Le nombre parfait pour un gangbang
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Le nombre parfait pour un gangbang
Yvan Monka
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Un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres est parfait. Un diviseur propre est un diviseur autre que le nombre lui-même. Le premier nombre parfait est 6. En effet 1, 2 et 3 sont les diviseurs propres de 6 et 1+2+3=6. 28 est également un nombre parfait : 1+2+4+7+14=28.
Les nombres parfaits sont rares, il n’en existe que trois inférieurs à 1000 qui sont 6, 28 et 496.
Ensuite vient 8128, puis 33 550 336, 8 589 869 056, 137 438 691 328, 2 305 843 008 139 952 128 (découvert par Leonhard Euler ), 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176, …
Actuellement, 51 nombres parfaits sont connus. Le plus grands possède 12 640 858 chiffres et est égal à :
2 20 996 010 (2 20 996 011 -1).
Comme pour le plus grand nombre premier , c’est le projet GIMPS qui détient le record.
Dans le IXème livre des Eléments , Euclide d’Alexandrie (-320? ; -260?) expose une façon de générer des nombres parfaits :
"Lorsque la somme d’une suite de nombres doubles les uns des autres est un nombre premier , il suffit de multiplier ce nombre par le dernier terme de cette somme pour obtenir un nombre parfait."
1+ 2 = 3 qui est premier donc 2 x 3 =6 est parfait. 1+2+ 4 = 7 qui est premier donc 4 x 7 =28 est parfait. 1+2+4+8=15 n’est pas premier. 1+2+4+8+ 16 = 31 est premier donc 16 x 31 =496 est parfait.
En découle une formule qui porte aujourd’hui le nom de Formule d’Euclide : 2 p-1 (2 p - 1) est parfait si p et (2 p - 1) sont premiers.
Nous retrouvons la formulation donnée plus haut du 40ème nombre parfait.
Jadis les nombres parfaits étaient considérés comme supérieurs à tous les autres. On voyait en eux un rôle mystique. Citons Saint Augustin dans "La cité de Dieu" (420 après J.C.) :
"Six est un nombre parfait en lui même, non parce que Dieu a créé toutes choses en six jours, mais Dieu a créé toutes choses en six jours parce que ce nombre est parfait."
Les conjectures en rapport avec les nombres parfaits sont nombreuses : En mathématiques, on appelle conjecture, une règle qui n'a jamais été prouvée. On l’a vérifiée sur beaucoup d'exemples mais on n'est pas sûr qu'elle soit toujours vraie.
-Les nombres parfaits d’ Euclide sont tous pairs puisque l’un des facteurs est une puissance de 2. Mais rien ne prouve pour l’instant qu’il n’existe pas de nombres parfaits impairs. -Par ailleurs, il est aisé de constater que tous les nombres parfaits cités plus haut se terminent par 6 ou 28. -Un autre problème qui reste ouvert est la preuve de l’infinitude des nombres parfaits.
Le philosophe et mathématicien Nicomaque de Gérase (200 après J.C.) étudie les nombres parfaits en les comparant aux nombres déficients (nombre supérieur à la somme de ses diviseurs propres) et aux nombres abondants (nombre inférieur à la somme de ses diviseurs propres). Il trouve les quatre premiers nombres parfaits.
Voici comment il les définit dans son ouvrage « Arithmetica » :
« … il arrive que, de même que le beau et le parfait sont rares et se comptent aisément, tandis que le laid et le mauvais sont prolifiques, les nombres excédents et déficients sont en très grand nombre et en grand désordre ; leur découverte manque de toute logique. Au contraire, les nombres parfaits se comptent facilement et se succèdent dans un ordre convenable ; on n'en trouve qu'un seul parmi les unités, 6, un seul dans les dizaines, 28, un troisième assez loin dans les centaines, 496 ; quant au quatrième, dans le domaine des mille, il est voisin de dix mille, c'est 8 128. Ils ont un caractère commun, c'est de se terminer par un 6 ou par un 8, et ils sont tous invariablement pairs. »
Si les nombres parfaits sont rares, les nombres amiables ne le sont guère moins. Deux nombres sont amiables (on dit aussi amis) si la somme des diviseurs propres de l’un est égale à l’autre et réciproquement.
