Математика казино
Казино математикаКазино математика
Список форумов » Математика » Помогите решить / разобраться (М) » Вероятность, статистика
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Математика казино
Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.
Бесплатные онлайн-рулетки — это отличный способ познакомиться с этой игрой и ее правилами. Однако узнать об этой игре также можно, прочитав нашу статью о правилах рулетки, в которой содержится вся необходимая информация.
Математика казино
К счастью, это вовсе необязательно. Рулетка — очень простая игра. Вам просто нужно делать ставки на любые числа или сектора на игровом столе и ждать результата. Повлиять на результат невозможно, и у всех ставок примерно одинаковый показатель возврата, поэтому единственное, что можно изменить — это волатильность (она зависит от вида ставок).
Примечание: Как мы уже говорили, почти у всех ставок одинаковый процент выплат. Однако в американской рулетке есть ставка на пять чисел (0, 00, 1, 2 и 3), у которой самый плохой процент отдачи в игре. Если вы будете играть в рулетку на реальные деньги, то мы настоятельно рекомендуем никогда не делать эту ставку, а также не играть в американскую рулетку в принципе. Мы подготовили для вас информацию о шансах на выигрыш в рулетке, которая поможет вам узнать больше о различиях между видами ставок.
Математика казино
Количество возможных результатов у этих рулеток отличается, но при этом коэффициенты ставок в случае выигрыша одинаковые. Это значит, что у американской рулетки показатель RTP хуже (94,74%), чем у европейской (97,3%). Поскольку шанс выигрыша в европейской рулетке намного выше, мы рекомендуем по возможности играть только в нее. Конечно, это не так уж и важно при игре в бесплатную рулетку, но играть в лучшую версию всегда приятнее.
Помимо европейской и американской, существует также французская рулетка. Она похожа на европейскую, но имеет дополнительные правила в пользу игроков, что делает этот вид рулетки еще более выгодным, так как правила уменьшают преимущество казино. Если хотите узнать об этом больше, можете прочитать нашу статью о различиях между разными видами рулетки.
Казино математика
Примечание: Американские и европейские бесплатные рулетки найти нетрудно, но французских бесплатных рулеток очень мало, так как в них в основном играют с live-дилерами и они редко доступны в демо-режиме. Тем не менее в нашей базе данных есть множество онлайн-казино с живыми дилерами, предлагающих французскую рулетку.
Не все версии бесплатных рулеток доступны с мобильных устройств, но такие все же имеются. Чтобы найти игры, доступные только с мобильных телефонов и планшетов, включите фильтр «Мобильные устройства» при поиске на нашем сайте.
Математика казино
Примечание: К сожалению, для некоторых рулеток по-прежнему нужен Flash Player, поэтому в них можно играть только на компьютере. Однако популярные старые игры часто дорабатываются с использованием новых технологий, и, вполне вероятно, некоторые из них в будущем станут доступны в том числе и для мобильных устройств.
Если вы не хотите просто размещать ставки и крутить колесо, то рекомендуем изучить наши стратегии для игры в рулетку. Мы разработали несколько интересных способов игры, которые приносят хорошие результаты в долгосрочной перспективе. Конечно, они не гарантируют постоянные выигрыши (это невозможно), но с их помощью вы сможете повысить шансы на получение прогнозируемого результата.
Математика казино
Мы также написали статью о так называемых мошеннических стратегиях для игры в рулетку вроде Мартингейла, которые часто позиционируются как верный способ выиграть деньги и обыграть казино. Это, разумеется, ложь, и рано или поздно вы проиграете весь банкролл, если будете им следовать. Их можно попробовать в бесплатных рулетках, но никогда не следуйте этим стратегиям при игре на реальные деньги. Узнайте почему из статьи выше.
В нашей базе бесплатных игр представлены тысячи игр от поставщиков со всего мира. Большинство из них — игровые автоматы, но также можно найти видеопокер, блэкджек, бинго, кено, баккара, кости и многие другие.
Казино математика
Если вы не хотите ограничивать себя лишь игрой в рулетку, то перейдите по этой ссылке и посмотрите полный список бесплатных игр или измените параметры фильтра, чтобы отобразить только нужные игры.
Играть в онлайн-рулетку бесплатно очень просто. Для этого выберите любую понравившуюся вам игру в нашем разделе бесплатных рулеток, нажмите на нее, — и можете делать первую ставку! После этого нажмите кнопку спина и ожидайте результата. Затем разместите следующую ставку, снова нажмите кнопку спина — и так, пока не надоест.
