Курсовая работа: Теорема Дирихле

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Простые числа расположены в натуральном ряде весьма неравномерно.
Целью
данной работы является доказательство следующей теоремы о простых числах в арифметической прогрессии.
Теорема Дирихле.
Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.
прогрессия, удовлетворяющая условию теоремы.
Условие ( m
,
l
)=1, наложенные на числа m и e в формулировке теоремы, естественно, поскольку в случае, когда d
=( m
,
l
)>1, все члены прогрессии делятся на d
и поэтому не являются простыми числами.
Сформулированная теория была впервые высказана Л. Эйлером в 1783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных m
, использовавшее, как выяснилось позднее, одну ошибочную лемму.
Полностью доказал теорему в 1837–1839 гг. Петер Густав Лежен-Дирихле (1805–1859), немецкий математик, автор трудов по аналитической теории чисел, теории функций, математической физике.
В 1837 г. вышли две работы Дирихле, посвященные теореме о простых числах в арифметической прогрессии. Они содержали формулировку теоремы в общем виде, однако доказательство приводилось только для случая, когда разность прогрессии есть простое число. В конце второй работы содержится построение характеров для произвольного модуля и некоторые утверждения о том, как можно доказать утверждение L
(1,χ)¹0 для неглавных характеров x в одном случае. В 1839 г. Дилихле опубликовал полное доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. С тех пор она носит его имя.
Характером
(от греческого хараæτήp-признак, особенность) χ конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой группе и обладающая тем свойством, что если, АÎ G
и BÎ G

Обозначим через Е единичные элементы в группе G и через А -1
обратный элемент для АÎ G

Характеры группы G обладают следующими свойствами

:
1
. Если Е-единица группы, то для каждого характера χ
Доказательство
. Пусть для каждого элемента АÎ G
справедливо неравенство
Из этого равенства получим, что c (Е)¹0. Теперь из равенства
Действительно, если бы χ (А) =0 для некоторого АÎ G
, то
c (А) χ (А -1
)= c (АА -1
)= χ (Е)=0,
3
. Если группа G имеет порядок h, то А h
=Е для каждого элемента АÎ G
Следовательно,
то есть χ (А) есть некоторый корень степени h из единицы.
Характер χ 1,
обладающий свойством χ 1
(А)=1 для каждого элемента АÎG, называется главным характером
группы G
. Остальные характеры называются неглавными.
Лемма 1.
Пусть Н
подгруппа конечной абелевой группы G
, причем G
/
H
– циклическая порядка n
, тогда для каждого характера χ H
– подгруппы Н
существует ровно n
характеров.
Доказательство