Le premier couple de nombres amiables (220 , 284) aurait été découvert par les pythagoriciens . Somme des diviseurs propres de 220 : 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 Somme des diviseurs propres de 284 : 1+2+4+71+142=220.
A ce sujet, on attribue à Pythagore une citation :
« Un ami est l’autre moi-même comme sont 220 et 284. »
Le second couple de nombres amiables fut découvert par Pierre de Fermat (1601 ; 1665), il s’agit de 17296 et 18416. René Descartes (1596 ; 1650) découvrit le troisième : 9437056 et 9363584.
Aujourd’hui plusieurs milliers de couples sont connus. Le tableau ci-dessous en présente les premiers.
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Inutile de se mentir : la taille du pénis est une question qui préoccupe de nombreux hommes. Messieurs, rassurez-vous ! Toutes les femmes ne cherchent pas la démesure. C'est en tout cas la conclusion d'une étude menée en 2015 par des scientifiques californiens, parue dans la revue scientifique Plos One .
Pour arriver à ce résultat, les scientifiques ont utilisé une méthode inédite . Ils ont suivi un groupe de 75 femmes en leur demandant de désigner la taille du pénis parfait parmi trente modèles d'ersatz en pastique. Résultat ? Les mensurations du pénis parfait seraient très exactement de 16 cm de longueur pour 12,7 cm de circonférence, en érection. Rappelons qu'en France, la longueur moyenne d'un pénis en érection est de 13,5 cm.
On ne va pas faire des chichis pour quelques centimètres. Mais ce que les scientifiques étaient loin d'imaginer, c'est que les préférences des cobayes changeaient en fonction du type de relation sentimentale entretenue avec le détenteur dudit pénis. Au cours de l'expérience, la majorité des femmes ont indiqué qu'elles préféraient que le sexe de leur mari soit plus petit que celui d'un partenaire d'un soir. Même si au final la différence ne tient véritablement qu'à un fil : 25 millimètres pour la longueur et 5 pour la circonférence, pour être précis.
La raison ? Les femmes opteraient plus facilement pour le confort physique d'un pénis plus petit quand la relation paraît stable dans le temps.
La taille de pénis est une source de préoccupation pour les trois-quarts des hommes. Une étude menée aux États-Unis a montré que, au repos, le pénis mesure en moyenne 9,16 cm pour atteindre la taille de 13,12 cm en érection. "En vérité, moins de 2% de la population a un pénis qui mesure plus de 20 cm", nous expliquait expliqué il y a quelques années le Dr Patrick Constancis, sexologue à Issy-les-Moulineaux.
On y pense peu mais, à l'instar des hommes avec leur pénis, certaines femmes ont un vagin plus grand que d'autres, soulignait également le médecin. On peut d'ailleurs le mesurer, comme pour un homme. "Si l'homme a un grand sexe et que sa partenaire a un petit vagin, cela va se traduire par des douleurs et il n'y a aura pas de jouissance, assurait le médecin. Et inversement, l'homme (ou la femme) ne sera pas suffisamment stimulé(e)."
Heureusement, l'amour ne se résume à une histoire de "gros" calibre. "La fonction érotique est fondamentale lors d'un rapport sexuel, indiquait le Dr Constancis. Les émotions, les sentiments, la tendresse." L'amour quoi !