Казино математика
Если вы не знакомы с общими правилами рулетки, видами ставок и другой важной информацией, прочитайте нашу статью о правилах рулетки.
Нет, не придется. Все игры из нашей базы бесплатных игр казино, включая рулетку, можно запускать прямо в браузере. Вам не нужно создавать аккаунт и что-либо скачивать. Просто дождитесь, когда понравившаяся игра загрузится в браузере, и играйте. Большинство игр должны работать на всех без исключения устройствах, включая компьютеры, смартфоны и планшеты.
Казино математика
К сожалению, с живыми дилерами играть бесплатно, как правило, невозможно. Поддерживать такие игры довольно затратно, поскольку в них задействован живой человек. Поэтому играть в рулетку с живым дилером можно только на реальные деньги. Такие казино можно найти в нашем списке казино с живой рулеткой, но если вы не хотите ставить реальные деньги, то вам придется довольствоваться бесплатной рулеткой без живого дилера.
Три самых популярных вида рулетки — это американская, европейская и французская. Колесо американской рулетки разбито на секторы от 1 до 36, а также есть секторы 0 и 00. В двух других рулетках «двойное зеро» не используется. Потому американскую рулетку еще называют «рулеткой с двойным зеро», а европейскую и французскую — «рулетками с одним зеро».
Математика казино
При этом европейская и французская рулетки отличаются между собой. Во французской рулетке используются дополнительные правила, которые снижают преимущество казино над игроками. Вы можете узнать больше об отличиях между видами рулетки в нашей статье о разметке на колесе и игровом столе рулетки.
У рулетки достаточно простые правила. Вы можете делать большое количество разных ставок, которые делятся на две группы: внутренние и внешние. Внутренние ставки размещаются на сами номера (один номер, два рядом стоящих номера, четыре рядом стоящих номера и так далее). Внешние ставки размещаются на область вокруг номеров и позволяют ставить на цвет (красное или черное), четное или нечетное число, дюжину и т. д.
Математика казино
По сути, чтобы играть, никаких особых правил знать не нужно. Просто делайте ставку и ждите результат. Однако в игре могут использоваться специальные правила, меняющие некоторые ее аспекты. Узнайте о них подробнее, прочитав нашу статью о правилах рулетки, шансах и ставках.
Да, являются. В бесплатных рулетках из нашей базы результат каждого раунда определяется генератором случайных чисел, который определяет случайный выигрышный номер. Что же касается традиционных казино и казино с живым дилером, то в них результаты определяются при помощи вращающегося колеса рулетки и шарика. Выигрышным становится номер, на котором шарик останавливается, и этот номер является случайным.
Казино математика
Да, можно. В большинство игр из нашей коллекции бесплатных рулеток можно играть со всех устройств с современным браузером, в том числе со смартфонов и планшетов. Некоторые устаревшие игры требуют установки Flash Player, который не поддерживается мобильными устройствами, но при помощи специального фильтра на нашем сайте вы можете посмотреть только игры, адаптированные под мобильные устройства.
Да, так же. У бесплатной рулетки на нашем сайте и ее платного аналога в казино, в котором играют на реальные деньги, должна быть абсолютно одинаковая математика. Если же вы играете в онлайн-рулетку с живым дилером, то результат определяется по иному принципу (здесь вместо генератора случайных чисел используется колесо и шарик), но статистические показатели должны быть идентичными, если в игре не используются никакие специальные правила.
Математика казино
Бесплатные профессиональные обучающие курсы для работников онлайн-казино, способствующие улучшению условий отрасли, опыта игроков и честного подхода к азартным играм.
Наша инициатива по созданию глобальной системы самоисключения, которая позволит уязвимым игрокам блокировать собственный доступ ко всем азартным играм онлайн.
Казино математика
До того, как победить несколько крупных казино, Гонсало Гарсия-Пелайо работал на студии звукозаписи. Математика была лишь его страстью. Но именно с её помощью он выиграл огромные деньги. Испанец смог рассчитать идеальный алгоритм рулетки.
Казино не оставили математика-любителя в покое. Сразу несколько заведений подали на Гонсало в суд. Процесс длился десять лет и закончился только в 2004 году. Добились ли казино осуждения математика, и можно ли сегодня обыграть рулетку?
