Курсовая работа: Суммирование расходящихся рядов

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Как мы уже знаем математический анализ, занимается проблемами изучения множества объектов, таких как: числа, переменные, функции, последовательности, ряды и др. При изучении свойств того или иного объекта могут возникать пробелы или “пустоты". Это возникает тогда, когда наука не может объяснить: “Почему происходит так, а не иначе? ”. Такой казус существовал некоторое время и при изучении рядов, а точнее при изучении расходящихся рядов
.
При изучении рядов заданному числовому ряду
в качестве его суммы мы приписывали предел её частичной суммы , в предположении, что этот предел существует и конечен. “Колеблющийся" расходящийся ряд оказывался лишенным суммы и подобные ряды, как правило, из рассмотрения исключали. Естественно возникает вопрос о возможности суммирования расходящихся рядов
в некоем новом смысле, конечно отличном от обычного. Этот вопрос возник ещё до второй половины XIX века. Некоторые методы такого суммирования оказались довольно-таки плодотворными.
В данной своей работе я хочу рассмотреть эти методы, обратить внимание на то, где и какой метод наиболее применим, изучить связь между этими методами. Моя работа состоит из 4 глав, первая из которых содержит основные термины и определения необходимые для работы. Последующие главы рассматривают непосредственно сами методы суммирования. Вторая и третья главы посвящены двум основным методам суммирования: метод степенных рядов
и метод средних арифметических
, а третья содержит сведения о других существующих, но реже применяемых методах. Каждая из четырех глав содержит примеры суммирования рядов по данному конкретному методу.
Как мы упомянули вначале цель нашего исследования - расходящиеся ряды
. А что же такое, вообще, ряд
?
Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел
называется бесконечным рядом
, а сами числа (1) - членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:
Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;
их называют частичными суммами ряда.
Конечный или бесконечный предел А частичной суммы ряда (
2) при :

Придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т. е если сумма равна
, либо же суммы вовсе нет) - расходящимся.

Примеры.1) простейшим примером бесконечного ряда является уже знакомая геометрическая прогрессия:
Если знаменатель прогрессии, q, по абсолютной величине меньше единицы, то имеет конечный предел
то есть наш ряд сходится, и будет его суммой.
При та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если , то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы вовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается при a=1
и q= - 1;

Его частичные суммы попеременно равны то 1, то 0.
2) Легко установить расходимость ряда
В самом деле, так как члены его убывают, то его n
-я частичная сумма
и растет до бесконечности вместе с n.

Различные факты из области математического анализа, как, например, расходимость, произведения двух сходящихся рядов, естественно выдвинули вышеупомянутый вопрос: “О возможности суммирования расходящихся рядов, в некоем новом смысле”.
Нужно сказать, что до создания Коши строгой теории пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся ряды нередко встречались в математической практике.
Хотя применение их при доказательствах и оспаривалось, тем не менее иной раз делались попытки придавать им даже числовой смысл.
Вспомним, опять, наш колеблющийся ряд
Еще со времен Лейбница в качестве "суммы" приписывалось число . Эйлер, например, мотивировал это тем, что из разложения
(которое в действительности имеет место лишь для ) при подстановке вместо х
единицы как раз и получается
В этом уже содержалось зерно истины, но постановке вопроса не хватало четкости; самый произвол в выборе разложения оставлял открытой возможность, скажем из другого разложения (где п
и т -
любые, но )
Современный анализ ставит вопрос по-другому. В основу кладется то или иное точно сформулированное определение “обобщенной суммы" ряда, не придуманное только для конкретно интересующего нас числового ряда, но приложимое к целому ряду классов таких рядов. Определение “обобщенной суммы" обычно подчиняется двум требованиям.
Во-первых, если ряду
приписывается
“обобщенная сумма" А, а ряду - “обобщенная сумма" В, то ряд , где
p,
q- две произвольные постоянные, то должен иметь в качестве “обобщенной суммы" число .
Метод суммирования, удовлетворяющий этому требованию, называется линейным.

