Les trous négligés d'une traînée
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Les trous négligés d'une traînée
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Traînée subie par les corps en mouvement
Pourquoi un nageur a-t-il autant de difficultés à avancer dans l’eau ? Pourquoi les grands navires consomment-ils tant d’énergie pour vaincre la résistance de l’eau ? Et dans l’air si léger, comment les oiseaux, les cyclistes, les automobiles et les avions peuvent-ils vaincre cette résistance à l’avancement nommée traînée. C’est également cette résistance due à la viscosité de l’air environnant qui empêche les gouttes de brouillard et autres petites particules de tomber (on parle alors de traînée visqueuse). Pour les véhicules ou autres objets de grande taille, la traînée est dite turbulente : elle est liée à la perte d’énergie due à la mise en mouvement du fluide déplacé. Quant aux navires de surface, ils perdent aussi de l’énergie par un autre mécanisme, lié à la gravité cette fois, puisque des vagues sont engendrées par l’étrave qui soulève l’eau dont le navire prend la place.
Imaginons un objet plat, aussi mince qu’une lame de rasoir, mis en mouvement dans son plan au sein d’un fluide visqueux comme du miel ou de l’huile (Figure 1). Même à faible vitesse, un effort doit être fourni pour faire avancer cette plaque contre une résistance due au frottement du fluide . Localement, chaque unité de surface de cette plaque est en effet soumise à une force tangentielle qui s’oppose au mouvement. Cette force de frottement (ou friction) est proportionnelle à la viscosité du fluide (lire l’article Fluides et solides) et au gradient de vitesse présent au voisinage immédiat de la paroi.
A l’échelle de la plaque toute entière, c’est la résultante de ces forces locales qui constitue la force de résistance à l’avancement, ou traînée, que l’on peut qualifier de visqueuse tant que d’autres contributions au frottement ne viennent pas masquer cet effet. C’est le cas d’une cuillère qui tombe dans le miel, ou d’une carène de bateau lisse et effilée en mouvement lent. L’écoulement est alors dit laminaire , ce qui signifie que chaque particule fluide suit sa propre ligne de courant , sans empiéter sur celles des voisines. Ce comportement se distingue du régime turbulent que nous discuterons plus loin.
La traînée visqueuse d’une petite sphère est donnée par la formule de Stokes [1] selon laquelle la traînée F est proportionnelle au diamètre d de la sphère et à sa vitesse U par rapport au fluide environnant, F = 3π µdU . La même loi s’applique ainsi pour le miel, l’eau, l’air, ou tout autre fluide ordinaire (dit newtonien ) en prenant en compte sa viscosité dynamique µ . Le même type de formule s’applique en fait à tout objet petit en mouvement lent, le coefficient 3π étant le seul élément spécifique à la forme sphérique. Comme on l’attend pour un frottement, la traînée est toujours une force alignée avec la vitesse de l’objet, et de sens opposé .
Dans le vide, sous l’effet de la gravité, tout objet, plomb ou plume, chute avec le même mouvement uniformément accéléré (lire l’article Les lois de la dynamique ). Dans un fluide comme l’eau ou l’air, il est aussi soumis à la poussée d’Archimède , qui n’est autre que la résultante des forces de p ression hydrostatique (lire l’article Poussée d’Archimède et portance ). Cette force est égale et opposée au poids du fluide déplacé, de sorte que l’objet tombera avec une accélération réduite, ou s’élèvera, selon qu’il est plus lourd ou plus léger que le fluide ambiant.
Mais l’objet n’accélère pas indéfiniment car la traînée augmente avec sa vitesse, jusqu’à compenser exactement la force motrice , résultante de son poids et de la poussée d’Archimède. La force totale subie par cet objet est alors nulle, ainsi que son accélération conformément à la loi de la dynamique. La vitesse devenue constante est appelée la vitesse limite de chute. Elle est très vite atteinte pour un objet petit et léger que nous considérons ici. Notons qu’elle peut aller vers le haut pour un objet plus léger que le fluide ambiant, comme une bulle ou une goutte d’huile dans l’eau.
