Метод барона Мюнхгаузена - Математика реферат

Главная

Математика
Метод барона Мюнхгаузена

Сущность и общая характеристика метода "барона Мюнхгаузена", его применение в алгебре. Нахождение значений выражений с бесконечным числом элементов, использование формулы куба суммы и разности. "Метод барона Мюнхгаузена": золотое сечение и фракталы.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Гомельская научно-практическая конференция
Учащихся по естественно-научным направлениям
ГУО «Средняя общеобразовательная школа №40 г. Гомеля»
Государственного учреждения образования
«Средняя общеобразовательная школа №40 г. Гомеля»
Научный руководитель -учитель математики
2 Применение «метода барона Мюнхгаузена» в алгебре
2.1 Нахождение значений выражений с бесконечным числом элементов
2.2 Нахождение значений выражений и решение уравнений с использованием формулы куба суммы и разности
2.4 Числовые последовательности и конечные суммы
3 Решение уравнений с бесконечным числом элементов
4 «Метод барона Мюнхгаузена» и золотое сечение
5 «Метод барона Мюнхгаузена» и фракталы
-- Вы утверждаете, что человек может поднять себя за волосы?
-- Обязательно! Каждый здравомыслящий человек, просто обязан, время от времени это делать!
Идея этой работы пришла после изучения методов преобразования выражений с бесконечным числом элементов, где некоторые элементы выражений заменялись через исходные. Поэтому возник вопрос: где можно еще применить этот прием? Оказалось, спектр его применения широк. Тем более, многие задания содержатся в сборниках по подготовке к ЦТ. Поэтому данная тема для меня актуальна .
Цель и задачи работы : рассмотреть решения различных заданий с помощью идеи «выразить через себя». Самостоятельно изучить методы решения иррациональных и тригонометрических уравнений. Предложить изученный метод для учащихся на факультативных занятиях и для самоподготовки. Провести аналогию с другими областями знаний.
Методы исследования : анализ и синтез различных источников информации, самостоятельное решение задач.
Уж кто только не глумился над историями барона Мюнхгаузена. Имя барона давно стало именем нарицательным, а сам он воспринимается как сказочный персонаж. Богатая фантазия Мюнхгаузена вступала в противоречия со всеми законами естественных наук, особенно физики и биологии. Но математика - другое дело. Красивая идея в математике всегда находила применение. И, как ни странно, в математике давно известны и плодотворно применяются идеи, схожие с теми, которыми барон развлекал соседей. Достаточно вспомнить историю о том, как он сам себя вытащил из болота. Привлекательность идеи «вытащить самого себя» нашла применение в математике. А сам метод решения условно назовем «методом барона Мюнхгаузена».
2 Применение «метода барона Мюнхгаузена» в алгебре
2.1 Нахождение значений выражений с бесконечным числом элементов
Найдем значение этого выражения. Обозначим это выражение через А:
Возведем равенство (1) в квадрат. Получим, что
Теперь в правой части содержится точно такое же выражение, как и то, которое мы обозначали через А. Равенство (2) запишем в виде
Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то
В рассмотренном примере мы смогли найти ответ благодаря тому, что нам после некоторых преобразований удалось выразить искомое выражение через него же самого.
Вот еще одно выражение, значение которого мы найдем с помощью обозначенного метода.
Пусть А= . Возведем обе части в куб и получим А3=6+А.
Откуда (А-2)(А2+2А+3) =0. Значит, А-2=0 или А2+2А+3=0. Последнее квадратное уравнение не имеет действительных корней, поэтому, А=2.
Обозначив это выражение через А(А>0) и возведя его в квадрат получим, что
А2= 5А. Откуда, А=0(не подходит) или А=5.
Обозначив это выражение через А (А>0) и возведя его в квадрат получим
А2=. Возведем обе части равенства в квадрат.
2.2 Нахождение значений выражений и решение уравнений с использ ованием формулы куба суммы и разности
Одна из элементарных алгебраических формул как будто создана для использования в «методе барона Мюнхгаузена»: (а±в)3=а3±в3±3ав(а±в).
Обозначив А=а±в, эту формулу можно записать в виде: А3=а3±в3±3авА.
Возведем это выражение в куб, используя вышеуказанную формулу.
Единственным действительным корнем является А=2.
Еще интереснее применение этой формулы при решении уравнений.
Возведем обе части уравнения в куб, имеем
В скобках получилась левая часть исходного уравнения, которую можно заменить на правую. После упрощения уравнение имеет вид
. Корни этого уравнения =-109 и =80.
Проверка показывает, что найденные числа являются корнями исходного уравнения.
Возведем обе части уравнения в куб, имеем
В скобках получилась левая часть исходного уравнения, которую можно заменить на правую. После упрощения уравнение имеет вид
Проверка показывает, что =-6 не является корнем исходного уравнения.