Во-вторых, новое определение должно содержать обычное определение как частный случай. Точнее говоря, ряд, сходящийся в обычном смысле к сумме А, должен иметь “обобщенную сумму", и притом также равную А.
Метод суммирования, обладающий этим свойством, называют регулярным.
Разумеется, интерес представляют лишь такие регулярные методы, которые позволяют устанавливать “сумму” в более широком классе случаев, нежели обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правом можно говорить об “обобщенном суммировании”. Мы переходим к теперь непосредственно к рассмотрению особо важных с точки зрения приложений методов ‘обобщенного суммирования".
Этот метод, в существенном принадлежит Пуассону, который сделал первую попытку применить его к тригонометрическим рядам. Он состоит в следующем.
По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд

Если этот ряд для сходится и его сумма при имеет предел А:

то число А и называют “обобщённой (в смысле Пуассона) суммой” данного ряда.
Примеры.1) Ряд, рассмотренный Эйлером:
Здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, сумма которого при стремится к пределу . Значит, число , действительно, является “обобщенной суммой” указанного в точном установленном здесь смысле.
2) Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд
является расходящимся при всех значениях
Действительно, если имеет вид , где и - натуральные числа, то для значений , кратных , будет , так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Если же отношение иррационально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и составляя подходящие дроби , будем иметь, как известно,
Таким образом, для бесконечного множества значений
Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости. Если образовать степенной ряд:
(здесь буква заменяет прежнюю букву ), то его сумма при значении , отличном от 0, будет
и при стремится к 0. Таким образом, для “обобщенной суммой” ряда будет 0. если , то ряд (2), очевидно имеет сумму, равную ; впрочем, выражение (3), которое в этом случае сводится к , также имеет пределом .
который сходится лишь при или , приводит к степенному ряду
Так что “обобщенная сумма" на этот раз оказывается равной при и равной нулю при .
Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод “обобщенного суммирования” является линейным. Что же касается регулярности этого метода, то она устанавливается следующей теоремой принадлежащей Абелю.
Теорема. Если ряд (А) сходится и имеет сумму А (в обычном смысле), то для сходится степенной ряд (1), и его сумма стремится к пределу А, когда .

Доказательство. Начнем с того, что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для
ряд (1), действительно, сходится. Мы имели уже тождество
(
где ); вычтем его почленно из тождества
Так как то по произвольно заданному найдется такой номер , что , лишь только .
Разобьем сумму ряда в правой части (4) на две суммы
Вторая оценивается сразу и независимо от :
Что же касается первой, то она стремится к 0 при и при достаточной близости к 1 будет
так что окончательно что и доказывает утверждение.
Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы. Иными словами из существования предела
вообще говоря, не вытекает сходимость ряда ( А
). Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда ( ), т.е. о существовании для него суммы в обычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером.
Теорема. Пусть ряд (1) сходится при 0<
x<1, и имеет место предельное равенство (5). Если члены ряда (А) таковы, что

Доказательство. Разобьем доказательство на две части. Сначала
предположим, что Если положить то при величина , монотонно убывая, стремится к нулю.
Взяв произвольно малое число , положим
Так что при . Пусть теперь выбрано достаточно большим чтобы: выполнялось неравенство ; соответствующее x
было настолько близко к 1, что
Что и доказывает утверждение теоремы.
К рассмотренному частному случаю теоремы приводится и общий. Положим
Но из предположения теоремы, т.е. из того, что при , легко получить, что
Для доказательства этого достаточно разбить здесь сумму на две:
и выбрать N
таким, чтобы во второй сумме все множители были по абсолютной величине меньшими наперед заданного числа , тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше , каково бы ни было х
; относительно первой суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно достигнуть за счет приближения х
к 1.
Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что и
Отсюда, так как первое слагаемое справа стремится к нулю
Что и завершает доказательство теоремы.
Идея метода в простейшем его осуществлении принадлежит Фробениусу, но связывают его обычно с именем Чезаро, который дал методу дальнейшее развитие.
По частичным суммам данного числового ряда (А) строятся их последовательные средние арифметические

Если варианта при имеет предел А, то это число и называют “обобщенной (в смысле Чезаро) суммой” данного ряда.

так что . Мы пришли к той же сумме, что и по методу Пуассона-Абеля.
2) Для ряда . Частичные суммы будут (если только )
Теперь нетрудно подсчитать средние арифметические:
Очевидно, : для значений “обобщенной суммой” и здесь служит 0.
3) Наконец, пусть снова предложен ряд
Во всех случаях по методу Чезаро получилась та же “обобщенная сумма", что и выше, по методу Пуассона-Абеля. Оказывается это не случайность.
Начнем с простого замечания: если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то необходимо

Теорема (Фробениуса). Если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то одновременно он суммируем также по методу Пуассона-Абеля и притом к той же сумме.