On peut facilement calculer la vitesse limite de chute grâce à la formule de Stokes donnée plus haut. Le poids est le produit de l’accélération de la gravité g ≃ 9,81 m.s -2 par le volume de la sphère, (1/6)π d 3 , et par la masse volumique ρ c du corps. La poussée d’Archimède est donnée par la même formule, en utilisant la masse volumique de l’objet ρ f du fluide au lieu de celle du corps. En annulant la somme des trois forces (voir Figure 3), on en déduit que la vitesse limite de chute est égale à (1/18) g(ρ c -ρ f )d 2 / µ . Elle est d’autant plus faible que la viscosité µ est grande, et elle augmente comme le carré du diamètre d . C’est pourquoi les petits objets restent longtemps en suspension (voir le Focus Le monde des petits objets en suspension ).
A titre d’exemple, considérons une gouttelette de brouillard , qui possède un diamètre de l’ordre de 20 µm (0,02 mm). Tenant compte de la masse volumique de l’eau (1000 kg.m -3 ) et de la viscosité de l’air ( µ = 2 10 -5 kg.s -1 .m -1 ), la vitesse limite de chute de cette gouttelette est de l’ordre de 1 cm.s -1 . Or le moindre souffle de l’air environnant possède une vitesse bien supérieure. Dans ces conditions, la gouttelette reste donc en suspension et se déplace au gré du vent. Il en est de même des grains de pollen et de toutes les particules de taille inférieure à une vingtaine de microns. Ceci explique la longue durée des pics de pollution dans l’air calme d’un bel anticyclone.
Le mécanisme qui provoque la disparition du brouillard, quand elle se produit, n’est donc pas sa chute sur le sol, mais son évaporation consécutive à l’ensoleillement, laquelle peut s’accompagner d’une condensation sur le sol demeuré froid, sous forme de rosée ou de givre .
Dans un nuage suffisamment chargé en eau, la coalescence des gouttelettes produit des gouttes de plus en plus grosses. Lorsque leur diamètre devient de l’ordre du millimètre, elles tombent en formant la pluie . Si l’écoulement de l’air demeurait laminaire une goutte de diamètre d = 2 mm, 100 fois plus grosse qu’une fine gouttelette de brouillard, aurait une vitesse de chute 10 000 fois plus grande et pourrait atteindre 100 m.s -1 (360 km/h). En réalité, comme nous le verrons plus loin, la traînée devient alors turbulente , ce qui augmente la friction et diminue la vitesse de chute libre.
Lorsqu’un corps de taille assez grande se déplace dans un fluide aussi peu visqueux que l’air ou l’eau, l’écoulement devient instable . Cette instabilité est à l’origine du mouvement erratique d’une feuille morte. A plus grande vitesse, un sillage de tourbillons désordonnés se forme à l’aval de l’objet, comme on peut le voir à l’arrière d’un bateau : c’est le sillage turbulent (voir le Focus Le sillage turbulent ).
C’est au physicien et ingénieur Irlandais Osborne Reynolds [2] qu’est due la première caractérisation scientifique du concept de turbulence. Son nom est attribué à l’un des rapports les plus importants en mécanique des fluides, appelé nombre de Reynolds . Ce nombre, noté Re, est égal au rapport du temps d’action de la viscosité (que l’on peut estimer à d 2 /ν , où ν est la viscosité cinématique [3] ) au temps de transit du fluide près de l’obstacle (voisin de d/U) . Son expression est donc Re = Ud / ν . La turbulence apparaît lorsque ce nombre de Reynolds dépasse une valeur critique, toujours très supérieure à l’unité, qui dépend de l’écoulement considéré.
Bien que la turbulence soit un phénomène très complexe, dont la modélisation reste problématique, le nombre de Reynolds a le grand mérite de fournir des règles de similitude entre des écoulements autour d’objets de formes géométriques identiques mais de différentes tailles, et avec des fluides de différentes viscosités. On peut par exemple prédire que dans un même fluide, le sillage d’un objet agrandi d’un facteur 10 deviendra turbulent pour une vitesse 10 fois plus petite. En pratique, les sillages d’objets assez grands, comme les ballons, les voitures ou les bateaux, sont toujours turbulents.