Математика казино
Гонсало Гарсия-Пелайо закончил математический факультет. Правда, изучать точную науку его побудила не любовь к цифрам. С детства Гонсало был азартным человеком. Именно в математике он видел ключ к победам над такими противниками, как крупные казино. Свои мечты о схватке с казино Гонсало вынашивал более 20 лет. После окончания университета он долго работал звукорежиссёром и продюсером. Когда испанец разменял пятый десяток, он решил, что пора действовать. Математик выбрал рулетку.
На первый взгляд кажется, что игра в рулетку — набор случайностей. Шарик, брошенный в крутящийся барабан, занимает одну из 37 возможных позиций. Человеческий фактор, как в покере, исключён. Однако и к рулетке Гонсало подобрал «ключ». Для этого он долго наблюдал за работой крупье в крупном казино Мадрида. В общей сложности математик записал пять тысяч бросков. По его расчётам каждое число должно было выпасть в среднем 135 раз. Но наблюдения не сошлись с вычислениями. Некоторые числа выпадали чаще, другие крайне редко.
Математика казино
Завидев завсегдатая, который не играет, а лишь смотрит за движением шарика, службы безопасности Мадридского казино начинали беспокоиться. Гонсало вовремя почуял подозрительность охраны. Математик подключил к делу детей. Пятеро сыновей посменно посещали казино и делали для отца записи. В свою очередь Гонсало заносил сведения в компьютер. Напомним, что дело происходило в конце восьмидесятых. Гонсало понял, что машина рассчитает результаты точнее человека. Несколько месяцев наблюдений позволили математику составить уникальную статистику. В рулетке Мадрида действительно существовали «счастливые» и «несчастливые» числа.
Первый куш испанца был скромным. Он выиграл всего лишь 600 евро, после чего покинул казино. Однако на следующий день Гонсало выиграл уже несколько тысяч. Служба безопасности не сразу поняла, в чём дело. Испанец не мошенничал, но постоянно выигрывал. Гонсало добился того, что его перестали пускать в казино Мадрида. К этому моменту он лишил заведение нескольких сотен тысяч. Математик ничуть не расстроился, узнав о своём исключении из рядов посетителей. Он планировал «атаковать» новые казино — в Европе и Лас-Вегасе.
Казино математика
Гонсало Гарсия-Пелайо был не только математиком. Он смог развить умопомрачительную наблюдательность. Когда Гонсало понял, что расчёты и реальные результаты не сходятся, он начал присматриваться к рулеткам. В конце концов математик нашёл ответ. Он обратил внимание, что блестящая поверхность барабана рулетки отражает свет неравномерно. По бликам испанец вычислил примерный наклон. Для выявления нестабильного вращения пришлось считать обороты. Если рулетка делала разное количество оборотов влево и вправо — барабан был с дефектом. После сбора статистики можно было определить «счастливые» числа.
Гарсия-Пелайо — не первый игрок, обыгравший казино. Технологию он позаимствовал у Джозефа Джаггера. Дедушка знаменитого музыканта Мика Джаггера был первым американцем, который обманул рулетку. Джозеф работал на хлопчатобумажном производстве инженером. Однажды он догадался, что рулетки в казино просто не могут иметь идеальную конструкцию. Для проверки теории он попросил пятерых друзей отправиться в казино и понаблюдать за рулетками. В результате Джаггер определил девять выигрышных чисел.
Математика казино
Руководство казино отреагировало не так, как в случае с Гонсало. Сначала барабаны рулеток поменяли местами. Джозеф несколько раз ошибся, но быстро разгадал трюк. Помогла феноменальная память. Инженер запомнил приметные засечки на каждом барабане. Тогда казино буквально собрало рулетки заново. Металлические детали и элементы бортиков поменяли местами. Из-за этого изменился баланс каждого барабана. Числа, которые выигрывали ранее, больше не выпадали. К этому моменту Джаггер собрал сумму равную трём миллионам долларов при пересчёте на современные деньги. Инженер бросил работу и вложил средства в недвижимость. Очевидно, успех Джаггера вдохновил и испанского математика.
Конечно, схема Гонсало не осталась незамеченной. Обманутые казино подали на математика в суд, требуя вернуть деньги. Кстати, за всё время игры в рулетку он заработал 1,5 миллиона долларов. Судебный процесс против Гонсало Гарсиа-Пелайо длился более десяти лет. Тяжбы закончились в 2004 году победой математика.
