Математическая невозможность демократии — 1

Ранее мы говорили о парадоксальных примерах проявления нетранзитивных отношений превосходства. Ещё одним таким важным и ярким примером является демократическая избирательная система голосования.

Избирательная система — это способ определения общественных предпочтений, точнее говоря, способ агрегирования индивидуальных предпочтений в предпочтения общественные. Выражаясь математически, избирательная система — это такая функция, которая берёт на вход предпочтения отдельных граждан (относительно кандидатов), а на выходе выдаёт предпочтения общества в целом.

Ещё в 1785 г. Жан Николя де Кондорсе, французский философ, математик и политический деятель, описал возможность нетранзитивности (то есть фактически — противоречивости) результата голосования, коллективного выбора избирателей при транзитивности выбора каждого избирателя в случае трёх и более вариантов выбора.

Рассмотрим модельный пример. Пусть имеются 3 кандидата: А, В и С. Как показали итоги выборов, 2/3 избирателей отдали свои предпочтения А перед В, и 2/3 избирателей отдали свои предпочтения В перед С. Означает ли это, что большинство избирателей отдаст предпочтение А перед С?

Отрицательный ответ к задаче станет понятен, если задать, например, следующее распределение голосов:

Если результат голосования определять с помощью попарного сравнения результатов, то он будет зависеть от порядка постановки альтернатив на голосование. Что открывает огромные возможности для манипулирования результатом.

Все известные правила «демократического» голосования имеют существенные недостатки. Возникает вопрос: возможна ли, хотя бы теоретически, идеальная («справедливая», приемлемая для всех избирателей) избирательная система? Для ответа нужно явно и недвусмысленно указать необходимые требования к такой системе. Американский математик Кеннет Эрроу (Kenneth Arrow) сформулировал эти требования в виде следующих четырёх аксиом:

1.    Универсальность (какими бы ни были предпочтения граждан, избирательная система должна выдавать упорядоченный список кандидатов);

2.    Единогласие (если все избиратели считают, что кандидат А лучше кандидата В, то также должно быть и в общественном предпочтении);

3.    Независимость предпочтений от посторонних альтернатив (кандидаты-спойлеры не должны менять относительную предпочтительность остальных кандидатов);

4.    Отсутствие диктатора (не существует такого избирателя, который мог бы навязать свою волю всему электорату).

В 1951 г. Эрроу доказал, что эта система аксиом противоречива для более двух кандидатов и более одного избирателя, за что в 1972 г. получил Нобелевскую премию по экономике. Иначе говоря, идеальная демократическая избирательная система невозможна даже теоретически. Особенно печально для «демократов» выглядит тот факт, что, отказавшись от четвёртой аксиомы, мы получим логически непротиворечивую систему требований. А это с полным основанием можно трактовать так: демократия — скрытая форма диктатуры.

Само доказательство технически несложно, и мы можем разобрать его основные идеи.

Пусть имеются конечные множества: Е («электорат») и С («кандидаты»). Каждый из избирателей имеет относительно любого из кандидатов определённое мнение, выражаемое в предпочтениях одних кандидатов по сравнению с другими, т. е. избиратели ранжируют (упорядочивают) множество кандидатов («альтернатив») C — создают свой профиль предпочтений. Отношение предпочтения избирателем е кандидата а по сравнению с кандидатом b будем записывать так:  

е: a ≻ b.

Определённое нами отношение предпочтения для каждого избирателя обладает свойством транзитивности:

(е: a ≻ b) & (е: b ≻ c)  ⇒  (е: a ≻ c).

Коалицию избирателей D (D ⊆ E) назовём решающей для кандидатов a, b, если

(D: a ≻ b) & (E ∖ D: b ≻ a)  ⇒  (E: a ≻ b).

Другими словами, если избиратели из D считают, что кандидат a лучше b, а все остальные избиратели придерживаются противоположного мнения, то в итоговом ранжировании будет так, как решили члены коалиции D.