Cette similitude de Reynolds permet notamment d’exprimer la traînée turbulente selon l’expression F = (1/2)C X S ρ f U 2 , où C X est appelé coefficient de traînée . Cette force est proportionnelle à l’aire S de la section transverse maximale balayée par le corps, appelée aussi maître couple [4] , ainsi qu’aux grandeurs déjà rencontrées ρ f et U . Le coefficient de trainée C X dépend de la forme de l’objet , mais aussi du nombre de Reynolds.
On peut comprendre ce comportement en estimant l’énergie à dépenser pour mettre en mouvement la colonne de fluide que le corps balaye dans son mouvement [5] . Une mise en mouvement de toute la section balayée correspond ainsi à Cx ≃ 1, c’est le cas du disque transverse. Un objet mieux profilé écarte le fluide de façon moins violente, réduisant la section du sillage turbulent. Les voitures de série les plus performantes atteignent Cx ≃ 0,25. C’est en fait le produit C X S qui contrôle la traînée, que l’on calcule alors facilement en multipliant cette aire effective par la masse volumique du fluide et le carré de la vitesse.
La présence d’une traînée impose une perte d’énergie, égale au travail de cette force. La puissance correspondante, ou énergie perdue par unité de temps, s’obtient en multipliant la traînée par la vitesse de déplacement. Puisque la force est proportionnelle à U 2 , la puissance consommée est proportionnelle à U 3 . Elle augmente donc considérablement avec la vitesse.
Cette puissance est convertie en énergie cinétique du fluide (celle de l’ensemble des fluctuations turbulentes) et finit par se dissiper en chaleur par l’action de la viscosité. L’élévation de température qui en résulte est en général imperceptible car la chaleur se dilue dans une grande masse de fluide. Cependant pour une météorite ou un vaisseau spatial entrant dans l’atmosphère à très grande vitesse, l’échauffement devient tel qu’il peut porter la température externe de l’objet à des milliers de degrés et conduire à sa destruction.
Tandis que la traînée d’un objet lent est contrôlée par la viscosité, celle d’un objet rapide est due principalement à la force de pression induite par l’écoulement, appelée pression dynamique . Comme nous l’avons vu, cette pression permet d’évacuer latéralement le fluide environnant de l’amont vers l’aval, pour que le corps en mouvement puisse prendre sa place. Cette différence de pression engendre une poussée globale sur le corps, qui s’oppose à son mouvement.
A grande vitesse l’effet de la viscosité devient négligeable, et cette surpression au point d’arrêt peut être estimée à ρ f U 2 /2 en utilisant la relation de Bernouilli [6] . En multipliant cette surpression par l’aire transverse S , on obtient la loi de traînée turbulente énoncée plus haut. En réalité, c’est l’aire transverse du sillage turbulent, de l’ordre de C x S plutôt que l’aire S de l’objet lui-même, qui contrôle la traînée.
Dans le cas d’un corps asymétrique, comme une aile d’avion ou une voile, une autre force de pression dynamique apparaît, perpendiculaire à la vitesse, que l’on appelle portance (lire l’article Poussée d’Archimède et portance ). Elle s’ajoute à la traînée qui, elle, est alignée avec la vitesse et de sens opposé. Ces deux forces sont proportionnelles à la masse volumique du fluide et au carré de la vitesse, et leur rapport est donc constant. Comme nous le verrons plus loin celui-ci caractérise la capacité d’un avion à planer : c’est ce qu’on appelle sa finesse .
Dans le cas du brouillard et de la pluie, il est facile d’estimer le nombre de Reynolds, connaissant la viscosité cinématique de l’air, ν = 1,5 10 -5 m 2 s -1 . Pour la gouttelette de brouillard, avec d = 20×10 -6 m (ou 0,02 mm) et U = 10 -2 m.s -1 , on trouve Re ≃ 10 -2 , très clairement dans le régime laminaire. En revanche pour la goutte de diamètre d = 2 mm avec U = 100 m.s -1 , on obtient Re = 13 000, dans le régime turbulent. Mais cette vitesse limite de chute est surestimée puisqu’elle ne tient pas compte de la friction turbulente. Le poids de la goutte est (1/6)π gρ f d 3 = 4 10 -5 N, en l’égalisant avec la traînée turbulente basée sur C X = 0,5, on parvient à une vitesse de 6 m.s- 1 , ce qui donne Re ≃ 800, au début du régime turbulent.
