Mathematics Grade 12 Unit 1 Sequence And Series
Entrance Hub adminሰላም እንዴት ናቹ ባላችሁበት ሰላማቹ ይብዛልን 🙏 አሁንጊዜው የ mathematic ክፍለ ጊዜ ነው በጥሞና ተከታተሉን በዚህ በ maths ላይ ቅሬታ ሊኖራቹ አይገባም 🙏የቻልነውን መጠን ለእናንተ እንደሚገባቹ አድርገን እንለቅላቹሀለን ነገር ግን እዚጋ እንድትረዱን የምንፈልገው ነገር ቢኖር mathsስን በ telegraph መፃፍ በጣም ከባድ ነው ምክንያቱም የ maths ስሌቶች keyboard ላይ ስላልተካተቱ በ telegraph ለማስረዳት ቢከብደንም አንዳንዱን በ ነጭ ወረቀት ላይ በፁፍ ወይም በእስኪብርቶ በመፃፍ ለማስረዳት እንሞክራለን ይሄን የምናረገው በተለይ video አውርደው መጠቀም ለማይችሉ በምን ምክንያት በ internet access ምክንያት ምክንያቱም video በጣም size አቸው ከ 20 እስከ 30 M bits ስለሚደርስ በ data አውርደን መጠቀም ስለማንችል keyboard ላይም የ maths ሙለ መማሪያ access ስለሌለ ግዴታ እናንተን መጥቀም ስላለብን በ ነጭ ወረቀት ላይ በፅሑፍ አድርግተን እናቀርብላቹሀለን።internet access የምታገኙ ወይም በእቤታቹ wife ላላቹ ደግሞ videoዎች አሉ እነሱን ትጠቀማላቹ ማለት ነው።ትረዱናላቹ ብዬ አስባለው ነገር ግን የተቻለንን ነገር ለእናንተ ለማቅረብ እንሞክራለን።መልካም ቆይታ 😊😊
✔️A sequence፦is a function whose
domain is the set N of natural
numbers.
For example 1,2,3,4...an..., is a sequence if a1, a2, a2, .... an is a sequence are called the terms of a sequence and An is called the general term or nth term of the sequence.
ከዚ በፊት function ብለን የምንገልፀው በ f(x) የሚገለፅ ነበር አሁን ግን sequenceዎችም function ስለሆኑ በ An መግለፅ እንችላለን ማለት ነው።እና ደሞ በ f(x) ጊዜ domain ብለን የምንወስደው the set of natural number ነበር ማለትም የ x ዋጋ አሁን ግን ይህንን domain ለ sequence መጠቀም እንችላለን ምክንያቱም function ስለሆኑ።ስለዚ በ n ቦታ the set of natural numberዎችን እያስገባን በሄድን ቁጥር የምናገኘው ውጤት a1,a₂,a₃,a₄.........an..........እያለ ይቀጥላል ማለት ነው።ይሄ መን ይባላል sequence an ምን ይባላል general term or the nth term of the sequence.
✔️sequence can be described by;
sequence እንዴት እንገልፃቸዋለን
⓵ listing the terms ቁጥሮችን በመዘርዘር
⓶ writing the general term: general
term በመፃፍ
⓷ drawing graph ግራፍ በመሳል
⓸ using recurrence relations
እስቲ እነኚህን አንድ በአንድ እንመልከታቸው
example 1: 1/n በዚ ጊዜ በ n ቦታ natural ቁጥሮችን እያስገባን በሄድን ቁጥር የምናገኘው ውጤት 1,2,3,4.......እያለ ይቀጥላል።በዚው ደሞ general term አውጡለት ከተባለ an=1/n ማለት እንችላለን ማለት ነው እና በዚ አይነት ልንገልፅ ወይም ልንዘረዝር እንችላለን ማለት ነው ።
እስቲ ሁለተኛ ምሳሌ እንመልከት ❓
⓵.1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 የእነዚህን general ተርም እስቲ ለማውጣት እንሞክር
መልስ.......
ይሄ እንኳን ቀለል ይላል ምክንያቱም perfect square ስለሆነ general term ኡ n² ነው።n² ውስጥ ከ 1-10 ያሉትን ቁጥሮች በምንተካ ጊዜ እነኛን ከላይ የተዘረዘሩትን ቁጥሮች እናገኛለን ማለት ነው።ስለዚህ የዚህ sequence general term an=n² ይሆናል ማለት ነው
✔️Arithmetic sequence
✔️An arithmetic sequence
(or arithmetic progression) is one in
which the difference between
consecutive terms is a constant.