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C++
// C++ program for the above approach
#include
using namespace std;
const int MAX = 100005;
// Function to check whether a number
// is perfect Number
bool isPerfect(long long int N)
{
// Stores sum of divisors
long long int sum = 1;
// Iterate over the range[2, sqrt(N)]
for (long long int i = 2; i * i <= N; i++) {
if (N % i == 0) {
if (i * i != N)
sum = sum + i + N / i;
else
sum = sum + i;
}
}
// If sum of divisors is equal to
// N, then N is a perfect number
if (sum == N && N != 1)
return true;
return false;
}
// Function to find count of perfect
// numbers in a given range
void Query(int arr[][2], int N)
{
// Stores the count of perfect Numbers
// upto a every number less than MAX
int prefix[MAX + 1] = { 0 };
// Iterate over the range [1, MAX]
for (int i = 2; i <= MAX; i++) {
prefix[i] = prefix[i - 1] + isPerfect(i);
}
// Traverse the array arr[]
for (int i = 0; i < N; i++) {
// Print the count of perfect numbers
// in the range [arr[i][0], arr[i][1]]
cout << prefix[arr[i][1]] - prefix[arr[i][0] - 1]
<< " ";
}
}
// Driver Code
int main()
{
int arr[][2]
= { { 1, 1000 }, { 1000, 2000 }, { 2000, 3000 } };
int N = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
Query(arr, N);
}
Java
// C++ program for the above approach
import java.util.*;
public class MyClass
{
static int MAX = 100005;
// Function to check whether a number
// is perfect Number
static int isPerfect(long N)
{
// Stores sum of divisors
long sum = 1;
// Iterate over the range[2, sqrt(N)]
for (long i = 2; i * i <= N; i++) {
if (N % i == 0) {
if (i * i != N)
sum = sum + i + N / i;
else
sum = sum + i;
}
}
// If sum of divisors is equal to
// N, then N is a perfect number
if (sum == N && N != 1)
return 1;
return 0;
}
// Function to find count of perfect
// numbers in a given range
static void Query(int arr[][], int N)
{
// Stores the count of perfect Numbers
// upto a every number less than MAX
int []prefix = new int [MAX + 1];
Arrays.fill(prefix,0);
// Iterate over the range [1, MAX]
for (int i = 2; i <= MAX; i++) {
prefix[i] = prefix[i - 1] + isPerfect(i);
}
// Traverse the array arr[]
for (int i = 0; i < N; i++)
{
// Print the count of perfect numbers
// in the range [arr[i][0], arr[i][1]]
System.out.print( prefix[arr[i][1]] - prefix[arr[i][0] - 1]+ " ");
}
}
// Driver Code
public static void main(String args[])
{
int [][]arr = { { 1, 1000 }, { 1000, 2000 }, { 2000, 3000 } };
int N = arr.length;
Query(arr, N);
}
}
// This code is contributed by SoumikMondal
Python3
# python 3 program for the above approach
MAX = 100005
from math import sqrt
# Function to check whether a number
# is perfect Number
def isPerfect(N):
# Stores sum of divisors
sum = 1
# Iterate over the range[2, sqrt(N)]
for i in range(2,int(sqrt(N))+1,1):
if (N % i == 0):
if (i * i != N):
sum = sum + i + N // i
else:
sum = sum + i
# If sum of divisors is equal to
# N, then N is a perfect number
if (sum == N and N != 1):
return True
return False
# Function to find count of perfect
# numbers in a given range
def Query(arr, N):
# Stores the count of perfect Numbers
# upto a every number less than MAX
prefix = [0 for i in range(MAX + 1)]
# Iterate over the range [1, MAX]
for i in range(2,MAX+1,1):
prefix[i] = prefix[i - 1] + isPerfect(i)
# Traverse the array arr[]
for i in range(N):
# Print the count of perfect numbers
# in the range [arr[i][0], arr[i][1]]
print(prefix[arr[i][1]] - prefix[arr[i][0] - 1],end= " ")
# Driver Code
if __name__ == '__main__':
arr = [[1, 1000],[1000, 2000],[2000, 3000]]
N = len(arr)
Query(arr, N)