Откуда же берутся эти посторонние корни? Они появляются в результате подстановки правой части уравнения вместо левой его части, которая не равна ей тождественно.
Применение домножения и деления исходного выражения на 2, формул двойного угла, приведения и тройного угла дает нам следующую цепочку равенств
Обозначим А =, получим А= 0,5 - 2А2 , 4А2+2А-1=0.
Корни этого уравнения А=. Так как , то А==.
2.4 Числовые последовательности и конечные суммы
Нахождение значений бесконечных периодических дробей
Представим периодическую дробь 0, (317) в виде обыкновенной. Обозначим А=0,317317317… Домножим обе части этого равенства на 1000. Получим, что 1000А= 317,317317317… То есть, 1000А=317+А, откуда А=.
Представим периодическую дробь 1,3 (17) в виде обыкновенной. Обозначим А=1,317171717…Домножим обе части равенства на 100.
Равенство примет вид 100А=131,7171717… или 100А=130,4+1,3171717… или 100А=130,4+А, откуда А=.
Сделаем вывод: чтобы перевести периодическую дробь в обыкновенную, нужно домножить ее на разрядную единицу, содержащую столько нулей, сколько знаков в периоде. Затем представить полученную дробь в виде суммы, одним слагаемым которой является исходная дробь. Выразив ее, находим нужное представление.
Перевести периодическую дробь в обыкновенную можно, представив эту дробь как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, используя формулу . Для вывода этой формулы можно использовать «метод барона Мюнхгаузена». Это доказательство отличается от доказательства из школьного учебника.
Пусть b1+b2+b3+…=S - сумма членов убывающей геометрической прогрессии. Используя выражение каждого члена прогрессии через первый член и знаменатель, получим
Домножим обе части на q: b1q+ b1q2+ b1q3+ b1q4…=Sq.
В левой части прибавим и вычтем b1.
-b1+( b1+ b1q+ b1q2+ b1q3+ b1q4…)=Sq,
Аналогично выводится формула суммы n членов геометрической прогрессии Sn=.
-b1+( b1+ b1q+b1q2+ b1q3+ b1q4+…+b1qn-1)+ b1qn=Snq,
Выражение в скобках равно Sn. Выразим его:
Нахождение полезного способа выражения величины через себя может потребовать и более значительных усилий.
Пример 1 .Найти сумму Sn=1+2a+3a2+…+nan-1, a?1.
Заметим, что 1=1, 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1,…, nan-1=(n-1)an-1+ an-1.
Тогда Sn=1+a+a+2a2+ a2+…+(n-1)an-1+ an-1,
Sn=(1+a +a2+…+ an-1)+(a +2a2 +…+(n-1)an-1).
Сумма слагаемых первой скобки - сумма n членов геометрической прогрессии, которая равна . Сумма слагаемых второй скобки дает нам aSn- nan.
Пример 2. Найти сумму Sn=1+3+6+10+…+.
Можно заметить, что каждое слагаемое в этой сумме - это сумма некоторой арифметической прогрессии. Имеем:
Sn=1•n+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)+…+n(n-(n-1))=
2.5 Решение уравнений с бесконечным числом элементов
Разделим обе части уравнения на ().
Сумма слагаемых первой скобки дает нам левую часть исходного уравнения, которую можно заменить на 8. Сумма слагаемых второй скобки - сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (b1=, q=), которая равна . Имеем
Первое уравнение не имеет решений, из второго находим
3 «Метод барона Мюнхгаузена» и золот ое сечение
Напомним понятие золотого сечения - это деление отрезка на две неравные части так, что длина большей части относится к длине меньшей части, как относится длина всего отрезка к длине своей большей части. Если обозначить длину большей части через a , а длину меньшей части - b, то золотая пропорция запишется так: . Обозначив x =, получаем равенство x = 1+ , или
. Корень последнего уравнения равен (отрицательный корень не рассматривается из понятных соображений). Это число часто обозначают буквой Ф, в честь древнегреческого скульптора Фидия (V в. до н.э.), применившего «золотое сечение » при проектировании всемирно известного храма Парфенон Афины Парфенос.
Число Ф обладает любопытными математическими свойствами, например:
Чтобы убедиться в справедливости этих выражений нам поможет наш метод. Выражение вида(1) и (2) называются цепными дробями.
В выражении (2) применяя «метод выражения через само себя», получим
Ф = , откуда Ф2-2Ф+1=0, т.е. Ф=. Аналогично (см. п.2.1) проверяются соотношения (3) и (4).
4 « Метод барона Мюнхгаузена » и фракталы
Идея поиска подобных элементов, выражения объекта через себя, нашла воплощение не только в алгебре, а также и в теории фракталов.