. Рассмотрим группу G
=
g k
H
, причем g n
H=H, g n
ÎH и g n
=h 1
=1.
Для каждого элемента XÎ G
существует и притом единственное к=к х
и h х
=h такое, что если 0£ к х
0 и определяемая им функция L (s, c) является аналитической в этой области.
2. Ряд, определяющий L (S, c 1
), сходится в области ReS >1. Функция L(S, c 1
) является аналитической в области ReS > 1.
Пусть c(n) – произвольный характер по модулю m, а б – некоторое положительное число. Так как /c(n)/ £ 1, то в области ReS > 1 + б справедливо неравенство
Следовательно, ряд (1) равномерно сходится в области ReS > 1 + б. Определяемая им функция L (S, c) по теореме Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической в этой области. Ввиду произвольности 6 это доказывает второе утверждение Леммы.
Для неглавных характеров c(n) потребуется более сложное исследование ряда (1).
Пусть a n
, n=1,2,…, – последовательность комплексных чисел, c>1,
а q(t) – комплекснозначная функция, непрерывно дифференцируемая на множестве 1£t£¥
при условии, что ряд в левой части равенства сходится.
Доказательство. Положим А(0)=0 и В(х) равным левой части равенства (2.2). Тогда при любом натуральном N
поскольку функция А(х) постоянна на каждом полуинтервале n£t s. Поскольку в этой области выполняется неравенство
то из равенства (2) следует, что ряд (1), определяющий функцию L (S, x), сходится в области ReS > s. Эти рассуждения справедливы для любого положительного числа s. Значит, ряд (1) сходится в полуплоскости ReS> 0.
Из равенства (2) следует, что в этой полуплоскости для L-функции, соответствующей неглавному характеру c(n), справедливо представление
Интеграл, стоящий в правой части равенства (2.5), можно также представить в виде
Члены ряда (2.6) являются аналитическими функциями в области ReS >s, что следует из равенств
При этом использовано, что на полуинтервале n£х< n+1 функция S(х) принимает значение S(n). Поскольку
то ряд (2.6) равномерно сходится в области ReS >s. Отсюда, как и выше, получаем, что сумма его, т.е.
является аналитической функцией (по теореме Вейерштраса) в области ReS >s.
Из представления (2.5) следует теперь, что L (S, x) есть аналитическая функция в полуплоскости ReS >s, а ввиду произвольности S – s и b полуплоскости ReS > 0.
Следствие. Пусть c (n) – произвольный характер. Тогда в области ReS > 1 справедливо равенство
Это следует из того, что ряд (2.1) по доказанному равномерию сходится в области ReS>1+s, где s>0. Следовательно, по теореме Вейштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этой области ряд (2.1) можно почленно дифференцировать
Поэтому в полуплоскости ReS>1+s выполняется равенство (2.7). Так как в этом рассуждении s-любое положительное число, то равенство (2.7) будет справедливо в полуплоскости ReS>1.
Для L-функций имеет место представление в виде бесконечного произведения по простым числам, аналогичное тождеству Эйлера. Рассмотрим вспомогательную Лемму.
Лемма 5. Пусть функция f(n) вполне мультипликативна и ряд
абсолютно сходится. Тогда выполняется равенство
Доказательство. Отметим прежде всего, что /f(n)/<1 при любом натуральном n>1. В противном случае при каждом mÎN
что противоречит сходимости ряда (2.6). Поэтому при каждом простом р ряд
абсолютно сходится, и его сумма как сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессии равна (1-f(р)) -1.
Кроме этого, в силу абсолютной сходимости, ряды можно перемножить. Перемножая конечное число таких рядов и используя то, что f(n) есть вполне мультипликативная функция, получим
где n e
= p a
… p a
s и в сумме в правой части равенства содержатся такие и только такие слагаемые f(n e
), что все просты делители n e
не превосходят х. Следовательно, в разности
остаются те и только те слагаемые f(m e
), для которых у числа m e
имеется хотя бы один простой делитель р>x. Тогда оценим разность
и из абсолютной сходимости ряда (2.8) следует, что
Это доказывает, что бесконечное произведение (2.7) сходится и выполняется утверждение Леммы.
Лемма 6. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо представление
Доказательство. Эта лемма является следствием Леммы 5, поскольку функция c(n) вполне мультипликативна, то есть c(АВ)= c(А) c(В), и выполняется неравенство /c(n)/£ 1 по теореме 1.
Следствие 1. В области ReS > 1 для главного характера c 1
(n) по модулю m справедливо равенство
и поэтому функция L (S, c 1
) может быть аналитически продолжена в область ReS> 0, где она имеет единственный полюс (первого порядка) в точке S=1.
Действительно, по определению главного характера c 1
(n) имеет место равенство
Пользуясь теперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана получаем равенство (2.10). Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функция является аналитической в области ReS > 0 с единственным полюсом первого порядка в точке S = 1.
Следствие 2. Для каждого характера c функция L (S, x) не обращается в нуль в области ReS > 1.
Пользуясь неравенством для дзета-функции Римана, находим
Теперь докажем утверждения, что L – функция, соответствующая неглавному характеру c, точке S =1 отлична от нуля.
Теорема 2.
Если c – неглавный характер, то L(1, c)≠0
Для доказательства рассмотрим 2 случая
1. Пусть характер c – комплексное число, не является действительным. Тогда характер c 2
(n) не является главным. В этом случае доказательство теоремы будет основываться на тех же идеях, что и доказательство отсутствия нулей дзета – функции на прямой ReS=1.
Лемма7.
Пусть 0< ч<
1, а х – действительное число, тогда выполняется неравенство /(1 – ч
) 3
(1 – че
ix

) 4
(1 – че 2

ix

)/ -1
≥ 1
Для всех z из круга /z/<1 имеет место расположение
Так как ln(t) = Relnt, то обозначая М ( ч
φ), левую часть неравенства (2.11), получим
lnM( ч
φ) = 3ln(1 – ч
) – 4 ln (1 – че
i

4

) – ln (1 – че 2

i

4

) = – 3ln(1- ч
) – 4Reln/1 – че
i

4

/ – Reln/1 – че 2

i

4

/= rc(3+4e) inl
/1-re i
4
/= (3+4cosnl+2cos2nl)= (2+4cosa+1+cos2a)= 1 (1+cosa) 2
³0
Следовательно, M(r, l)=³1 доказана.
Из леммы 7 следует, сто при любом действительном S>1 выполняется равенство:
|
L
3