# This code is contributed by SURENDRA_GANGWAR.
C#
// C# program for the above approach
using System;
public class MyClass {
static int MAX = 100005;
// Function to check whether a number
// is perfect Number
static int isPerfect(long N)
{
// Stores sum of divisors
long sum = 1;
// Iterate over the range[2, sqrt(N)]
for (long i = 2; i * i <= N; i++) {
if (N % i == 0) {
if (i * i != N)
sum = sum + i + N / i;
else
sum = sum + i;
}
}
// If sum of divisors is equal to
// N, then N is a perfect number
if (sum == N && N != 1)
return 1;
return 0;
}
// Function to find count of perfect
// numbers in a given range
static void Query(int[, ] arr, int N)
{
// Stores the count of perfect Numbers
// upto a every number less than MAX
int[] prefix = new int[MAX + 1];
// Arrays.fill(prefix,0);
// Iterate over the range [1, MAX]
for (int i = 2; i <= MAX; i++) {
prefix[i] = prefix[i - 1] + isPerfect(i);
}
// Traverse the array arr[]
for (int i = 0; i < N; i++) {
// Print the count of perfect numbers
// in the range [arr[i][0], arr[i][1]]
Console.Write(prefix[arr[i, 1]]
- prefix[arr[i, 0] - 1] + " ");
}
}
// Driver Code
public static void Main()
{
int[, ] arr = { { 1, 1000 },
{ 1000, 2000 },
{ 2000, 3000 } };
int N = arr.GetLength(0);
Query(arr, N);
}
}
// This code is contributed by ukasp.
Javascript
// JavaScript program for the above approach
const MAX = 100005;
// Function to check whether a number
// is perfect Number
function isPerfect(N) {
// Stores sum of divisors
let sum = 1;
// Iterate over the range[2, sqrt(N)]
for (let i = 2; i * i <= N; i++) {
if (N % i == 0) {
if (i * i != N)
sum = sum + i + Math.floor(N / i);
else
sum = sum + i;
}
}
// If sum of divisors is equal to
// N, then N is a perfect number
if (sum == N && N != 1)
return true;
return false;
}
// Function to find count of perfect
// numbers in a given range
function Query(arr, N) {
// Stores the count of perfect Numbers
// upto a every number less than MAX
let prefix = new Array(MAX + 1).fill(0);
// Iterate over the range [1, MAX]
for (let i = 2; i <= MAX; i++) {
prefix[i] = prefix[i - 1] + isPerfect(i);
}
// Traverse the array arr[]
for (let i = 0; i < N; i++) {
// Print the count of perfect numbers
// in the range [arr[i][0], arr[i][1]]
document.write(prefix[arr[i][1]] - prefix[arr[i][0] - 1] + " ");
}
}
// Driver Code
let arr
= [[1, 1000], [1000, 2000], [2000, 3000]];
let N = arr.length;
Query(arr, N);
// This code is contributed by Potta Lokesh
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Étant donné un array arr[] composé de N paires , où chaque paire représente une requête de la forme {L, R} , la tâche consiste à trouver le nombre de nombres parfaits dans la plage donnée pour chaque requête.
Entrée : arr[][] = {{1, 10}, {10, 20}, {20, 30}} Sortie : 1 1 1 Explication :
Entrée : arr[][] = {{1, 1000}, {1000, 2000}, {2000, 3000} Sortie : 3 0 0 Explication :
Approche naïve : l’approche la plus simple consiste à parcourir la plage dans chaque requête et à vérifier si un nombre est un nombre parfait ou non , puis à imprimer le nombre de nombres parfaits dans la plage pour la requête respective.
Complexité temporelle : O(N*M*√M)), où M est la plus grande taille d’une plage. Espace auxiliaire : O(1)
Approche efficace : l’approche ci-dessus peut être optimisée en pré-enregistrant le nombre de nombres parfaits de 1 à tous les autre
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