Математика казино
Испанский суд вынес решение, не подлежащее обжалованию. Более того, судья посоветовал владельцам казино лучше следить за своим оборудованием. Испанца не признали мошенником, как того хотели обвинители. Выигранные деньги полностью остались у бывшего звукорежиссёра. Богатый опыт рулеточных расчётов и часы, проведённые в казино, стали прекрасным опытом для Гонсало. Вместе с детьми он открыл агентство, занимающееся анализом азартных игр. В том числе испанец проводит экспертную оценку виртуальных казино.
В 2012 году про азартного математика сняли фильм. Лента рассказывает о молодости Гонсало и раскрывает секреты его успеха. Интересно, что за всё время фильм собрал в прокате около двух миллионов долларов. С точки зрения Голливуда — скромная сумма. Однако для испанского кинематографа окупаемость внушительная. Часть денег получил и сам Гонсало. Математик также заработал на книге, которую написал на основе своей истории. Небольшой тираж раскупили очень быстро.
Математика казино
Современные рулетки, к сожалению, так легко не обдурить. Качество барабанов, дефлекторов, перемычек и даже шариков значительно выросло. А значит, и дефекты встречаются гораздо реже.
Читайте также: 6 трюков статистики, которые покажутся вам волшебством
Казино математика
Все игры в казино — рулетка, кости, карты, автоматы — основаны на законах случая. И если в покере или блек-джеке (в России игра известна даже далеким от казино людям как очко) мастерство и опыт игрока могут повлиять на результат, то шансы любителей остальных развлечений равны. Гарантированный выигрыш есть только у одного игрока — казино.
Люди всегда хотели обыграть казино и придумали для этого массу стратегий. К сожалению, игроки не изучали центральную предельную теорему, закон больших чисел, теорию цепей Маркова и иные части теории вероятностей. Могли бы сэкономить много денег.
Казино математика
В рулетке прибыль заведения гарантирует секция зеро, а в американском варианте еще и дабл зеро. Колесо, или «вертушка», разделено на 37 ячеек, в 36 из них проставлены числа от 1 до 36, а в последней — зеро (в США ячеек 38, из которых две нулевые). Ставить можно на конкретные числа или группы чисел или на «равные шансы»: черное-красное и чет-нечет. Прибыль при выпадении чисел намного выше, чем при угадывании цвета или четности.
Не будь ячейки зеро, вероятность выигрыша для игрока, поставившего, скажем, на черное, была бы 18/36, или 50%. Но из-за еще одной ячейки она сокращается до 18/37. Другими словами, у заведения появляется «дополнительная» доля шанса на выигрыш — 1/37, то есть 2,7%. В американском варианте из-за второго зеро расхождение вдвое больше и составляет 5,4%.
Математика казино
Когда человек ставит на конкретное число, игорный дом тоже остается в плюсе, несмотря на то что выигрыш вроде бы щедро выплачивается из расчета 35 к 1. Шансы игрока проиграть составляют 36 из 37, а шансы выиграть — только 1 из 37. То есть с каждого рубля, поставленного на конкретный номер, казино получит
или те же 2,7%. Это не означает, что игроки всегда в минусе, но шансов уйти с лишними деньгами у них намного меньше, чем проиграть имеющиеся.
Казино математика
Правила игры незамысловаты: игрок (шутер) кидает две кости, и, если сумма очков на них равна 7 или 11, он выигрывает, если 2, 3 или 12 — проигрывает. Когда на кубиках выпадает другая сумма, шутер бросает их до выигрышной или проигрышной комбинаций. Остальные участники делают ставки, пытаясь угадать, как лягут кости.
Казалось бы, все честно, ведь казино вообще напрямую не участвует в игре. Тем не менее игорный дом и тут остается в прибыли — размер ставок определен так, что участники получают выигрыш меньше «положенного», то есть рассчитанного по законам теории вероятностей. Например, шансы, что на кубиках выпадут комбинации 6+6 или 1+1, составляют
Казино математика
но ставка за них выдается из расчета 30 к 1. Если бы размер выигрыша был пропорционален вероятности, то размер куша вычислялся бы из расчета 35 к 1. Точно так же казино занижает выигрыши для других комбинаций, забирая себе разницу.
Казино в первую очередь ассоциируется с рулеткой и покером, но, по статистике, 61% посетителей игорных домов проводят время, сражаясь с «однорукими бандитами» (данные Американской игорной ассоциации за 2013 год). Правила игры на автоматах предельно просты, а несерьезная минимальная ставка делает их доступными даже для самых бедных игроков.