(8,
c 1

)
L
4

(
S
,
c ) 4 (
S
,
c 4

) 1 = П
(1- ) 3
(1- ) 4
(1- )| -1
(2.12)
c (р) р -

s

= че
i

4

, в силу того что c (р)
– комплексное
Получаем, что каждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и, следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:
|L 3
(Sc 1
) · L 4
(Sc) L(Sc 2
)| ≥ 1 (2.13)
Допустим, что для некоторого характера c (c 2
≠c 1
) выполняется равенство
Оценим сверху левую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана
ξ(S) ≤ , следует, что при S € R, S>1 выполняется неравенство
б) Функция L(S, c) разложим в ряд Тейлора
L (S, c) = C p
+ C 1
(S – 1) + C 2
(S – 1) 2
+… + C n
(S – 1) n
+…
Предположим, что у нее есть нуль L(1, c) = 1; тогда С 0
= 0
Перепишем разложение L – функции в ряд
L(S c
) = C к
(S – 1) к
+ С к
+1
(S – 1) к
+1
= (S – 1) 1
(C к
+ С к
+1
(S -1)+….), гдек≥1, С к
≤ 0, т. к. S>1
| L (S, c)| = |S – 1| k
| C k
+ C k+1
(S – 1) +….| ≤ 2 C k
|S – 1) k
, при |S – | < r
Функция L (S, c 2
) в точке S = 1 не имеет полюса, следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что c комплексное и c 2
≠c 1

| L 3
(S, c) L 4
(S, c) L (S, c 2
)| = ( ) 3
· 2 4
|C k
| 4
(S – 1) 4k
· C≥1
Следовательно, это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S→1+0. Полученное противоречие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.
2. Рассмотрим c – вещественный характер, т.е. принимающий только вещественные значения, несовпадающий с главным характером
Лемма 8.
Пусть c – вещественный характер.
представляется рядом Дирихле, которого справедливы следующие утверждения:
3) В области ReS<1 можно почленно дифференцировать, то есть
F (
k
)
(S)= (-1) k
(lnn) k
k=1,2…; (2.17)
4) Ряд (1) в точке S=1/2 расходится.
Доказательство. В области ReS > 1 ряды, определяющие функции S(S) и L(S,c), абсолютно сходятся, поэтому их можно перемножить:
Пусть - расположение числа n в произведение простых сомножителей. Тогда все натуральные делители l числа n имеют вид
поэтому из равенства (14) находим, что
гдеa ni =
1+ c (p i
)+ … +c Li
(p i
), i=1,…, m (2.21)
так как c – вещественный характер, то он может принимать только три значения: 0, 1, -1. Из равенства (2.21) следует, что
Во всех случаях числа a ni
³0, а значит, и a n
=a n
1 … a nm
³0
Если же число п является полным квадратом, то
и из равенств (2.20) и (2.22) следует, что а n
³1
При любом s > 0 в области ReS> 1 +s выполняется неравенство
Ряд (2.18) сходится в области ReS > 1. Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (2.16) сходится равномерно в области ReS > 1 + s, а по теореме Вейерштрасса его можно в этой области почленно дифференцировать любое число раз. Следовательно, в области ReS > 1 +s выполняется равенство (2. 17), а в силу произвольности s оно выполняется и в области ReS > 1.
Однако ряд (39) расходится, так как по второму утверждению леммы
Ряд (2.16) при S = имеет неотрицательные члены. Поэтому, если бы он сходился, то также сходился бы ряд
Следовательно, ряд (2.23) расходится. Лемма доказана.
Переходим непоредственно к доказательству второго случая теоремы. Допустим, что L (1,c) = 0. Тогда полюс дзета-функции будет компенсироваться в произведении S(S) L (S, c) нулем функции L (S, c).
Поэтому функция (2.15) F(S) будет аналитической в области ReS > 0 так как в точке S=1 у F(z) – устраненная особая точка. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора в точке S = 2:
радиус сходимости которого не меньше 2 R³2/
Из равенств (2.17), в частности S=2, находим
В радиусе сходимости будет брать не все S, а только вещественные ReS=sS=sÎ(0,2). Пользуясь разложениями (18) и (19), находим
Члены двойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, и в нем можно поменять порядок суммирования. Тогда
Следовательно, ряд (2.16) сходится во всех точках, s < (, 0, 2), и в точке , а это противоречит четвертому утверждению леммы. Поэтому L(S,c)¹0/
Этим завершается доказательство теоремы
По следствию 2 леммы 2 функция является аналитической в области ReS > 1. Для дальнейшего доказательства теоремы Дирихле нам будет необходимо представление этой функции в виде ряда, аналогичного ряда (2.16).
Лемма. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо равенство
Так как S=s+it имеет место неравенство
получаем, что ряд стоящий в правой части равенства (2.26), абсолютно сходится в области s>1. Умножим этот ряд на ряд определяющий L (S, c). Получили
Предпоследнее равенство имеет место ввиду равенства ), а последнее – по следствию из леммы 3, равенство 2.7.
Теорема. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.
Рассмотрим равенство (2.26), которое справедливое по Лемме в области ReS > 1. Поскольку (n) = 0 для всех n, не являющихся степенями простых чисел, то все отличные от нуля члены ряда в правой части (2.26) имеют вид
где р – простое и k– натуральное числа. Ряд (2.26) абсолютно сходится, следовательно, его можно представить в виде двойного ряда) и, значит, в области ReS > 1
Второе слагаемое в правой части этого равенства равномерно ограничено по s в области ReS³3/4. Действительно, если S=p+it, p³3/4, то
Следовательно, при S®1+0 для каждого характера c имеет место равенство
Здесь и в дальнейшем s ® 1 + o обозначает, что S стремится к 1 по действительной оси справа.
Пусть u – некоторое натуральное число, удовлетворяющее сравнению
Умножим обе части равенства (3.2) на c(u) и просуммируем получившиеся равенства по всем числовым характерам c. Тогда получим
Если простое число р удовлетворяет сравнению р ºl (mod m), то pu ≠ 1 (mod m), и по теореме 1
Если же p≠l (modm), то pu≠ 1 и по той же теореме
Таким образом, равенство (3.3) можно переписать в виде
По лемме 3 и теореме 2 для неглавного характера c функция является аналитической в точке S = 1. Поэтому для таких характеров при S®1 + 0 имеем
По следствию 1 леммы 4 функция L(S, c 1
) имеет в точке S=1 полюс первого порядка. Значит, при S®1+0
Учитывая равенства (3.5) и (3.6.) из равенства (26) получаем, что
Так как число u удовлетворяет сравнению (3.3), то (u, m) = 1 и c 0
(u)=1. Итак, при S®1+0
Правая часть равенства а (3.7) при S®1+0 имеет бесконечный предел. Значит, сумма, стоящая в левой части этого равенства, имеет бесконечное множество слагаемых. Поэтому существует бесконечное множество простых чисел, удовлетворяющих сравнению