Доказательство. Итак, пусть . Ввиду сделанного вначале замечания очевидна сходимость степенного ряда
для 0<
x<1.
Выполнив дважды преобразование Абеля, последовательно получим
Умножим обе части тождества на А
и вычтем из него почленно предыдущее тождество:
Причем число N
выберем так, чтобы при было
где - произвольное наперед заданное положительное число. Тогда вторая сумма по абсолютной величине и сама будет меньше (независимо от ), а для первой суммы того же можно добиться за счет приближения x
к 1. Этим и завершается доказательство.
Итак, мы установили, что во всех случаях, где приложим метод Чезаро, приложим и метод Пуассона-Абеля с тем же результатом.
Обратное же неверно: существуют ряды суммируемые методом Пуассона-Абеля, но не имеющие “обобщенной суммы" в смысле Чезаро. Рассмотрим, например, ряд
Так здесь явно не соблюдено необходимое условие суммируемости по методу средних арифметических, то этот метод не приложим. В то же время ряд
Имеет (при 0<
x<1
) сумму , которая при стремится к пределу . Это и есть “обобщенная сумма" нашего ряда по Пуассону-Абелю.
Таким образом, метод Пуассона-Абеля является более мощным, то есть приложим в более широком классе случаев, чем метод Чезаро, но не противоречит ему в тех случаях, когда они оказываются приложимыми оба.
Как и в случае Пуассона-Абеля, для метода Чезаро также могут быть доказаны теоремы “тауберовского” типа, устанавливающие те дополнительные условия относительно членов ряда, при наличии которых из суммируемости ряда по методу средних арифметических вытекает его сходимость в обычном смысле слова. Ввиду теоремы Фробениуса ясно, что каждая тауберовская теорема для метода Пуассона-Абеля приводит, в частности, к такой же теореме для метода Чезаро. Например, сама теорема Таубера перефразируется теперь так: если и выполняется условие

то одновременно и .
Впрочем, здесь она непосредственно вытекает из легко проверяемого тождества
которое для данного случая указывает даже на необходимость условия (9).
Харди установил, что заключение от к можно сделать не только, если , но и при более широком предположении, что
Ландау показал, что можно удовольствоваться даже “односторонним” выполнением этого соотношения;
Теорема. Если ряд (А) суммируем к “сумме” А по методу средних арифметических и при этом выполняется условие
( ), то одновременно и

[Изменяя знаки всех членов ряда, видим, что достаточно также предположить неравенство другого смысла:
В частности, теорема, очевидно приложима к рядам с членами постоянного знака.
Доказательство. Для доказательства рассмотрим сначала сумму
где n
и k
- произвольные натуральные числа; путем тождественного преобразования она легко приводится к виду
Если взять любое (при ), то используя предположенное неравенство , можно получить такую оценку снизу:
Отсюда, сопоставляя с (10), приходим к такому неравенству:
Станем теперь произвольно увеличивать п
до бесконечности, а изменение k
подчиним требованию, чтобы отношение стремилось к наперед заданному числу . Тогда правая часть неравенства (11) будет стремиться к пределу , так что для достаточно больших значений п
будет
Совершенно аналогично, рассматривая сумму
и проведя для (при ) оценку сверху:
Если и одновременно , как и прежде (но на этот раз пусть ), то правая часть этого неравенства стремится к пределу
Следовательно, для достаточно больших n
окажется
Сопоставляя (12) и (13), видим, что, действительно,
Остановимся на применении обобщенных методов суммирования в вопросе об умножении рядов по правилу Коши. Пусть, кроме ряда ( А
), дан ещё ряд
и называется произведением рядов ( А
) и ( В
) в форме Коши. Если данные ряды сходятся и имеют обыкновенные суммы А
и В,
то ряд ( С
) все же может оказаться расходящимся.
Однако во всех случаях ряд (С) суммируем по методу Пуассона-Абеля и именно к сумме АВ.

Действительно, для 0<
x<1
ряд (1) равно как и ряд
оба абсолютно сходятся; обозначим их суммы, соответственно, через и . Произведение этих рядов, то есть ряд
По классической теореме Коши также сходится и имеет суммой произведение * . Эта сумма при стремится к АВ
, ибо как мы видели, по отдельности
Итак, “обобщенной (в смысле Пуассона-Абеля) суммой” ряда ( С)
действительно будет АВ,
что и требовалось доказать.
Отсюда как следствие получается теорема Абеля об умножении рядов. Равным образом из самого доказательства ясно, что то же заключение остается в силе, если ряды (А) и (В) -
вместо того, чтобы сходиться в собственном смысле - лишь суммируемы по методу Пуассона-Абеля к суммам А и В.

В таком случае, учитывая теорему Фробениуса, можно сделать и следующее утверждение: если (А), (В) и (С) суммируемы в смысле Чезаро и имеют, соответственно, “обобщенные суммы" А, В и С, то необходимо С=АВ.

