Метод Наименьших Квадратов Курсовая Работа
Метод Наименьших Квадратов Курсовая Работа
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное
государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
по дисциплине
«Вычислительная математика»
на тему «Метод наименьших
квадратов»
Метод наименьших квадратов - один из методов теории
ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим
случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого
представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто
оказывается полезным при обработке различного рода измерений.
Метод наименьших квадратов был предложен К.Ф. Гауссом и А.
Лежандром. Ныне способ представляет собой один из важнейших разделов
математической статистики и широко используется для статистических выводов в
различных областях науки и техники.
В большинстве экспериментальных данных, задаваемых с помощью
табличной функции, имеется достаточно большой разброс точек. При этом
использование кусочной или непрерывной интерполяции не всегда оправдано,
поскольку ставится задача исследовать общую тенденцию изменения физической
величины.
В этом общем случае аппроксимации искомая кривая не
обязательно должна проходить через заданные точки. Предполагается использовать
кривую, сумма квадратов отклонений в узловых точках минимальна. Именно в таких
случая используется метод наименьших квадратов.
.1 Общая постановка задачи метода наименьших квадратов
Пусть функция принимает в точках значения . Аналитическое выражение функции при этом не известно, данные
имеют неустранимую погрешность, а количество точек велико .
В таких случаях применение интерполяции (как, например,
интерполяция полиномом Ньютона или интерполяция сплайнами) не приемлемо, т.к
интерполяционные функции не будут отражать реального поведения функции.
В таких случаях находиться функция , которая проходит ближе всего к заданным точками, но не
обязательно совпадает функцией в узловых точках. Из множества всех возможных функций выбирается такая, что сумма:
Вид функции зависит от конкретного набора точек. Обычно из набора точек,
отмеченных в координатных осях, устанавливается примерная зависимость, а с
помощью различных методов находятся коэффициенты функции.
Пусть дана экспериментальная таблица и требуется составить
многочлен, степени не выше часто
Данный многочлен должен удовлетворять условию:
где минимум из всех возможных отклонений[2].
Графически это представлено на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 - Метод наименьших квадратов
Необходимым условием минимума функции многих переменных является
равенство нулю ее частных производных первого порядка по независимым
переменным. В функционале такими независимыми переменными являются коэффициенты
многочлена, которые до их определения являются не постоянными, а
варьируемыми переменными.
Неоднородная СЛАУ порядка относительно неизвестных является нормальной и, следовательно, ее матрица является
симметричной и положительно определенной. Решения удовлетворяют условию наименьшего квадратичного отклонения.
Данную систему можно представить в виде:
и решив её, можно получить коэффициенты наилучшим образом сглаживающих функцию. Если в качестве взять , то полученный многочлен будет являться интерполяционным
полиномом.
В данном случае функция имеет вид , а коэффициенты находятся из условия, что
Для нахождения коэффициентов, необходимо решить следующую систему
уравнений:
Решив данную систему методом Крамера, получим следующие выражения
для нахождения :
1.4 Аппроксимация показательной функцией
Нахождение параметров показательной функции может быть сведено к
нахождению коэффициентов линейной функции. Покажем это.
Прологарифмируем функцию, в результате чего получим равенство:
в таком случае задача свелась к нахождению коэффициентов линейной
функции
Для нахождения коэффициентов функции необходимо прологарифмировать
значения и , т.е. из таблицы 1.1, получить таблицу 1.2.
Таблица 1.1 - Исходная таблица функции
Таблица 1.2 - Прологарифмированная таблица функции
После этого по таблице 1.2 необходимо найти параметры функции
вида
После этого необходимо найти значение по следующей формуле:
То, что аргументы функции и значения функции нужно
логарифмировать, налагает ограничение - все точки функции должны находится в
первой четверти координатной оси.
Данная функция имеет следующий вид:
Воспользуемся приемом из пункта 1.4 и прологарифмируем
выражение:
Метод наименьших квадратов . Курсовая работа (т). Математика.
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов как применение теорем поиска...
Метод наименьших квадратов (2) - Курсовая работа , страница 1
Метод наименьших квадратов - 1.doc
Технология Возделывания Технических Культур Реферат
Мое Любимое Животное Сочинение 3 Класс
Игровая Деятельность Дипломная Работа
Реферат На Тему Интернет Наш Друг
Эссе Управление Образованием