Название: Теорема Дирихле
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа
Добавлен 13:22:37 03 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 60
Комментариев: 12
Оценило: 0 человек
Средний балл: 0
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Курсовая работа: Теорема Дирихле
Курсовая Работа На Тему Предпринимательские Риски
Реферат: Свержение монархии и установление республики во Франции
Контрольная работа по теме Економічні системи та їх риси
Летний И Осенний Сад Сочинение
Курсовая работа по теме Экстракционно-фотометрическое определение ванадия (V) с реагентами класса БФГА
Современный Человек Сочинение
Курсовая работа: Профессиональные организации бухгалтеров и аудиторов. Требования к квалификации бухгалтера и ауд
Курсовая работа по теме Характеристика автобуса малого класса сельского сообщения ПАЗ-3205
Реферат: Естественная и гуманитарная культура. Научный метод. Скачать бесплатно и без регистрации
Можно Ли Считать Пальму Победительницей Сочинение
Экологические Виды Транспорта Реферат
Контрольная работа по теме Основные черты переходной экономики в странах Центральной и Восточной Европы. Характеристика структуры платежного баланса
Устаревшая Лексика Русского Языка Реферат
Реферат: Основные правовые системы современного мира
Реферат: Производство, импорт и экспорт стеклянной тары в России с 1990 по 2010 г.
Реферат: Значение оплаты труда в экономике предприятия промышленности
Современные Технологии Контрольная Работа
Реферат по теме Абсорбция
Курсовая работа по теме Преступления, посягающие на порядок обращения огнестрельного оружия, боеприпасов, взрывчатых веществ и взрывных устройств
Диссертация На Тему Стадии Совершения Преступления
Курсовая работа: Психолого-педагогической анализ особенностей детской субкультуры
Реферат: Petroleum Essay Research Paper Petroleum or crude
Реферат: Литература - Хирургия (кишечная непроходимость)