Dans le cas d’un homme en chute libre, de masse M = 80 kg, soit un poids de 800 N, la traînée peut être estimée avec une section C X S = 1 m 2 , ce qui donne une vitesse de 50 m.s -1 , soit 180 km/h. Il faut environ 5 s pour atteindre cette vitesse limite, ce qui représente une hauteur de chute (1/2) g t 2 ≃ 125 m. La vitesse limite est ainsi rapidement atteinte. Le sauteur appuie alors son poids sur l’air et ne ressent plus d’accélération. Une fois le parachute déployé, la vitesse limite est fortement réduite en raison de sa grande aire transverse C X S qui augmente considérablement la traînée, d’un facteur 100 environ. La même traînée est ainsi obtenue pour une vitesse 10 fois plus faible (car proportionnelle à U 2 ), conduisant à une vitesse limite 10 fois plus faible, de l’ordre de 5 m.s -1 .
Nous avons vu que la traînée turbulente est proportionnelle à la masse volumique du fluide. A une altitude de 34 000 m, la masse volumique ρ f de l’air est 100 fois plus faible que près du sol ; la même traînée est alors obtenue pour une vitesse 10 fois plus grande. La vitesse limite de chute, pour laquelle la traînée équilibre le poids, est donc 10 fois plus grande, soit 500 m.s -1 . Lors de son saut en chute libre de 2012, depuis l’altitude 39 000 m, le parachutiste Félix Baumgartner a en effet approché cette vitesse [7] , atteignant 372 m.s -1 (1 340 km/h), après 45 s de chute, à une altitude voisine de 30 000 m.
A l’opposé, la traînée est beaucoup plus grande dans l’eau, 800 fois plus dense que l’air à basse altitude, ce qui explique qu’un objet solide tombe beaucoup plus lentement que dans l’air (la poussée d’Archimède ralentit aussi la chute, et l’annule même pour un objet qui flotte, mais elle joue un rôle plus limité que la traînée pour un objet dense tel qu’une pierre).
Cet effet de la masse volumique explique aussi qu’un cycliste puisse atteindre une vitesse de 40 km/h, alors que les bons nageurs dépassent rarement 4 km/h. Ce facteur 10 en vitesse se traduit par un facteur 1 000 en puissance dépensée (nous avons vu qu’elle augmente comme U 3 ). Ce facteur est à peu près compensé par le rapport des densités entre l’air et l’eau, si bien que la puissance dépensée est à peu près la même dans les deux cas.
Un autre effet vient freiner la nage ou la marche des navires, c’est la trainée d’onde , ou trainée gravitaire . La pression à la pointe de l’étrave exerce en effet une double action. Comme nous l’avons vu, elle écarte sur les côtés l’eau située à l’amont dont le navire va prendre la place. Mais une grande partie de cette eau est aussi soulevée au-dessus de la surface libre par l’étrave et retombe de part et d’autre du navire. L’énergie potentielle acquise lors du soulèvement (Figure 6) se transforme en énergie cinétique pendant sa chute, laquelle se prolonge au-dessous de la surface d’équilibre de l’eau. Ensuite, comme un pendule, cette eau oscille, montant et descendant, tout en s’écartant du navire. Ainsi sont engendrées les vagues que l’on voit sur les côtés des navires aussi bien que sur ceux d’un cygne en mouvement lent sur l’eau calme d’un lac (Figure 7). Cette traînée gravitaire transfère aux vagues une partie de l’énergie consommée par le navire. Elle est contrôlée par la gravité.