В качестве примера рассмотрим возведение в квадрат ряда
который получается из биномиального разложения
при х=1
. умножая указанный числовой ряд на самого себя, придем к хорошо знакомому нам ряду
Далее, “возведем в квадрат" и этот расходящийся ряд. Мы получим ряд
“обобщенная сумма" которого в смысле Пуассона-Абеля есть .
Пусть мы имеем положительную числовую последовательность и
Из частичных сумм ряда ( А
) составим выражения
Если при то А
называется “обобщенной суммой” ряда (А)
в смысле Вороного - при заданном выборе последовательности .
Для регулярности метода Вороного необходимо и достаточно условие.

Допустим сначала регулярность рассматриваемого метода: пусть из всегда следует и . Если, в частности, взять ряд для которого а прочие (так что и ), то необходимо
Достаточность. Предположим теперь условие теоремы выполненным и докажем, что из вытекает и .
Обратимся к теореме Теплица и заменим там на и на Условие (а) этой теоремы удовлетворено, ибо
Выполнение условий (б) и (в) очевидно, так как
Следовательно, как и требовалось доказать, .
Мы уже знакомы с методом средних арифметических; он является простейшим из бесконечной последовательности методов суммирования, предложенных Чезаро.
Фиксируя натуральное число к
, Чезаро вводит варианту
и ее предел при рассматривает как “обобщенную сумму" ( к
-го порядка) ряда ( А
). При к
=1 мы возвращаемся к методу средних арифметических.
В дальнейшем нам не раз понадобится следующее соотношение между коэффициентами:
Он легко доказывается по методу математической индукции относительно n,
B и если исходить из известного соотношения
Прежде всего, покажем, что методы Чезаро всех порядков являются частными случаями регулярных методов Вороного.
Для этого достаточно положить , ибо из (14) тогда следует, что и к тому же, очевидно,
С помощью того же равенства (14), пользуясь самим определением величин , устанавливается, что
Это дает возможность выяснить взаимоотношение между суммированием по Чезаро к
-го и ( к-1
) - го порядка. Пусть ряд ( А
) допускает суммирование ( к-1
) - го порядка, так что . В силу (14) и (15) имеем
Применяя сюда теорему Теплица, причем полагаем
придем к заключению, что и . Таким образом, если ряд (А) допускает суммирование по методу Чезаро какого-нибудь порядка, то он допускает и суммирование любого высшего порядка, и притом к той же сумме.

Приведем теперь обобщение уже известной нам теоремы Фробениуса: если ряд (А) суммируем по какому-либо из методов Чезаро
(скажем к
-го порядка), то он суммируем к той же сумме и по методу Пуссона-Абеля.

для - 1<
x<1
сходится. Действительно, так как то из (16) имеем:
так что по теореме Коши-Адамара, радиус сходимости ряда (17) равен 1. Он во всяком случае не меньше 1, если А
=0.
Выше мы установили сходимость последнего ряда в промежутке (-1,1); отсюда вытекает сходимость и всех предшествующих рядов. Кроме того,
Сопоставим с этим тождеством другое:
которое имеет место в том же промежутке ( -1;

1);
оно получается к
-кратным дифференцированием прогрессии
Умножив обе части тождества (19) на А
и вычитая из него почленно равенство (18), получим наконец,
Дальнейшие рассуждения [с учетом (16)] вполне аналогичны тем, с помощью которых была доказана теорема Абеля и теорема Фробениуса. В результате мы и получим:
Отметим, что существуют расходящиеся ряды, суммируемые по методу Пуассона-Абеля, но не суммируемые ни одним из обобщенных методов Чезаро. Таким образом, первый из названных методов оказывается сильнее всех последних, даже вместе взятых.
Он состоит в следующем: по ряду ( А
) и его частичным суммам строится выражение:
Если последний ряд сходится, хотя бы для достаточно больших значений х, и его сумма при имеет предел А, то это число и является “обобщенной суммой” в смысле Борелядля данного ряда (А).

