Les Couples
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Les couples en théorie des ensembles
Norbert Wiener fut le premier à remarquer (en 1914) que la notion de couple pouvait se définir en termes ensemblistes, et qu'il n'était donc pas nécessaire d'introduire cette notion comme une notion primitive, dès que l'on a la notion d'ensemble.
En théorie des ensembles, une fonction de couplage est une fonction (au sens intuitif, et non au sens de la théorie des ensembles dans laquelle on travaille) qui, à deux objets quelconques x et y, associe un objet noté (…
Norbert Wiener fut le premier à remarquer (en 1914) que la notion de couple pouvait se définir en termes ensemblistes, et qu'il n'était donc pas nécessaire d'introduire cette notion comme une notion primitive, dès que l'on a la notion d'ensemble.
En théorie des ensembles, une fonction de couplage est une fonction (au sens intuitif, et non au sens de la théorie des ensembles dans laquelle on travaille) qui, à deux objets quelconques x et y, associe un objet noté (x, y) vérifiant la propriété caractéristique des couples. Il existe de nombreuses fonctions de couplages. Habituellement, on utilise une représentation des couples due à Kazimierz Kuratowski (1921), voir ci-après. Ce choix est commode, mais n'a rien d'intrinsèque. En particulier toutes les propriétés mathématiques usuelles des couples se déduisent de la propriété caractéristique, le choix de la fonction de couplage ne doit avoir aucune conséquence.
À partir de la notion de couple, on doit pouvoir définir la notion de produit cartésien ; c'est-à-dire qu'on doit pouvoir créer, pour tous ensembles X et Y, l'ensemble X×Y de tous les couples dont le premier élément appartient à X et le second élément appartient à Y. Dans le cas des couples de Kuratowski, il est très facile de prouver qu'un tel ensemble existe. Cependant, on ne peut pas prouver en général qu'il existe pour toute fonction vérifiant la propriété caractéristique.
Pour éviter cet écueil et pouvoir parler de produit cartésien sans spécifier une notion de couple particulière, on doit définir la fonction de couplage comme étant une fonction :
• vérifiant la propriété caractéristique ;
• telle que pour tous ensembles X et Y, le produit cartésien X×Y est un ensemble.
Les couples de Kuratowski
Les couples sont définis en théorie des ensembles de la façon suivante :
Pour x et y deux ensembles quelconques, on pose (x, y) = { {x}, {x, y} }.
Pour cette définition on doit utiliser trois fois l'axiome de la paire - présent dans Z, mais redondant dans ZF, car démontrable à partir de l'axiome de l'ensemble des parties et du schéma d'axiomes de remplacement - d'abord pour former le singleton {x}, puis pour former la paire (ou singleton) {x, y}, et enfin pour former la paire (ou singleton) { {x}, {x, y} }.
On a bien défini la notion de couple de façon unique. Ensuite, en utilisant de façon répétée l'axiome d'extensionnalité, on montre facilement la propriété caractéristique :
Pour tous ensembles x, y, x' et y', si { {x}, {x, y} } = { {x'}, {x', y'} }, alors x = x' et y = y', ce dans une théorie des ensembles qui vérifie l'axiome de la paire et l'axiome d'extensionalité.
Il suffit d'utiliser la condition d'égalité pour deux paires (ou singletons), en distinguant soigneusement tous les cas possibles.
• Soit {x} = {x'} et {x, y} = {x', y'}. Alors (égalité des deux singletons) x = x'. D'autre part (égalité des deux paires), soit x = x' et y = y', ce que l'on veut démontrer, soit x = y' et y = x', mais comme par ailleurs x = x', les 4 éléments sont égaux d'où le résultat.
• Soit {x} = {x', y'} et {x, y} = {x'}. On déduit de ces deux égalités que les 4 éléments sont égaux, d'où le résultat.
Supposons donné un ensemble de couples C. Alors les composantes de C appartiennent à l'ensemble E obtenu par réunion de la réunion des éléments de C, et donc on peut définir les ensembles des premières et des secondes composantes de C par compréhension :
E=∪∪C ; A = {x ∈ E | ∃ y (x, y) ∈ C} ; B = {y ∈ E | ∃ x (x, y) ∈ C}.
Ceci est utile pour définir par exemple l'ensemble de définition ou l'ensemble image d'une relation ou d'une fonction vues comme des ensembles de couples (on utilise l'axiome de la réunion, et le schéma d'axiomes de compréhension dans Z, de remplacement dans ZF).
On montre également que, X et Y étant deux ensembles donnés, les couples de Kuratowski dont la première composante appartient à X et la seconde à Y forment un ensemble qui est, pour ce codage, le produit cartésien de X et Y (voir l'article produit cartésien).
D'autres fonctions de couplage
Wiener, en 1914, utilisait la définition suivante des couples : (x, y) = { { {x}, ∅ }, { {y} } }, qui est à peine plus compliquée que celle de Kuratowski.
On peut aussi utiliser (x, y) = {x, {x, y} } mais la preuve de la propriété caractéristique demande l'axiome de fondation. Cette définition a la propriété commode que le couple contient toujours deux éléments, x et {x, y} nécessairement distincts, ce qui n'est pas le cas des couples de Kuratowski ou de Wiener.
Le couple en théorie des catégories
Ici, la construction des concepts se fait en sens inverse : le couple est défini à partir du produit cartésien lequel est lui-même défini à partir de fonctions, la notion de fonction vue comme un morphisme se situant donc très en amont dans la théorie des catégories.
Il s'agit là cependant d'une vision particulière et relativement récente de la théorie des catégories, dont la base axiomatique n'est pas encore fixée ; dans la plupart des ouvrages les concepts de base utilisés pour les catégories, dont les couples et les fonctions, reposent sur la théorie des ensembles.
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