В случае, когда это соотношение выполняется для любых кандидатов, коалицию D назовём просто — решающей.

Заметим, что решающая коалиция, в силу аксиомы Единогласия, во-первых, существует (например, таковым является всё множество E) и, во-вторых, не может быть пустой (если никто не ставит a выше b, то и в общественном предпочтении такого быть не может).

Переходя непосредственно к доказательству, обозначим M минимальную по количеству избирателей решающую коалицию и покажем, что:

           i.    Минимальная решающая коалиция M состоит из одного избирателя d.

         ii.    { d } — решающая коалиция.

       iii.    Избиратель d — диктатор.

i. Минимальная решающая коалиция M состоит из одного избирателя d.

Пусть коалиция M является минимальной решающей относительно кандидатов a, b и избиратель d ∈ M. Покажем, что либо коалиция {d}, либо коалиция M ∖ {d} являются решающими и, значит (ввиду минимальности M), M = {d}. Для этого рассмотрим следующие профили предпочтений:

    {d}:      a ≻ b ≻ c,

M ∖ {d}:  c ≻ a ≻ b,

E ∖ M:      b ≻ c ≻ a.

 То­гда в об­ще­ствен­ном пред­по­чте­нии E: a ≻ b, по­сколь­ку так вы­ска­за­лись все чле­ны M, а осталь­ные из­би­ра­те­ли — на­о­бо­рот, и рас­по­ло­же­ние кан­ди­да­та c по ак­сио­ме Неза­ви­си­мо­сти ни­как на это не вли­я­ет.

Да­лее, мо­гут быть две воз­мож­но­сти:

·       E: b ≻ c, тогда, в силу E: a ≻ b, выводим (транзитивность), что E: a ≻ c. Это значит, что коалиция {d} — решающая для a, c;

·       E: c ≻ b, тогда коалиция M ∖ {d} — решающая, что противоречит минимальности M.

ii. {d} — решающая коалиция. Рассмотрим профили

   {d}:      a ≻ b ≻ x,

E ∖ {d}:  b ≻ x ≻ a.

Поскольку {d} — решающая коалиция, то E: a ≻ b, и, в соответствии с аксиомой Единогласия E: b ≻ x, следовательно (транзитивность), E: a ≻ x. В силу Независимости полученный результат не зависит от b и, поэтому, справедлив при произвольном x. Не трудно аналогичным образом построить соответствующие профили так, чтобы для произвольного кандидата y было E: y ≻ a. Значит, если {d} образует решающую коалицию для какой-либо пары, то эта одноэлементная коалиция будет решающей и для любой пары, в которой один из её кандидатов заменён другим. Отсюда уже прямо вытекает, что {d} — решающая коалиция.

Таким образом, избиратель d может навязать электорату своё мнение, если все остальные избиратели голосуют в точности наоборот. Для доказательства того, что d является диктатором, теперь достаточно показать его независимость от мнения остальных избирателей, т.е., что мнение d относительно ранжирования, скажем, кандидатов a и b всегда будет достаточным для того, чтобы и в коллективном мнении было так же.

iii. Избиратель d — диктатор.

Пусть избиратели, голосующие так же (относительно предпочтения a по сравнению с b), как d, образуют множество P, а все несогласные — множество Q. Множества P, Q могут быть пустыми. Рассмотрим профили предпочтений:

 {d}:  a ≻ c ≻ b,

  P:    c ≻ a ≻ b,

  Q:   c ≻ b ≻ a.

Тогда в коллективном предпочтении E: a ≻ c в силу того, что {d} — решающая коалиция, и c ≻ b (Единогласие). Поэтому (транзитивность) E: a ≻ b — именно так, как высказался d. Следовательно, d — диктатор.

Теорема Эрроу полностью доказана.

Таким образом, математически обосновано, что индивидуальные предпочтения невозможно перевести в коллективные, а требования разумности и равенства одновременно невыполнимы.

Теорему Эрроу обычно называют теоремой «о невозможности демократии» или «о неизбежности диктатуры».

Математическая эссенция