This constant is called the common
difference. i.e., {An} is an arithmetic
sequence with common difference d,
if and only if An+1-A, =d for all n.
የሆኑ ቁጥሮች አሉ እነዛ ቁጥሮች እና በነዛ ቁጥሮች ያለው ልዩነቱ constant ነው ይህም common difference በመባል ይታወቃል።
✔️If {An} is an arithmetic progression
with the first term A and a common
difference d, then the n term is given
by;
An =A1+(n-1)d
{An} arithmetic progression ከሆነ የመጀመሪያ term A1 አለ እና ደሞ common difference ደሞ d(በየ termኡ የሚጨምረው ቁጥር ነው። ለምሳሌ ፦
ለምሳሌ ፦
1,2,3,4,5,6............አሁን እየጨመረ ያለው በ1ነው ስለዚ Common difference 1
2,4,6,8............ይሄኛውም በተመሳሳይ
የሚጨምረው በ 2 ነው ስለዚ d=2
5,10,15,20........የሄ ደሞ በ 5 ነው ስለዚ d=5
A1=5,A2=10,A3=15,A4=20.......
ወይም ደሞ formula አለው ምን የሚል?እንመልከት እስቲ፦
D=A(n+1)-A(n) የላኛውን ምሳሌ እንስራ
D=10-5 ይሄ ማለት next
=5 term-የመጀመሪያ term ማለት
ነው።
ተሰቶናል An =A1+(n-1)d general termኡ ይሄ ይሆናል ማለት ነው።
ሙሉውን እንስራ እስቲ
✔️ምሳሌ 1-Given an arithmetic
sequence with A1= 8 and A2= 10, find
A10 and the common difference d.
ይሄን እንስራ፦
መልስ...........
Given Req Solution
A1=8 d=? A(n)=A1+(n-1)d
A₂=10 A10=?
d=A(n+1)-A(n) A10=8+(10-1)2
=10-8 =8+(9)2
=2 =26
✔️2_Given an arithmetic sequence with A₂ = 5 and d = 6, find A6, A8,
A(n)th term
Given Req Solution
A₂=5 A6=? A(n)=A1+(n-1)d
d=6 A8=?
A₂=A1+(2-1)6
5=A1+6
A1=5-6
=-1
A6=A1+(n-1)d A8=A1+(n-1)d
=-1+5d =-1+7d
=-1+(5)6 =-1+(7)6
=-1+30 =-1+42
=29 =41
A(n)=An+(n-1)d
=-1+(n-1)6
=-1+6n-6
=6n-7
በዚህ በ A(n)th term ውስጥ ከ 1 ጀምሮ ቁጥሮችን ስንተካ sequence ኡን እናገኛለን።
✔️Geometric sequence
✔️A geometric sequence (or geometric
progression) is one in which the ratio
between consecutive terms is a non
zero constant. This constant is called
the common ratio. i.e., {Gn}is a
geometric sequence, if and only if
G(n+1)=rG1. The common ratio,
✔️r=G(n+1)/G(n). for all n
✔️Geometric sequence የምንለው የሆነ የቆጥሮች ስብስብ አለ ይሄ የቁጥሮች ስብስብ ደሞ የሆነ በየ termኡ የሚለያየው ቀጣይ የሚመጣው ቁጥር ሲካፈል መጀመሪያ ለነበረው ማለት ነው ። constant የሚሆንነውም r ይባላል
✔️r=G(n+1)÷G(n)
ምሳሌ እንመልከት፦
3,9,27,81...............እያለ ይቀጥላል ይሄ ቁጥር
Geometric ነው የሚያስብለን
next term÷priveuse term=r
እዚ ውስጥ ቁጥሮችን ስናስገባ የሆነ constant ቁጥር ይመጣል እና ይሄ ደሞ Geometric sequence ይባላል ማለት ነው ።
እስቲ እንመልከተው፦
G1,G2,G3,G4,G5,............
G1=3
G₂=9 r=G(n+1)÷G(n)
G₃=27 G(n+1)___ማለት ቀጣይ term
G₄=81 G(n)______ማለት ቀድሞ የነበረ
ስለዚ r=G(n+1)÷G(n)
r1=9÷3 r2=27÷9 r3=81÷27
=3 =3 =3
G₂÷G1=G₃÷G₂=G₄÷G₃=G(n+1)÷Gn=r
አያቹ ዝም ብለን እያካፈልን በሄድን ቁጥር የሚመጣልን የ value constant ነው።ስለዚ ይሄ Geometric sequence ይባላል።
እስኪ ምሳሌ እንመልከት፦
✔️Use the given information about a
geometric sequence to find the
indicated values.
