Математические методы планирования экспериментов - Экономико-математическое моделирование реферат
Главная
Экономико-математическое моделирование
Математические методы планирования экспериментов
Общие сведения о планировании эксперимента. Анализ методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков. Положения о планировании второго порядка. Ортогональные и рототабельные центральные композиционные планы второго порядка.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с .
На практике по результатам эксперимента производится обработка дан\ных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов , и данный полином заменяется уравнением вида:
которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа). В этом выражении означает модельное, т.е. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, т.е.
В регрессионной модели члены второй степени , характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени. На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью [1].
Эксперимент можно проводить по-разному. В случае, когда исследователь наблюдает за каким-то неуправляемым процессом, не вмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки интуитивно, на основании каких-то привходящих обстоятельств, эксперимент считают пассивным. В настоящее время пассивный эксперимент считается неэффективным.
Гораздо более продуктивно проводится эксперимент, когда исследователь применяет статистические методы на всех этапах исследования, и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в процессе экспериментирования, при обработке результатов и после эксперимента, принимая решение о дальнейших действиях. Такой эксперимент считают активным, и он предполагает планирование эксперимента.
Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.
Под математической моделью планирования понимается наука о способах составления экономических экспериментальных данных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки данных и их использование для оптимизации производственных процессов, а также инженерных расчетов [3].
Описание поверхности отклика полиномами первого порядка часто оказывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка (6).
В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный эксперимент содержит слишком большое количество опытов, равное . Так, при их 27, а число коэффициентов , при число опытов 243, а коэффициентов 21. В связи с этим осуществление полного факторного эксперимента (ПФЭ) для планов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно.
Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т.д., описываемую в общем виде уравнением:
Для определений такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т.е. факторы и должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов и на рисунке 3, а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4, располагающихся в вершинах квадрата, как это делается для модели первого порядка. К ним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7, 8, расположенные на осях и с координатами и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению (5-9-6), (1-9-4) и т.д. располагалось три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении.
Рисунок 3 - Планы второго порядка при : а - ортогональный;
Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при ПФЭ , а при - дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо:
1) добавить (2 - k) звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства где - звездное плечо, или расстояние до звездной точки;
2) провести опытов при значениях факторов в центре плана.
При k факторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит:
При этом величина звездного плеча и число опытов в центре плана зависит от выбранного вида композиционного плана.
Композиционный план для и представлен в таблице 1.
Таблица 1 - Композиционный план второго порядка
Аналогичным образом строятся планы и для большего числа факторов [1].
В общем виде план, представленный в таблице 1, неортогонален так как
Приведем его к ортогональному виду , для чего введем новые переменные (преобразования для квадратичных эффектов):
Тогда уравнение регрессии будет записано как
Композиционные планы легко привести к ортогональным, выбирая звездное плечо . В таблице 2 приведено значение а для различного числа факторов k и числа опытов в центре плана .
Таблица 2 - Значения звездных плеч в ортогональных планах второго порядка
Звездное плечо при различном числе факторов k
В частности, ортогональный план второго порядка для и представлен в таблице 3, а его геометрическая интерпретация - на рисунке 3, а.
Представленный на рисунке 3, а и в таблице 3 прямоугольный (квадратный) план эксперимента для модели второго порядка работоспособен, хотя и несколько избыточен (9 опытов для определения 6 коэффициентов). Благодаря трем избыточным опытам, он позволяет усреднить случайные погрешности и оценить их характер.
Таблица 3 - Ортогональный центральный композиционный план второго порядка
В силу ортогональности матрицы планирования ее коэффициенты равны:
Уравнения регрессии определяются независимо один от другого по формулам.
Здесь i - номер столбца в матрице планирования; j - номер строки; суммы в знаменателях различны для линейных, квадратичных эффектов и взаимодействий.
Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии следующие:
Следует особо отметить, что коэффициенты уравнения регрессии, получаемые с помощью ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью (см. уравнение (14)), в то время как ортогональные планы первого порядка обеспечивают одинаковую точность коэффициентов, т.е. план, представленный в таблице 3, являющийся ортогональным и обеспечивающий независимость определения коэффициентов b, не является рототабельным.
В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов получаем уравнение регрессии в виде:
Для преобразования к обычной форме записи следует перейти от коэффициента к коэффициенту , используя выражение:
При этом дисперсия этого коэффициента рассчитывается по следующему соотношению:
В дальнейшем, зная дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность уравнения:
Значимость коэффициентов проверяется по критерию согласия Стьюдента . Коэффициент значим, если , где m - число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.
Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера
Уравнение значимо, если составлено таким образом F - отношение меньше теоретического: , где - число свободы дисперсии адекватности; - число степеней свободы дисперсии воспроизводимости; I - число коэффициентов в уравнении регрессии второго порядка, равное числу сочетаний из по 2, т.е.
Значение параметров при числе независимых факторов
Рассмотрим идею выбора значения звездного плеча на примере матрицы рототабельного планирования второго порядка для , представленной в таблице 5.