Ш Фрактал - геометрическая фигура, состоящая из частей, которые могут быть поделены на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого.
Основное свойство фракталов: самоподобие , в самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.
Дерево Пифагора Треугольник Серпинского
На одном из внеклассных мероприятий по математике я узнала о творчестве голландского художника Мориса Эшера. Применение метода самоподобия можно найти и в его работах. Это картины - «Круг», «Предел» , «От маленького до большого», «Рисующие руки», «Путь к жизни», «Водовороты» (см. Приложение 1).
В процессе работы над данной темой были найдены некоторые виды задач, для решения которых можно применить метод «выражения через себя», то есть просматривается успешная реализация идеи Барона Мюнхгаузена «вытащить самого себя из болота». Доказаны формулы сумм членов для геометрической прогрессии. Получен метод перевода периодических дробей в обыкновенные. Многие из рассмотренных задач можно решать и другими способами, но в этом методе есть нечто особенно элегантное и авантюрное. Поэтому, задачи, которые стояли передо мною, были решены. Возможно, я рассмотрела не все виды заданий на применение метода (в частности - системы уравнений). Поэтому эту тему можно еще развивать. Работа над темой позволила мне углубить свои знания по предмету, и она будет служить хорошей базой в подготовке к ЦТ.
1. Тиунчик А.А., «Метод барона Мюнхгаузена», Матэматыка. Праблемы выкладання. , Минск «Выдавецтва “Адукацыя i выхаванне”»,2007,№4 , 64стр.
2. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С., «Математика. Текстовые задачи», Минск «Аверсэв», 2005, 256 стр.
3. Жуков А.В., « Вокруг », Минск «Национальный институт образования», 2009, 72стр.
4. Мамонтова Г.Г., «Математика», Минск «Новое знание», 2005, 688стр.
Понятие "золотое сечение" как пропорции, деления в крайнем и среднем отношении. Математические свойства сечения, его использование в музыке, архитектуре, искусстве. Пропорции тела человека. Исследование распространения "золотого сечения" в природе. презентация [1,9 M], добавлен 27.02.2012
Понятие золотого сечения. История открытия "золотой" пропорции, ее использование в архитектуре, живописи и природе. Проведение исследования, доказывающего утверждение Ле Корбюзье. Примеры золотого сечения. Геометрическая загадка портрета Джоконды. презентация [7,0 M], добавлен 10.11.2014
Основатели учения о золотом сечении. Самый "правильный" многогранник. Математическое пропорциональное содержание пентаграммы. Золотое сечение в архитектуре, в живописи и в живых организмах. Пропорции Покровского Собора на Красной площади в Москве. презентация [580,5 K], добавлен 16.10.2013
Общая теоретическая часть. Графический метод. Функциональный метод. Метод функциональной подстановки. для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на пло контрольная работа [54,3 K], добавлен 26.11.2004
Изучение принципа золотого сечения – высшего проявления структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Золотое сечение – гармоническая пропорция. Деление отрезка прямой. Динамические прямоугольники. презентация [1,5 M], добавлен 14.12.2011
Использование принципов "золотого сечения" в математике, физике, биологии, астрономии, в архитектуре и других науках и искусствах. Обзор истории и математической сущности золотого сечения, осмысление его роли в современной науке; "математика гармонии". реферат [20,3 K], добавлен 24.11.2009
Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши. дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Метод барона Мюнхгаузена реферат. Математика.
Доклад по теме Жизнь и творчество В.И. Даля
Реферат: Облако, озеро, башня
Дипломная Работа На Тему Судебная Ветвь Государственной Власти В Рф
Реферат по теме Описание модуля "Склад" ERP Галактика
Жаргонные Слова Сочинение
Курсовая работа по теме Политико-географическое положение Украины
Реферат На Тему Этапы Научного Исследования
Реферат На Тему Конфликт В Теории К. Хорни
Реферат: Samuel Clemens As Mark Twain Essay Research
План Сочинения Темное Царство В Пьесе Гроза
Реферат: 800-е до н. э.
Практическая Работа 10 Класс Распознавание Пластмасс
Интенсивность Физических Нагрузок Реферат
Готовый Дневник По Производственной Практике Повара
Реферат: Работник, коллектив, предприятие в новой системе трудовых правоотношений
Курсовая работа: Відповідальність у житловому праві
Фипи Критерии Сочинения Огэ
Курсовая работа по теме Пути повышения уровня автоматизции и индустриализации в торговле
Доклад: Язык объщения волков
Физика 8 Контрольная Работа 2
Творчество Гилберта Кита Честертона - Литература реферат
Документирование хозяйственных операций - Бухгалтерский учет и аудит контрольная работа
Ціна як фактор споживчої поведінки - Маркетинг, реклама и торговля реферат