Логика

014. ЛОГИКА, прежде всего, пропозициональная логика — нижний уровень всякой символьной логики — исчисление ВЫСКАЗЫВАНИЙ, которое не учитывает внутреннюю структуру высказывания, но рассматривает препозиции между высказываниями, ограничиваясь союзами. Для анализа препозиций между пропозициями (высказываниями) структуры таких композиций используется формализованный язык (пропозициональный язык), который описывается алфавитом, содержащим переменные, союзы и вспомогательные символы. Индуктивно определяется формула как переменная, как отрицание формулы и как препозиции между формулами. При этом другие формулы исключаются. Говорят о длине формулы и существует конвенция о скобках. Множество всех формул и есть язык. Формализацию определяют как трансляцию высказываний естественного языка в язык пропозициональной логики. Обратный процесс подстановки вместо пропозициональных формул конкретных высказываний называют интерпретацией. Один из подходов описания такой логики — аксиоматический, в котором вводится набор аксиом (тавтологий), считающихся истинными, и правила вывода истинных формул. Установление истинных значений формул является целью.

Логика предикатов расширяет логику пропозиций, в качестве которых рассматриваются переменные (формулы), предикаты (кортежи «истинных» пропозиции) и функции. Вводятся кванторы общности и существования. Расширен алфавит до сигнатуры, состоящей из функциональных и предикатных символов. Вводится понятие арности для аргументов, терма, атома, связной и замкнутой формулы. Наконец, понятие теории как множество формул и модель как интерпретация теории. В качестве основных свойств логики утверждается полнота и непротиворечивость, а сама логика интерпретируется как модель рассуждений. Есть понятие невыполнимости формул для свойства «компактности» логики. Устанавливается эквивалентность «доказательства» с «общезначимостью».

Логика второго порядка расширяет логику предикатов. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов. Такие логики считают классическими и наряду с ними существует целый набор неклассических логик и как минимум пара металогик *.

Зачем это мета-описание? Чтобы задать вопрос о приложениях институционально развитой дисциплины. Для обоснования математики? Формализация математических моделей успешно происходит без результатов логики, а всё обоснование компьютерных моделей сводится к булевой алгебре. Эта аннотация - эпитафия логическим конструкциям, которые становятся уделом, так же спасающей себя, философии. В конечном итоге, компьютерные языки, модели вычислительныз процессов, на худой конец, фомальные грамматики, являются итогом всего этого символьного моделирования, включая даже математику. Но множество таких языков инициирует новую искусственную проблему дополнительных коммутативных протоколов. Основным позитивным результатом всего этого развития является то, что вычислительный процесс замещает концепцию доказательства, а программа как процедура или функция - это набор инструкций или алгоритм, образующий и трансформирующий структуру. «В сухом остатке» - СТРУКТУРЫ ДАННЫХ И АЛГОРИТМЫ, которые в свою очередь, суть МОДЕЛИ. Математика — это «регулярная грамматика» и является проекцией ЛЕКСИКИ естественного языка, для которой ещё никто не рассматривал формализацию или семантику всех используемых препозиций (отношений для моделирования внутренней структуры пропозиций), ограничиваясь союзами и кванторами. На практике, все препозиции реализуются на функциональном или процессуальном уровне, но явно не описываются в формальных конструкциях, теряются на уровне абстрагирования семантических компонент, создавая дополнительные проблемы для концептуальной оптимизации. Если в качестве результата вычислительного процесса рассматривать структуры значений, как делается при трансляции, интерпретации или поиске, без дополнительной оценки их «истинности», то нет смысла в сужении концепции предикации. И только при этом условии грамматики и логики обобщаются до универсальных формализаций. Все можно обобщить до формул как переменных, значениями которых могут быть и предикации, и функции, которые также могут быть выражены как предикации.