Метод Ньютона (метод касательных). Решение систем нелинейных алгебраических уравнений - Математика курсовая работа
Главная
Математика
Метод Ньютона (метод касательных). Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Читинский Государственный Университет
Кафедра прикладной информатики и математики
на тему: Метод Ньютона (метод касательных). Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
Метод Ньютона (также известный как метод касательных) -- это итерационный численный метод нахождения корня заданной нелинейной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643--1727), под именем которого и обрёл свою известность. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных.
Что же касается систем нелинейных алгебраических уравнений, то итерационные методы решения данных систем приобретают особую актуальность, в связи с тем, что к ним в отличие от систем линейных уравнений не возможно применить прямые методы решения. Лишь в отдельных случаях систему можно решить непосредственно.
1.1 Геометрическая интерпретация метода Ньютона
Этот метод применяется, если уравнение f(x) = 0 имеет корень x [a;b], и выполняются условия:
1) функция y=f(x) определена и непрерывна при x(- ; + )
2) f(a)?f(b)<0 (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка [a;b]);
3) производные f (x) и f (x) сохраняют знак на отрезке [a;b] (т.е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезке [a;b], сохраняя при этом направление выпуклости).
Основная идея метода заключается в следующем: на отрезке [a;b] выбирается такое число x 0 , при котором f(x 0 ) имеет тот же знак, что и f (x 0 ), т. е. выполняется условие f(x 0 )?f (x)>0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x 0 , в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b] пересекает ось Ox. За точку x 0 сначала удобно выбирать один из концов отрезка.
Пусть нам дана некоторая функция f(x) = 0 на отрезке [a,b]. Возможно 4 случая:
- f(a)-f(b) < 0; f (x) > 0; f (x) > 0
- f(a)-f(b) < 0; f (x) > 0; f (x) < 0
- f(a)-f(b) > 0; f (x) < 0; f (x) > 0
- f(a)-f(b) >0; f (x) < 0; f (x) < 0
Рассмотрим метод Ньютона на первом случае.
Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x), непрерывная на отрезке [a;b], и имеющая f (x) > 0 и f (x) > 0. Уравнение касательной имеет вид: y_y0= f (x 0 )?(x-x 0 ). В качестве точки x0 выбираем точку B(b; f(b)). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x 1 . Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x1, получаем точку b 1 . Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке b 1 , и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x2. Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x 2 , получаем точку b 2 .
Первое приближение корня определяется по формуле:
Второе приближение корня определяется по формуле:
Таким образом, i-ое приближение корны определяется по формуле:
Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности - до выполнения неравенства | x i -x i -1 | < .
1.2 Алгоритм решения задач с помощью метода Ньютона
- определяем интервал (если он не задан), которому будет принадлежать корень уравнения. Сужение интервала можно производить методом половинного деления.
- находим f (x) и f (x), причем f (x) 0 при x[a;b], f (x) и f (x) должны сохранять знак на отрезке [a;b]
- выбираем один из концов отрезка [a,b] за x 0 , исходя из того, что должно выполняться следующее условие f(x 0 )?f (x 0 )>0.
- вычисляем , пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности - до выполнения неравенства | x i -x i-1 | < .
1.3 Примеры решения уравнений с помощью метода Ньютона
Рассмотрим применение метода Ньютона на примерах.
1) Пусть нам дана функция f(x) = sin2x-lnx, если 1,3? сходится к точному решению.
В развернутом виде формула итерационного процесса (выражение для вычисления очередного k-го приближения решения) имеет вид:
Итерационный процесс сходиться к точному решению, если в окрестности решения соблюдаются условия сходимости:
Таким образом, для уточнения решения СНУ методом простых итераций нужно найти такое эквивалентное преобразование в X=?(X), чтобы в области существования решения выполнялись условия сходимости.
2.1.1 Пример решения системы уравнений с помощью метода итераций
Решить систему нелинейных уравнений с точностью до 0,003
Построив графики данных функций, определим начальные приближения.
Из графика видим, что система имеет одно решение, заключенное в области D: 0Метод Ньютона (метод касательных). Решение систем нелинейных алгебраических уравнений курсовая работа. Математика.
Реферат На Тему Структура Классификации Организма Человека
Дипломная работа: Особенности психомоторных функций у детей со стертой дизартрией
Требования К Выполнению Контрольной Работы
Дипломная Работа На Тему Ізяслав - Основні Етапи Розвитку
Реферат: Международные экономические организации, регулирующие мировую торговлю. Скачать бесплатно и без регистрации
Сочинение По Рассказу Утя Крупина
Сочинение: Мой любимый герой - Евгений Онегин
Отчет По Учебной Практике Судебные Приставы
Годовые Контрольные Работы 2 Класс
Курсовая работа по теме Учёт собственного капитала
Реферат: Сравнительный анализ концепций Ф.Е.Василюка и З.Фрейда
Контрольная работа по теме Энергоснабжение городского хозяйства на примере ОАО 'Мосэнергосбыт-Домодедово'
Курсовая Работа Липецк
Контрольная работа: Благосостояние и бедность в обществе
Пластов Родник Сочинение Описание
Риски Денежных Потоков Банков Диссертация Pdf
Контрольная работа по теме Виды и категории воды в горных породах
Реферат по теме Mark Twain (1835-1910) english
Сборник Контрольных Работ По Английскому
Реферат по теме Анализ проектов конституций П. И. Пестеля и Н. М. Муравьева
Some problems of accentual structure in English - Иностранные языки и языкознание курсовая работа
Внутренняя и внешняя среда международного маркетинга - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
Взаимоотношение церкви и государства в Российской империи - История и исторические личности реферат