Казино математика
Когда-то давно «бандиты» были механическими, и, дергая ручку, игрок спускал пружину, которая раскручивала барабаны с картинками. Сегодня колесики и шестеренки заменил компьютерный чип, а вишенки, лимоны или карточные номиналы отображаются на экране. Как и раньше, выигрышной считается комбинация из трех одинаковых картинок.
Формально игровые автоматы работают честно и останавливают барабаны, подчиняясь командам от генератора случайных чисел. На деле каждый «бандит» запрограммирован возвращать игрокам определенный процент вложенных денег — обычно от 80 до 90%, хотя в казино Лас-Вегаса установлена доля до 98%.
Математика казино
Противоречия здесь нет: момент остановки каждого барабана действительно определяется случайным числом. Но компьютер не использует выданное значение непосредственно. Вместо этого машина производит расчет по определенному алгоритму: умножает, делит и переводит с языка цифр на язык картинок по заранее составленным таблицам. И именно здесь закладывается процент выигрышных результатов: изменяя параметры таблицы, можно сделать «бандита» более или менее «щедрым».
Попыткам обмануть фортуну не одна сотня лет. В Интернете можно бесплатно, а иногда и за немалые деньги познакомиться с десятками «стопроцентно выигрышных стратегий» игры в рулетку (почему-то игрокам кажется, что «взломать» проще всего именно колесо). Бороться с теорией вероятностей бесполезно, но люди упорно пытаются.
Математика казино
Одна из самых старых стратегий игры в рулетку требует от игрока ставить на красное или черное (или чет-нечет) и удваивать ставку при проигрыше. Рано или поздно игрок угадывает и срывает банк.
Схема кажется логичной, но в действительности суммарный выигрыш не превысит размера изначальной ставки. Пусть игрок ставит на черное и угадывает на шестом обороте (игроки говорят — спине). Тогда его баланс выглядит так:
Казино математика
из-за зеро, поэтому при достаточно большом количестве спинов игрок оказывается в минусе. Кроме того, любителям мартингейла зачастую приходится делать много попыток и каждый раз удваивать расход. Если деньги закончатся раньше, чем «стратег» угадает, он потеряет огромную сумму. Наконец, владельцы казино прекрасно знают о мартингейле, и размер максимальной ставки во всех игорных домах ограничен. Поставив почти максимум и проиграв, человек лишается шанса вернуть деньги.
В отличие от любителей мартингейла и подобных ему схем, игроки, использующие так называемые стратегии с позитивной прогрессией, повышают ставки после выигрыша и чаще всего понижают после проигрыша. Схемы с позитивной стратегией не дают быстро проиграться, но обогатиться с их помощью тоже не получится, потому что у казино всегда больше шансов, какие бы ставки ни делал игрок. Баланс при использовании таких стратегий выглядит примерно следующим образом:
Математика казино
Игрок все время ставит на один и тот же номер, надеясь, что выигрыш в размере 35 к 1 покроет его расход. «Стратеги» не учитывают, что номера выпадают равномерно только при бесконечно большом количестве оборотов. А в реальной игре с высокой вероятностью за 36 спинов выбранный номер не сыграет ни разу — просто потому, что какой-нибудь другой номер выпадет дважды (кстати, именно на этом факте основана система Биарриц, тоже весьма популярная у посетителей казино). Если бы любители 36 раз подряд ставить на одно и то же число провели несложный расчет, они бы стали более прижимистыми.
Обозначим вероятность того, что за 36 спинов номера ни разу не совпадут, как Выберем любой номер в качестве любимого и будем «сверять» его с выпадающими числами. Вероятность того, что любой следующий спин даст непарный номер, равна
Казино математика
(так как есть еще зеро, в знаменателе дроби будет не 36, а 37). Вероятность, что любой из последующих оборотов опять не даст пары, составляет
дальше и так далее. Чтобы узнать, с какой вероятностью все номера за 36 спинов будут различными, нужно перемножить все эти вероятности. В общем виде формула выглядит так:
Математика казино
где ! — факториал (m! — это перемножение всех чисел от 1 до m), n — число поворотов колеса.
За счет огромного знаменателя получится настолько маленькое число, что на экране обычного калькулятора не хватит места, чтобы его показать. Например, для 36 спинов знаменатель дроби равен 285273917723723876056171083405292782327767461712708093041, а само значение составляет 0,000000000000000000000000000000000000000000000000000000003505. То есть шансов, что за 36 спинов номера ни разу не повторятся, практически нет.
