. Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Из четвёртого уравнения имеем. Наконец, подстановка значений в первое уравнение даёт. Итак, данная система уравнений имеет единственное решение. Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим методом Гаусса одну из таких задач - на сплавы. Аналогичные задачи - задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные. Три куска сплава имеют общую массу кг. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава. Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:. Внимание, прямой ход метода Гаусса. Путём сложения в нашем случае - вычитания одной строки, умноженной на число применяем два раза с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:. Прямой ход метода Гаусса завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы. Применяем обратный ход метода Гаусса. Находим решение с конца. О простоте метода говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение 'Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным' - своего рода краткая инструкция по совершению открытий. Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот - неизвестных меньше, чем уравнений. К решению методом Гаусса таких систем уравнений мы сейчас и приступим. С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными. Следующий пример - совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений. Такие системы также возможно решить методом Гаусса. После выполнения преобразований в расширенной матрице системы перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой могли появиться строки вида. Если во всех уравнениях имеющих вид. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на:. Последние два уравнения превратились в уравнения вида. Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить. Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и выбрать произвольные значения , тогда значение для определится уже однозначно: Из первого уравнения значение для также находится однозначно: Следующий пример - несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Метод Гаусса позволяет определить, что система линейных уравнений не имеет решений. Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида. Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом то есть , то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы. Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на. Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений. Следующий пример - система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений. Далее новые вторую, третью и четвёртую строки умножаем на. Для этого четвёртую строку умножаем на , а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой. Проведём теперь исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Четвёртая и третья строки - одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на. Следующий пример - система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений. Если при выполнении преобразований в расширенной матрице системы встретилось хотя бы одно уравнение вида. Они чаще всего записываются так: В них можно подставлять любые численные значения и. Следовательно, существует бесконечное множество выбора значений этих неизвестных, поэтому полученная система уравнений является неопределённой. Следовательно, в этом случае неопределённой является и исходная система. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на. В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для и. Это равносильно появлению уравнений вида , которые можно отбросить. Мы можем для и выбрать произвольные значения. Из первого уравнения значение для находится однозначно: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. При решении методом Гаусса систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно: Решить методом Гаусса систему линейных уравнений Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы: Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения: Это возможно, так как Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус. В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x: Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе: В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей: Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем , откуда. Наконец, подстановка значений в первое уравнение даёт , откуда. Составляем систему линейных уравнений: Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений: Составляем расширенную матрицу системы: Путём сложения в нашем случае - вычитания одной строки, умноженной на число применяем два раза с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования: Из второго уравнения находим , Из третьего уравнения -. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений: Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на: Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой. В результате приходим к системе Последние два уравнения превратились в уравнения вида. Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы при произвольных и дают нам все решения заданной системы. Итак, данная система уравнений имеет единственное решение 1; 1; 1. Нет времени вникать в решение? Пройти тест по теме Системы линейных уравнений. Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек. Условие совместности системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения. Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Решение систем линейных уравнений матричным методом обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Понятие метода Гаусса Элементарные преобразования систем линейных уравнений Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных меньше числа уравнений Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных больше числа уравнений Понятие метода Гаусса Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. Элементарные преобразования системы линейных уравнений При решении методом Гаусса систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно: Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений Следующий пример - совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений. Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений Следующий пример - несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида , соответствующие уравнению вида Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом то есть , то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено. Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных меньше числа уравнений Следующий пример - система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений. Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных больше числа уравнений Следующий пример - система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений. К началу страницы Пройти тест по теме Системы линейных уравнений Продолжение темы 'Системы уравнений и неравенств' Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек Условие совместности системы линейных уравнений.

Метод Гаусса: описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения.

Тост с новым годом

День космических историй 2017 последний выпуск

Метод Гаусса

Автобус 10 расписание звенигород

Сколько можно сбербанка за один раз

Где удалить менингиомув орле

Эскизы на руку

Метод Гаусса. Примеры

Управление яркостью экрана ноутбука

See me fall ro ransom скачать

Сколько держится татуаж бровей волосковый метод

Применение метода Гаусса в матричном исчислении

Преступление и наказание цитаты раскольникова

Причины работать на предприятии

Сколько стоит составление завещания у нотариуса