Математика тригонометрические уравнения
Математика тригонометрические уравненияСкачать файл - Математика тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения - тема не самая простая. Уж больно они разнообразные. Но у этих и всех остальных тригонометрических монстров есть два общих и обязательных признака. Первый - вы не поверите - в уравнениях присутствуют тригонометрические функции. Такие уравнения требуют индивидуального подхода. Здесь мы их рассматривать не будем. Злые уравнения в этом уроке мы тоже решать не будем. Здесь мы будем разбираться с самыми простыми тригонометрическими уравнениями. Да потому, что решение любых тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. На первом этапе злое уравнение путём самых различных преобразований сводится к простому. На втором - решается это самое простое уравнение. Слева - чистый безо всяких коэффициентов синус косинус, тангенс, котангенс , справа - какое-то число. В общем виде простейшие тригонометрические уравнения можно записать вот так:. Это усложняет жизнь, но на методе решения тригонометрического уравнения никак не сказывается. Тригонометрические уравнения можно решать двумя путями. Этот путь мы рассмотрим здесь. Второй путь - с использованием памяти и формул - рассмотрим в следующем уроке. Первый путь понятен, надёжен, и его трудно забыть. Он хорош для решения и тригонометрических уравнений, и неравенств, и всяких хитрых нестандартных примеров. Включаем элементарную логику и умение пользоваться тригонометрическим кругом. Трудно же вам в тригонометрии придётся Загляните в уроки 'Тригонометрический круг В отличие от учебников Ах, вы в курсе!? И даже освоили 'Практическую работу с тригонометрическим кругом'!? Эта тема будет вам близка и понятна. Что особо радует, тригонометрическому кругу безразлично, какое уравнение вы решаете. Синус, косинус, тангенс, котангенс - ему всё едино. Если говорить человеческим языком, нужно найти угол икс , косинус которого равен 0,5. Как мы ранее использовали круг? Мы рисовали на нём угол. В градусах или радианах. И сразу видели тригонометрические функции этого угла. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим угол. Останется только записать ответ. Теперь нарисуем угол, который даёт нам этот косинус. Наведите курсор мышки на рисунок или коснитесь картинки на планшете , и увидите этот самый угол х. Если вы знаете таблицу косинусов а вы должны её знать , можно смело записать:. Кое-кто скептически хмыкнет, да Мол, стоило ли круг городить, когда и так всё ясно Но дело в том, что это - ошибочный ответ. Знатоки круга понимают, что здесь ещё целая куча углов, которые тоже дают косинус, равный 0,5. Если провернуть подвижную сторону ОА на полный оборот , точка А попадёт в исходное положение. С тем же косинусом, равным 0,5. И все эти новые углы будут решениями нашего тригонометрического уравнения. И их все надо как-то записать в ответ. Иначе решение не считается, да Математика умеет это делать просто и элегантно. В одном кратком ответе записывать бесконечное множество решений. Вот как это выглядит для нашего уравнения:. Всё-таки писать осмысленно приятнее, чем тупо рисовать какие-то загадочные буковки, правда? Что и указано краткой записью:. Кстати, вместо буквы n вполне могут употребляться буквы k, m, t и т. Эта запись означает, что вы можете взять любое целое n. Если подставите это число в запись ответа, получите конкретный угол, который обязательно будет решением нашего сурового уравнения. Я специально удовольствие растягиваю. Мы получили только часть ответов к нашему уравнению. Эту первую часть решения я запишу вот как:. Наводим мышку на картинку и видим ещё один угол, который тоже даёт косинус 0,5. Как вы думаете, чему он равен? Он равен углу х , только отложен в отрицательном направлении. Но икс-то мы уже вычислили. Стало быть, можно смело записать:. По тригонометрическому кругу мы увидели кто понимает, конечно все углы, дающие косинус, равный 0,5. И записали эти углы в краткой математической форме. В ответе получились две бесконечные серии корней:. Надеюсь, общий принцип решения тригонометрических уравнений с помощью круга понятен. Отмечаем на круге косинус синус, тангенс, котангенс из заданного уравнения, рисуем соответствующие ему углы и записываем ответ. Конечно, нужно сообразить, что за углы мы увидели на круге. Иногда это не так очевидно. Ну так я и говорил, что здесь логика требуется. Прошу учесть, что число 0,5 - это не единственно возможное число в уравнениях! Просто мне его писать удобнее, чем корни и дроби. Работаем по общему принципу. Рисуем круг, отмечаем на оси синусов, разумеется! Рисуем сразу все углы, соответствующие этому синусу. Получим вот такую картину:. Сначала разбираемся с углом х в первой четверти. Вспоминаем таблицу синусов и определяем величину этого угла. А вот теперь надо определить второй угол Это похитрее, чем в косинусах, да Но логика нас спасёт! Как определить второй угол через х? Треугольнички на картинке одинаковые, и красный угол х равен углу х. А нам для ответа нужен угол, отсчитанный правильно, от положительной полуоси ОХ, то есть от угла 0 градусов. Наводим курсор на рисунок и всё видим. Первый угол я убрал, чтобы не усложнял картинку. Интересующий нас угол нарисован зелёным будет равен:. Стало быть, второй угол будет:. Уравнения с тангенсом и котангенсом можно легко решать по тому же общему принципу решения тригонометрических уравнений. Если, конечно, знаете, как нарисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге. В приведённых выше примерах я использовал табличное значение синуса и косинуса: А теперь расширим наши возможности на все остальные значения. Такого значения косинуса в кратких таблицах нет. Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Получаем вот такую картинку. Разбираемся, для начала, с углом в первой четверти. Знать бы, чему равен икс, сразу бы ответ записали! Математика своих в беде не бросает! Она на этот случай придумала арккосинусы. Выясните, что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Это много проще, чем вы думаете. По этой ссылке ни одного мудрёного заклинания насчёт 'обратных тригонометрических функций' нету Лишнее это в данной теме. Если вы в курсе, достаточно сказать себе: И сразу , чисто по определению арккосинуса, можно записать:. Вспоминаем про дополнительные обороты и спокойно записываем первую серию корней нашего тригонометрического уравнения:. Практически автоматом записывается и вторая серия корней, для второго угла. Даже проще, чем с табличными значениями. Ничего вспоминать не надо. Общий принцип на то и общий! Я специально нарисовал две почти одинаковые картинки. Круг нам показывает угол х по его косинусу. Табличный это косинус, или нет - кругу неведомо. Опять начинаем с угла в первой четверти. Так и здесь он будет точно такой же! Можно смело записывать вторую пачку корней:. Вот так решаются тригонометрические уравнения с помощью круга. Этот путь нагляден и понятен. Именно он спасает в тригонометрических уравнениях с отбором корней на заданном интервале, в тригонометрических неравенствах - те вообще решаются практически всегда по кругу. Короче, в любых заданиях, которые чуть сложнее стандартных. И как вместо двух серий ответов записать одну. Да так, чтобы ни один корень из бесконечного количества не потерялся! Зато вспоминать никаких табличных значений не надо! С таким багажом можно безопасно пользоваться быстрым вариантом решения тригонометрических уравнений - через формулы. Они формулы вас точно не подставят. Более того, ещё чуть-чуть объяснений - и вам по плечу решение тригонометрических неравенств и прочих хитрых заданий части 'С'. Прочтите урок ещё раз. Только вдумчиво есть такое устаревшее слово И по ссылкам походите. Главные ссылки - про круг. Без него в тригонометрии - как дорогу переходить с завязанными глазами. Что такое арксинус, арккосинус? Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом! А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными. Hовое на сайте В разделе Решение задач на формулу n-го члена. Основа для решения заданий. Способы решения, приёмы упрощения, ловушки в заданиях. Что такое математическая модель? Как решать дробные уравнения? Содержание сайта Раздел 1. Так что, если на втором этапе у вас проблемы - первый этап особого смысла не имеет. Как выглядят элементарные тригонометрические уравнения? В общем виде простейшие тригонометрические уравнения можно записать вот так: Кстати, внутри функции может находиться не чистый икс, а какое-то выражение, типа: Как решать тригонометрические уравнения? Решаем уравнения с помощью тригонометрического круга. Вот и берём любое элементарное тригонометрическое уравнение. Рисуем круг и отмечаем косинус, равный 0,5. На оси косинусов, разумеется. Косинус какого угла равен 0,5? Если вы знаете таблицу косинусов а вы должны её знать , можно смело записать: Вот как это выглядит для нашего уравнения: Что и указано краткой записью: Эту первую часть решения я запишу вот как: Но есть ещё углы, которые тоже дают косинус, равный 0,5! Вернёмся к нашей картинке, по которой записывали ответ. Стало быть, можно смело записать: В ответе получились две бесконечные серии корней: Для примера разберём ещё одно тригонометрическое уравнение: Получим вот такую картину: Интересующий нас угол нарисован зелёным будет равен: Стало быть, второй угол будет: Полноценный ответ состоит из двух серий корней: Итак, пусть нам надо решить вот такое тригонометрическое уравнение: И сразу , чисто по определению арккосинуса, можно записать: С синусом та же песня. Получается вот такая картина: В примере с табличным значением 0,5 он был равен: Можно смело записывать вторую пачку корней: Хотя и выглядит не очень привычно. Применим знания на практике? Сначала попроще, прямо по этому уроку. А теперь внешне простенькие Их ещё частными случаями называют. Ну и совсем простые: Ответы, разумеется, в беспорядке: Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас. Копирование материалов разрешается только при указании работающей ссылки на этот сайт. Иное использование материалов допускается с разрешения автора. Нарушение авторских прав влечёт за собой административную и уголовную ответственность в соответствии с законодательством Российской Федерации.