Казино математика
Вероятность, что за любое выбранное количество оборотов мы получим хотя бы одну пару, равна Если подсчитать этот параметр для конкретного количества спинов, то при четырех оборотах колеса шансы на минимум одну «двойню» составят 15%, при 7 оборотах — 45%, а при 18 — уже 99,3%!
Схема основана на том факте, что за 36 раундов игры в рулетку некоторые числа, скорее всего, выпадут два и более раз. В классическом варианте схемы игроки некоторое время наблюдают за колесом, не делая ставок. Обнаружив повторяющиеся номера, они начинают последовательно ставить именно на них или, наоборот, не ставят фишки на эти числа.
Математика казино
Математических оснований у системы Биарриц нет: вероятность, что шарик остановится на определенном номере, никак не зависит от того, попадал ли он на него на предыдущих спинах. Но интуитивно люди связывают будущие исходы с уже случившимися («в одно дерево молния дважды не попадает»), поэтому схема по-прежнему популярна.
Идея похожа на идею стратегии Биарриц: шанс на выигрыш особенно высок после длинной серии неудач. Подсознательно человеку кажется, что нельзя все время проигрывать и после черной полосы он непременно сорвет банк. Создатели автоматов подстегивают эту надежду: «бандиты» запрограммированы с повышенной частотой выдавать выигрышные комбинации на уровень выше или ниже основной строки. Игрок видит, что барабан «чуть-чуть не докрутился», и снова и снова бросает жетоны в монетоприемник.
Математика казино
Если рулеточное колесо работает идеально, шансы на выигрыш у казино всегда выше. Но в реальной жизни идеальное встречается редко, и в случае рулетки на этом можно заработать. Что и сделал в 1837 году английский инженер Джозеф Джаггер. Он наблюдал за колесами в Монте-Карло и обнаружил, что одно уравновешено неидеально. Девять чисел — 7, 8, 9, 17, 18, 19, 22, 28, 29 — выпадали чаще остальных.
Джаггер начал ставить на «залипающие» номера и за четыре дня выиграл 370 000 долларов. Владельцы сообразили, в чем дело, и поменяли колеса местами, но инженер раскусил подвох. Тогда хозяева стали по ночам переставлять ячейки, и выигрышными каждый день оказывались другие числа. Джаггер прервал карьеру игрока и уехал из Монте-Карло с 325 000 долларов — 5 млн долларов по нынешним деньгам.
Казино математика
Есть данные, что еще нескольким людям удалось найти несовершенные колеса при помощи статистического анализа. Сегодня выискивать недостатки колес в открытую невозможно — в казино не жалуют таких «исследователей».
Этот метод предлагает угадывать, в какой ячейке окажется шарик, основываясь не на теории вероятностей, а на законах физики. При помощи нехитрого оборудования можно установить скорость шарика и скорость вращения колеса, непосредственно измерив их. Сопоставив эти значения, легко вычислить, когда и где остановится шарик. В 2004 году трое игроков, вооруженные лазерным сканером, компьютером и мобильными телефонами, выиграли в казино Ritz в Лондоне 1,3 млн фунтов. Игорный дом подал иск против счастливчиков, но суд решил, что ответчики не влияли на движение шарика и колеса, а значит, выигрыш законен.
Математика казино
Любители лотерей тоже часто недооценивают мощь теории вероятностей. В сентябре 2009 года в розыгрыше национальной лотереи Болгарии выпали числа 4, 15, 23, 24, 35 и 42. Через четыре дня эти шесть чисел выпали вновь. Организаторов лотереи заподозрили в мошенничестве, было проведено расследование, установившее, что все честно. Подсчет показывает, что вероятность повторения шестерки чисел в Болгарской лотерее, которая проводится уже 52 года дважды в неделю, очень высока.Результат каждого розыгрыша может совпасть с результатом любого из проводившихся ранее. Количество пар «шестерок», которые можно составить из всех розыгрышей, вычисляется по формуле:
Из двух розыгрышей можно составить только одну пару, из трех — 3, из четырех — 6, из пяти — 10, а из ста — уже 4950. При таком количестве сочетаний (возможных пар) вероятность, что какие-то из них окажутся одинаковыми, существенна. Чтобы она превысила 50%, достаточно провести 4404 розыгрыша — в случае Болгарской лотереи, на это потребуется меньше 43 лет. Совпадение розыгрышей в лотереях не такая уж редкость. Например, в 2010-м в ходе двух тиражей национальной лотереи Израиля, 21 сентября и 16 октября, выигрышными были одни и те же числа.