Размещение точек этого плана показано на рисунке 3, б. Для обеспечения рототабельности точек 5, 6, 7, 8 необходимо удалить их от центра плана на расстояние в раз большее, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 от осейи . В результате этого все точки плана (таблица 5) оказываются лежащими на окружности. Учитывая существенно большее влияние на функцию отклика случайной ошибки в точке 9, рекомендуется ставить в этой точке плана не один, а несколько дублирующих опытов (в данном случае опыты с 9 до 13) для усреднения полученных результатов и для осуществления статистического анализа результатов всего эксперимента в целом.
Таблица 5 - Рототабельный план второго порядка
Учитывая специфический характер рототабельного плана в общем виде, можно также получить формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии и их дисперсий:
Здесь - число опытов в центре плана; - число остальных опытов.
Матрица рототабельного планирования, оказывается неортогональной, так как:
Следовательно, если какой-либо из квадратичных эффектов оказался незначимые, то после его исключения коэффициенты уравнения регрессии необходимо пересчитать заново.
При использовании рототабельных планов второго порядка дисперсию воспроизводимости можно определить по опытам в центре плана. В связи с этим при проверке адекватности уравнения регрессии, полученного по рототабельному плану второго порядка, поступают следующим образом.
Находят остаточную сумму квадратов:
По опытам в центре плана определяют сумму квадратов воспроизводимости:
Далее находят сумму квадратов, характеризующих неадекватность , число степеней свободы которой
Проверяют значимость по критерию согласия Фишера:
Если модель второго порядка оказалась неадекватной, следует повторить эксперименты на меньшем интервале варьирования факторов или перенести центр плана в другую точку факторного пространства. В тех случаях, когда адекватность модели по-прежнему не достигается, рекомендуется перейти к планам третьего порядка [1].
1. Спирин Н.А., Лавров В.В. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента: конспект лекции Н.А. Спирина - Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ - УПИ, 2004.- 257 с.
2. Налимов В.Н. Логические основания планирования эксперимента: учебник Е.А. Шалыгина -2-е изд. - М.: Колос, 2001.
3. Планирование эксперимента - Режим доступа: URL: http://opds.sut.ru/electronic_manuals/pe/f053.htm
Модели оптимальных систем автоматического управления с объектами, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Моделирование объекта с передаточной функцией. Расчет стоимости разработки программы. Расчет освещения. дипломная работа [1,8 M], добавлен 24.04.2013
Понятие планирования эксперимента, его стадии и этапы развития. Математическое планирование факторного эксперимента в научных исследованиях, порядок и правила представления результатов. Требования к факторам и параметрам эксперимента, оценка ошибок. лекция [220,4 K], добавлен 13.11.2009
Разработка оптимального режима процесса получения максимального выхода химического вещества. Получение математической модели процесса с применением метода центральных композиционных ортогональных планов второго порядка. Исследование поверхности отклика. курсовая работа [104,3 K], добавлен 20.07.2012
Сущность и особенности планирования эксперимента, кодирование исходных факторов. Составление плана эксперимента для определения зависимости концентрации меди от расхода шихты, содержания кислорода в дутье. Выбор математической модели объекта исследования. курсовая работа [1,8 M], добавлен 11.12.2012
Этапы и проблемы эконометрических исследований. Параметры парной линейной регрессии. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Расчет коэффициентов автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на потребление. контрольная работа [60,3 K], добавлен 05.01.2011
Характеристика состояния акций второго эшелона рынка нефтяной отрасли. Рассмотрение подходов ученых к определению сущности поведения участников фондового рынка. Исследование и анализ особенностей эконометрического поведения участников фондового рынка. курсовая работа [522,1 K], добавлен 13.10.2017
Двумерные автономные динамические системы. Классификация состояний равновесия динамических систем второго порядка. Определение автономной системы дифференциальных уравнений и матрицы линеаризации системы. Фазовый портрет системы Лотки–Вольтерра. лабораторная работа [1,1 M], добавлен 22.12.2012
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Математические методы планирования экспериментов реферат. Экономико-математическое моделирование.
Реферат по теме Право потребителя на информацию
Дипломная Работа На Тему Расчет Автомобильного Карбюраторного Двигателя
Реферат: Особенности учета, аудита и анализа кредитов коммерческого банка
Реферат: Электронные средства разведки и сигнализации
Реферат по теме Мудрость. Философия. Духовность
Реферат: Формы (источники) современного права
Учебно Курсовой Комбинат Белгород Сумская
Доклад: Урок-семінар у 8 класі з геометрії на тему "Перетин прямої і кола" /Укр./
Реферат: Порядок исчисления и вычета НДС при экспорте импорте товаров по договорам с резидентами Россий
Сочинение по теме Материалы по роману "Поднятая целина" М. Шолохова
Курсовая работа: Выявление индивидульно-психологических особенностей личности суицидентов через психолого-лингвистический анализ текстов предсмертных записок
Сочинение По Пьесе Гроза Островского Образ Катерины
Реферат по теме Семантика и функционирование аллюзивных имен собственных в англоязычных художественных и публицистич...
Эссе Мой Опыт Мои Достижения
Сочинение Тутунова Зима
Реферат: Классическая школа и ее основные теоретические положения
Реферат по теме Ключевский Василий Осипович
Как Писать Сочинение Миниатюру
Польза Химии Реферат
Реферат: Традиционное понимание проблем власти и государства в шиизме
Международные суды - Государство и право контрольная работа
Туризм в Іспанії - Спорт и туризм реферат
Символізм як мистецький напрямок - Литература курсовая работа