Докажем регулярность метода Бореля. Допустим сходимость ряда ( А
) и обозначим его сумму через А
, а остатки через . Имеем (для достаточно больших х
)
Зададимся произвольно малым числом ; найдется такой номер N,
что для будет:
Представим последнее выражение в виде суммы,
Второе слагаемое по абсолютной величине , каково бы ни было х
, а первое представляющее собой произведение на многочлен, целый относительно х
, становится абсолютно при достаточно больших х
. Этим все доказано.
Пусть дан ряд . Формула, выражающая “преобразование Эйлера” выглядит следующим образом
При этом
, как было доказано, из сходимости ряда в левой части вытекает сходимость ряда в правой части и равенство между их суммами
.
Однако и при расходимости первого ряда второй ряд может оказаться сходящимся; в подомном случае его сумму Эйлер приписывал в качестве “обобщенной суммы" первому ряду. В этом собственно и состоит метод Эйлера суммирования рядов; сделанное только что замечание гарантирует регулярность метода.
Если писать рассматриваемый ряд в обычном виде ( А
), не выделяя знаков , и иметь в виду вырыжение
для р-
ой разности, то можно сказать, что методу суммирования Эйлера в качестве “обобщенной суммы" ряда ( А
) берется обычная сумма ряда
(в предположении, что последний сходится)
Методы Гельдера представляют собой ещё один класс методов обобщенного суммирования. Но они состоят в простом повторении метода средних арифметических. Поэтому рассматривать их не стоит.
В своей дипломной работе я рассмотрел методы суммирования расходящихся рядов, теоремы, вытекающие из этих методов, а также взаимосвязь этих методов между собой. Мы увидели многообразие подходов к вопросу суммирования расходящихся рядов. Регулярность каждого метода мы устанавливали во всех случаях. К сожалению, я не всегда имел возможность достаточно углубиться в вопрос о взаимоотношении этих методов между собой. А между тем может случиться, что два метода имеют пересекающиеся области приложимости, или, наоборот, может оказаться и что два метода приписывают одному и тому же расходящемуся ряду различные “обобщенные суммы”.
Теория рядов является важным и широко используемым разделом математического анализа, или другими словами бесконечные ряды являются важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М., 1982.
2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 1, М., 1974.
3. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих. М., 1970.
4. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., 1983.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, I, II т., М., 1966.
[1]
Хотя формулировка метода “обобщенного суммирования ” принадлежит Пуассону, этот метод называют всё же методом Абеля, так как Пуассон применил этот метод лишь в частном случае. Поэтому в дальнейшем мы будем называть этот метод – методом Пассона-Абеля.

[2]
Здесь и дальше учитываются соотношения типа (15)

Название: Суммирование расходящихся рядов
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа
Добавлен 22:57:41 17 декабря 2010 Похожие работы
Просмотров: 510
Комментариев: 10
Оценило: 4 человек
Средний балл: 4.3
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Мне с моими работами постоянно помогают на FAST-REFERAT.RU - можете просто зайти узнать стоимость, никто вас ни к чему не обязывает, там впринципе всё могут сделать, вне зависимости от уровня сложности) у меня просто парень электронщик там какой то, тоже там бывает заказывает))
Спасибо, Оксаночка, за совет))) Заказал курсач, отчет по практике, 2 реферата и дипломную на REFERAT.GQ , все сдал на отлично, и нервы не пришлось тратить)
Я обычно любые готовые работы покупаю на сайте shop-referat.tk , и свои все там же на продажу выставляю, неплохой доп.заработок. А если там не нахожу то уже на referat.gq заказываю и мне быстро делают.
Хватит париться. На сайте REFERAT.GQ вам сделают любой реферат, курсовую или дипломную. Сам пользуюсь, и вам советую.
Да, но только в случае крайней необходимости.

Курсовая работа: Суммирование расходящихся рядов
Реферат: Налогообложение и бюджетный процесс
Реферат: Акцентуализация
Курсовая работа: Встречный иск: правоприменительная практика
Контрольная работа: Развитие материализма и рационализма в философии
Реферат по теме Платежи в бюджет за природные ресурсы
Эссе Виды Трудовых Договоров
Самсон Вырин Описание Внешности Сочинение
Реферат На Тему Рассуждение На Тему Афоризма Платона
Эссе На Тему День Языков
Доклад по теме Миф о Кефале и Прокриде
Административная Ответственность Дипломная Работа
Реферат: Товарная биржа (Доклад)
Минеральные Ресурсы Мира Реферат
Курсовая Работа На Тему Учет Расчетов С Бюджетом По Налогу На Доходы Физических Лиц
Курсовая работа: Мировые финансы, особенности взаимодействия с национальными финансовыми системами
Доклад по теме Особенности развития аудита в странах с развитой экономикой
Психология Влияния Курсовая
Виды Сочинений В Начальной Школе
Доклад: Физические опасности декомпрессии
Дипломная Работа На Тему Эффективные Педагогические Условия Проведения Внеклассной Работы В Школе
Сочинение: Трагедия Мастера по роману М. Булгакова Мастер и Маргарита
Курсовая работа: Доходи та витрати комерційного банку
Реферат: Сборка полупроводниковых приборов и интегральных микросхем