✔️A) G1=10 and r=2, find G₄
Solution
G(n)=r^¯¹G1
G₄=2⁴‑¹×10
=2³×10
=8×10
=80
✔️B) G₃=1 and G6 = 216, find G1 and
r?
Solution
G(n)=r^¯¹G1 r⁶÷r³ =G6÷G3
r⁶-³=G6÷G3
r³=216÷1
r³=216.both side×qube root
r=5
G₃=r³¯¹G1
1=r²×G1
1=5²×G1
1=25×G1
1/25=G1
✔️C) G1=4 and r=-3, find G6
solution
G(n)=r^¯¹G1
G6=r⁶¯¹G1
=r⁵×G1
=(-3)⁵×4
=-243×4
=-972
✔️Sigma Notation and
Partial Sum ❓
ከዚህ በፊት ያየነው ስለ Sequence ዎች ነበረ እነሱም የሆነ nth term ውስጥ ቁጥሮችን ባስገባን ቁጥር individual valueአቸውን ነበር የሚሰጠን ለምሳሌ፦a1,a₂,a₃,a₄.............
አሁን ግን የነዛን የሁሉንም ድምር ነው የምናገኘው በ Sigma Notation እን Partial Sum ጊዜ
እንዴት?፦ ለምሳሌ፦
S1=a1 ፦S1 የመጀመሪያው element ድምር
ነው ።
S₂=a1+a₂ ፦S₂____ ደሞ የመጀመሪያ 2
elementውችድምር ነው።
S₃=a1+a₂+a₃ S₃____ ደሞ የመጀመሪያ 3
elementውችድምር ነው።
S(n)=a1+a2+a3+.......+a(n),
S(n)____ደሞ የመጀመሪያ a(n) ድምር ነው።
✔️Example;the sum of the first 5 natural number
solution
the first 5 natural number are 1,2,3,4,5
S(n)=a1+a2+a3+a4+a5
S5 =1+2+3+4+5
=15
✔️Example2;the sum of the first 10 natural number
Solution
the first 10 natural number are 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
S(n)=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
+a9+a10
S10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=55
✔️Example3;10 natural numbers that
are multiple 3
Solution
10 natural numbers that are multiple 3 are 1*3,2*3,3*3,4*3,5*3,6*3,7*3, 8*3,9*3,10*3=3,6,9,12,15,18,21,24,28,27,30
S(n)=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
+a9+a10
S10=3+6+9+12+15+18+21+24
+28+27+30
=165
✔️SIgma Notation,Arithmetic progression Geometric progression,infinite series ande binomial series በ telegraph ለመስራት ስለማይመች በ video እና በ ወረቅት ላይ የተሰሩ Example ዎች አሉላቹ እነሱን ተመልከቱ።
✔️Applications of Arithmetic Progression And Geometric Progression ❓
አነኚህን Arithmetic Progression And Geometric Progression በህይወታችን ውስጥ or really life ላይ እንንዴት ነው የምንጠቀማቸው የሚለውን እንመለከታለን ቀጥታ ወደነሱ፦
✔️Example 1;A job applicant finds that
a firm offers a starting annual salary
of Birr 32,500 with a guaranteed raise
of Birr 1,400 per year.
A) What would the annual salary be in the tenth year?
B) Over the first 10 years, how much
would be earned at the firm?
Solution
አንድ የስራ ድርጅት አለ በዚያ ድርጅት ውስጥ የሚሰራ ሰው አለ ይሄ ሰው በዚያ ድርጅት ውስጥ እየሰራ የሚያገኘው አመታዊ በጀት ወይም የ አንድ አመት የሚያገኘው ብር 32,500 ነው።እና የዚ ሰውዬ ብር በአመት በአመት 1,400 ብር ይጨመርለታል።
A)የዚ ሰውዬ ደሞዝ 10 ኛ አመት ላይ ስንት ይሆናል የሚል ነው።እዚጋ እንድትረዱት የምፈልገው ነገር የዚ ሰውዬ ደሞዝ በአንድ አመት ውስጥ 32,500 ነው በየ አንድ አመቱ ደግሞ 1,400 ብር ይጨመርለታል ስለዚ ሁለተኛ አመት ላይ የሚያገኘው የብር መጠን 32,500+1,400=33,900 ነው ሶስተኛ አመት ላይም 1,400 ሲጨመርለት 35,300 ይሆናል እያ ይቀጥልና..........አስረኛ አመት ላይ የዚ ሰውዬ ብር ስንት ይሆናል ነው የሚለው ጥያቄው።ገብቷችኋል ብዬ ተስፋ አደርጋለው 😋
ስለዚህ እዚጋ የምናየው ምን አይነት progression ነው?
