Лекция 4. Непрерывность функции

⚡⚡⚡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻

Лекция 4. Непрерывные функции.
Определение: Функция называется непрерывной в точке х0 , если для любого e>0 существует число D>0 такое, что для всех х с отрезка [x0 -e, x0 +e] и всех е > 0 выполняется неравенство |f(x)| < D.
Непрерывная функция в точке x0 называется непрерывной на отрезке [x0, x1], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.
Если функция непрерывна на отрезке, то она является непрерывной во всей области определения.
Теорема.
Понятие о производной функции в точке.
Определение производной.
Формула производной
Производная.
Правило дифференцирования
1. Производная функции в одной точке
2. Производные высших порядков
3. Производная сложной и обратной функции
4. Производная суммы и произведения функций
5. Производная обратной функции и ее применение
Решение задач на производные
Лекция 4. Непрерывны ли функции?
Точки разрыва
Лекции по теме «Производная».
Содержание

Понятие непрерывности функции.
Способы задания функций.
Необходимые условия непрерывности.
Достаточные условия непрерывной функции.
Точки разрыва.
Классификация точек разрыва.
Теорема Вейерштрасса.
Замечание.
При рассмотрении непрерывных функций в курсе математического анализа основное внимание уделяется доказательству теоремы Вейерштрэсса, которая в общем случае формулируется следующим образом:

нескольких переменных.
Понятие производной функций многих переменных
Для начала определим, что такое производная функции нескольких переменных и для чего она нужна.
Производная функции - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Если в качестве аргумента взять функцию, то в этом случае производная называется производной функции.
План лекции: 1. Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.
2. Если функция определена в некоторой точке [a,b], то ее непрерывность можно проверить на этой точке.
3. Если функция непрерывна на отрезке, то она непрерывна во всех его концах.
4. Если обе части уравнения (или неравенства) имеют конечный предел, то предел является пределом функции.
5. Если обе стороны уравнения (неравенства) ограничены, то их предел также ограничен.

и её производной.
1. Предельные свойства производной
1.1. Предел функции в точке.
В общем случае, если функция f(x) непрерывна в точке x0, то её предел в этой точке равен:
(2.1)
Так как с ростом x функция f(х) может принимать любые значения, то это число не определено, и мы можем принять его равным нулю, либо бесконечности.
Если f(x0) = 0, то говорят, что функция в данной точке имеет нуль.
На рисунке 1 показан график функции f(x), имеющей нуль в точке х = 1.
Рисунок 1
в точке и на интервале
В лекции рассматриваются свойства непрерывных функций в точке.
Рассмотрим функцию:
; . Если функция непрерывна в точке , то для любой из точек , , или , для которых выполняется равенство , можно записать: .
То есть для каждой из точек ( , , ) существует единственная точка , при которой выполняется равенство .
Следовательно, для любой точки существует единственная функция , для которой выполняется это равенство.
Определение.
Непрерывной на отрезке называется функция, которая на этом отрезке имеет непрерывные частные производные.
Рассмотрим частный случай непрерывной функции на отрезке [a, b].
Теорема.
Если функция f на отрезке непрерывна, то ее частные производные на данном отрезке имеют непрерывные частные произведения на данном отрезке:
Доказательство.

и ее свойства
1. Функция является непрерывной на множестве M, если для любого x из M выполняется условие:
1) если x и y принадлежит M и x < y, то f(x) < f(y);
2) если x и у принадлежат M и f(х) > f(у), то f(х)Ответы На Контрольной Работе По Физике
Нефтеперерабатывающий завод "Уфанефтехим" как источник загрязнения среды обитания
Представительные и исполнительные органы местного самоуправления