Тригонометрические уравнения!
Подготовка к ЕГЭ по математике Подробные решения заданий ЕГЭ по математике. В этой статье мы рассмотрим тригонометрические уравнения. Их решение отличается и по объёму и по сложности от остальных задач этой части. Кроме нахождения самих корней уравнения, необходимо определить наибольший отрицательный, либо наименьший положительный корень. Вероятность того, что вам на экзамене попадёт тригонометрическое уравнение, конечно же, мала. Но это не означает, что их нужно оставить без внимания. В части С тоже необходимо решить тригонометрическое уравнение, поэтому хорошо разобраться с методикой решения и понимать теорию просто необходимо. Напоминаю, что ответом является целое число или конечная десятичная дробь. Много времени это не займёт, а вас избавит от ошибки. В будущем мы также рассмотрим и другие уравнения, не пропустите! Вспомним формулы корней тригонометрических уравнений, их необходимо знать: Отлично, если память хорошая, вы легко выучили и запомнили эти значения. Обидно будет потерять бал из-за того, что вы запишите при расчётах неверное значение. Если ещё не подписались, сделайте это! В будущем также рассмотрим, как эти значения можно определить по тригонометрической окружности. В примерах ниже у нас аргумент задан именно выражением. Итак, рассмотрим следующие задачи: В ответе запишите наибольший отрицательный корень. Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a. Найдём наибольший отрицательный корень. Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный. Общая рекомендация для всех подобных задач: Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x: В ответе напишите наименьший положительный корень. Либо он объединяет оба указанные выше: Выразим x умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи: Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n мы получим отрицательные корни. Значит наименьший положительный корень равен 4. Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни: Таким образом, наименьший положительный корень равен 0, Арккотангенсом числа a a — любое число называется угол x принадлежащий интервалу 0;П , котангенс которого равен a. Здесь хочу добавить, что в уравнениях в правой части может стоять отрицательное число, то есть тригонометрическая функция от аргумента может иметь отрицательное значение. Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием! Школа репетиторов Анны Малковой! Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам! Объясните пожалуйста, почему наибольший отрицательный корень -1,5, когда у нас ещё были ,5 и ,5? А все остальные тригонометрические сводятся к элементарным. Если с с нулевого уровня начинать, то под руководством грамотного педагога репетитора при неутолимом желании самого ученика нужно месяцев. Если уже хорошие базовые знания есть и кое-какие навыки, то на отработку навыков решения нужно месяца плотной работы. Ваш e-mail не будет опубликован. К вам человеческая просьба: Подготовка к ЕГЭ по математике бесплатно! Поздравительный ролик из фото на заказ! ЗАДАЧИ ЕГЭ С ОТВЕТАМИ. Посмотреть решение Решите уравнение: Значит Выразим x умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи: Посмотреть решение Определение котангенса: С уважением, Александр Крутицких. Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях. Для вас другие записи этой рубрики: Подготовка к ОГЭ по математике. Оно находится ближе других корней к нулю. Благодаря Вам я перестал бояться элементарных тригонометрических уравнений: Александр , сколько времени занимает подготовка к заданиям С1-С4? Добавить комментарий Отменить ответ Ваш e-mail не будет опубликован. Варианты ЕГЭ Векторы Вероятность Видеокурсы Книги Товары Вписанный угол, касательная Выражения Графики и диаграммы Движение Координатная плоскость НОВОСТИ Округление Онлайн-обучение ПЕРЕМЕНА Площади фигур Приёмы фишки Прогрессия Производная Простые вычисления Простые уравнения Проценты Работа Треугольники Развитие личности Стереом. Подготовка к ЕГЭ по математике!
Тригонометрические уравнения и неравенства
Основные теории конституционного права
Острый гнойный периостит история болезни
Тригонометрические уравнения.
Уведомление об аннулировании доверенности образец