32,500,33,900,35,300..............
A1=32,500
A₂=33,900
A₃=35,300 እያለ ይቀጥልና A10 ስንት ይሆናል??
common difference (d) ይሄ በየ አመቱ የሚጨመርለት መጠን ነው ምክንያቱም constant number ስለሆነ
or
d=A₂-A1
=33,900-32,500
=1,400
A(n)=A1+(n-1)d
A10=32,500+(10-1)1,400
=32,500+(9)1,400
=45,100 ብር አስረኛ አመት ላይ ይሆንለታል
✔️B) ላይ የምንመለከተው ደም ሰውዬው ለ አስር አመታት ያክል የተቀበለው የብር መጠን ስንት ነው የሚል ነው ስለዚህ የምንፈልገው Sum ነው ምክንያቱም ሁሉንም የአስር አመታት የተቀበልነውን ብር ስለተጠየቅን ተከታተሉኝ ቀላል ነው እናተም ቀለል አድርጉት።S₁₀ ነው የምንፈልገው
ስለ S(n) ምን ብለናል የሁሉንም እስከ ተጠየቅንበት አመት ድረስ ነው የምንሰራው ስለዚ እናተ ከፈለጋቻ፦በነኚ ስሩ 👇
S(n)=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10
OR
የሰምሽን ስዕል አስገባ formula
S10=10/2[A1+A(n)]
=5[A1+A10]
=5[32,500+45,100]
=388,000
ሰውዬው አጠቃላይ ለ 10 አመት ያክል የወሰደው የብር መጠን 388,000ብር ነው
✔️Example 2:A woman deposits Birr
3,500 in a bank account paying an
annual interest at a rate of 6%. Show
that the amounts she has in the
account at the end of each year form
a geometric sequence.
እዚገር ደሞ አንድ ሴት bank 3,500 ብር አስቀምጣለት ይህ ብር በየ አመቱ 6% ይወልዳል
ስለዚ ጥያቄው እንደሚለን ከሆነ በየ አመቱ መጨረሻ ላይ ስንት ብር ታገኛለች ነው የሚለው።
የመጀመሪያ አመት ላይ ያስቀመጠችው ብር 3,500 ብር ነው
ሁለተኛ አመት ላይ ደሞ ካስቀመጠችው ብር
በ 60% ጨምሮላታል።ስለዚ ሁለተኛ አመት ላይ
3,500 + የ 3,500 ስድስት % 60%=0.6
OR
G1=3,500
G₂=G1+0.6G1
G₂=3,500+0.6(3,500)
=3,500+6/10(3,500)
=3,500+210
=3,710
G₃=G₂+0.6(G₂)
=3,710+6/10(3,710)
=5,939
ከዚህ ምን እንረዳለን ፦
G₂=G1+0.6G1
G₃=G₂+0.6(G₂)
G₄=G₃+0.6(G₃)
እስቲ General term እናውጣለት አይታቹ ከሆነ በየ term ኡ constant አለ ለምሳሌ
G₂=G1+0.6G1 constant G1
G₃=G₂+0.6(G₂) constant G₂ አለ
ስለዚ ለሁሉም የሚሆን General term እናውጣ
G₂=G1+0.6G1
G₂=G1(1+0.6) ይሆናል።
G₃=G₂+0.6(G₂)
=G1(1+0.6)+0.6(G1(1+0.6))
=G1(1+0.6)(1+0.6)
G₃=G1(1+0.6)² ይሆናል።
0.6%___constant ስለሆነ r እንበለው ወይም ቅድም እንዳየነው G₂÷G1=r
G(n)=G1[1+r]^ ይሆናል።
አስቲ የ ሴትዬዋን አሰረኛ አመት ላይ ብሯ ወልዴ ስንት እንደሆነ እንስራ
G10=G1[1+r]¹⁰
=3500[1+0.6]¹⁰
ቁጥሩን እናንተ ስሩት
✔️Example 1; Suppose a substance
loses half of its radioactive mass per
year. If we start with 100 grams of a
radioactive substance, how much is
left after 10 years?
solution
ከላይ ካለው ጥያቄ ጋር አንድ አይነት ስለሆነ በዛው አይነት ስሩት ግነ እዚኛው ላይ እየጨመረ አይደለም እየቀነሰ ስለሚሄድ የምንጠቀመው formula
G(n)=G1[1-r]^ ምክንያቱም በ 1/2 እየቀነሰ
ስለሄደ።
G10=100[1-1/2]¹⁰
=100[1/2]¹⁰
=100/1,024
=0.09765625g