Nous avons vu que les traînées visqueuse et turbulente dépendent du nombre de Reynolds (Figure 5). La traînée gravitaire est quant à elle contrôlée par un autre paramètre, appelé nombre de Froude [8] , qui s’exprime comme Fr = U /(gl) 1/2 où l est la longueur de l’objet en mouvement. L’expérience montre que cette traînée augmente considérablement lorsque le nombre de Froude approche de l’unité. La longueur d’onde des vagues produites (distance entre deux crêtes successives) est alors proche de la longueur du bateau [9] . Celui-ci dépense une énergie considérable pour monter sur sa propre vague, au lieu de simplement soulever l’eau du voisinage.
Aussi petite soit-elle, la traînée freine le mouvement. Celui-ci ne peut donc être entretenu que si une force motrice la compense. S’il existe une différence entre la force motrice et la traînée, le corps accélère ou ralentit, suivant que cette différence est positive ou négative. Ainsi dans le cas de la chute libre discuté plus haut, la gravité accélère le corps jusqu’à ce que la traînée compense exactement le poids.
Tout mouvement horizontal est quant à lui régulièrement ralenti par la traînée en l’absence de force motrice. La vitesse horizontale des balles et ballons diminue ainsi le long de leur trajectoire. Leur valeur maximale est imposée par le choc initial (environ 260 km/h pour une balle de tennis ou un ballon de football) et la longueur de la trajectoire dépend alors de la traînée. Ainsi, pour une balle de golf, le record de vitesse obtenu par le champion du monde Jason Zuback est de 320 km/h ; la longueur totale de la trajectoire fut alors de 400 m. Elle aurait pu atteindre le double en l’absence de traînée, pour un mouvement purement balistique soumis à la seule pesanteur.
Un cycliste , même sur une route horizontale et sans vent contraire, doit ainsi pédaler pour vaincre la résistance à son avancement. L‘aire transverse de son sillage C X S est comprise entre 0,2 et 0,4 m 2 selon sa position sur le vélo, plus ou moins redressée [10] . Ainsi pour une vitesse de 15 m/s (54 km/h), la traînée sera entre 27 et 54 N, et la puissance à fournir par le cycliste pour la combattre (obtenue en multipliant cette force par la vitesse) est de 400 à 800 W. Il faut ajouter à cela la puissance dépensée pour lutter contre les frottements mécaniques de sa machine, à peu près indépendants de la vitesse. Seuls des champions exceptionnels peuvent maintenir une puissance [11] de 400 W au-delà de quelques minutes (en comparaison la puissance moyenne fournie par un cheval est estimée à 735 W, valeur du cheval-vapeur). Ceci explique que le record de l’heure cycliste soit justement de 54 km (Bradley Wiggins en 2015). Limiter sa vitesse à 12 m/s (43 km/h) nécessite une puissance moitié, plus accessible.
Pour une voiture de série bien profilée, le produit C X S atteint une valeur d’environ 0,6 m 2 . A une vitesse de 28 m.s -1 (100 km/h), cela conduit à une traînée de 280 N, soit une puissance dépensée de 8 kW pour vaincre la seule traînée aérodynamique. Ceci demeure modeste pour une voiture moyenne, de puissance typique 50 kW. En revanche, atteindre 200 km/h nécessite de combattre une traînée 4 fois plus forte. L’ énergie à dépenser pour un parcours donné, égale au produit de la force par le déplacement, est donc 4 fois plus grande. Puisque le déplacement se fait alors deux fois plus vite, la puissance nécessaire (soit l’énergie dépensée par unité de temps), est 8 fois plus grande, soit 64 kW au lieu de 8 kW pour compenser la seule traînée aérodynamique. Ceci n’est accessible qu’aux voitures de forte puissance.
Le rameur de l’image de couverture, tout en repoussant l’eau vers l’arrière avec ses pagaies, lâche des tourbillons dont la trace sur la surface libre est clairement visible. Ici, c’est une force de traînée qui s’exerce sur les rames et pousse le bateau vers l’avant. Il en est de même sur les pédalos et les anciens bateaux à roue.
Dans le cas d’un avion , ce sont les hélices ou les réacteurs qui fournissent la force de propulsion . Chaque pale d’hélice est profilée comme une aile d’avion et est donc soumise à une portance dirigée perpendiculairement à sa vitesse de rotation. El
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