Курсовая работа: Сравнительный анализ численных методов

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Министерство образования и науки Республики Казахстан
Карагандинский государственный технический университет
по дисциплине: математическое обеспечение САПР
Тема: "Сравнительный анализ численных методов"
Целью нашей работы является сравнительный анализ численных методов, таких как итерация, интерполяция, численное дифференцирование и интегрирование, а также метод Эйлера.
В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.
Для более глубокого анализа численных методов очень удобно использовать средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.
По итерационным методам решения нелинейных уравнений:
Определить корень в заданном или выбранном отрезке методом хорд, касательных и простой итерации.
Используя результаты решений, указать наименьший полученный отрезок, в котором содержится корень уравнения.
Для каждого метода и каждой задачи построить график функции на [ a,
b]
и убедиться в выполнении условия сходимости итерационной процедуры.
Используя функции F (
x)
из п.1, построить интерполяционный многочлен L 4
(
x)
на [ a,
b],
использовав в качестве узловых a
и b,
остальные необходимые узловые точки выбрать, разделив промежуток [ a,
b]
на почти равные части. Вычислить значения F (
x)
и L 4
(
x)
в двух точках, одна из которых - середина крайней части, а вторая - середина части, содержащей точку . Сравнить полученные величины. Используя эти же узловые точки, провести обратную интерполяцию и определить значение х
при y=0
. Полученный результат сравнить с ранее найденным решением уравнения.
Сравнить результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации.
Провести сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования.
Найти численное решение обыкновенного дифференциального уравнения методом Эйлера и уточненным методом Эйлера с 5-ю и 20-ю шагами и сравнить их, если возможно с результатом точного решения ОДУ.
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида F (
x) =0
, где F (
x)
- непрерывная функция, - встречается в различных областях научных исследований. Корнам (или решением) уравнения F (
x) =0
называется значение , при котором . Методы решения нелинейных уравнений делятся на:
Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Такие методы применяются для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Однако, на практике встречаются уравнения, которые не удается решить простыми методами. Тогда используются итерационные методы решения, т.е. методы последовательных приближений.
Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:
этап локализации (или отделения) корней;
Локализация корней. Отрезок [a, b], содержащий только один корень уравнения F (
x) =0
, называют отрезком локализации корня . Цель этапа локализации считают достигнутой, если для каждого из подлежащих определению корня удалось указать отрезок локализации (его длину по возможности стараются сделать минимальной). Прежде чем переходить к отыскиванию отрезков локализации, имеет смысл провести предварительное исследование задачи для выяснения того, существует ли вообще корни уравнения и как они расположены на числовой оси. Начальное приближение может быть найдено различными способами: из физических соображений, с помощью графических методов и т.д. Если оценку исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки a
и b
, в которых непрерывная функция F (
x)
принимает значения разных знаков, т.е. F (
a)
F (
b) <0
. При выполнении этого условия, можно говорить, что между точками a
и b
есть, по крайней мере, одна точка, в которой F (
x) =0
.
Итерационное уточнение корней. На этом этапе для вычисления каждого из корней с точностью используют тот или иной итерационный метод, позволяющий построить последовательность х 1
, х 2
, х 3
, … ,
х
k,

… приближений к корню .
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х 0

. Каждый такой шаг называется итерацией
. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х 1
, х 2
, х 3
, … ,
х
k,
…
Если эти значения с ростом k
стремятся к истинному значению корня , то говорят, итерационный процесс сходится
.
Пусть мы нашли отрезок [ a,
b],
на котором функция F (
x)
меняет знак. Для определенности примем F (
a) >0,
F (
b) <0.
В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения х 0
, х 1
,… точек пересечения хорды с осью абсцисс.
Для точки пересечения ее с осью абсцисс ( y=0
) получим уравнение
Далее, сравнивая знаки величин F (
a)
и F (
x)
для рассматриваемого случая, приходим к выводу, что корень находится в интервале ( a,
x),
так как F (
a)
* F (
x) <0 (
условие существование корня). Отрезок [ x,
b]
отбрасываем и больше не рассматриваем. Следующая итерация состоит в определении нового приближения x n

как точки пересечения хорды АВ 1

с осью абсцисс и так далее. На рисунке 1 изображена геометрическая интерпретация нахождение решения методом хорд.
При решении уравнения методом хорд поводится прямая соединяющая концы отрезка [ a,b].
Из двух точек А
и В
выбирается х 0

. Находится точка пересечения хорды с осью OX. Определяется значение функции в точке пересечения и из найденной точки проводится новая хорда. Этот процесс повторяется до получения необходимой точности.
Формула для n-го приближения имеет вид ( х 0
=а,
x n
-1
=
b,
x n
=
x):

В методе хорд условием окончания итераций является:
условие близости двух последовательных приближений: ;
условие малости невязки (величина F (
x n
)
есть невязка, полученная на n
-й итерации, а -число, с заданной точностью которого необходимо найти решение).
Возьмем для исследования функцию и определим точность решения как =0,001.
Визуально определяем границы отрезка, на котором находится корень. Выделяем отрезок [ a,b],
( а= -0,45, b= -0,3).

1. Проверяем существование корня на отрезке по условию :
Убедимся, что функция принимает на концах указанных отрезков значения разных знаков
Условие выполнено, следовательно, на данном промежутке корень есть.
2. Далее исследуем функцию на монотонность:
Экстремумов на выбранном отрезке нет.
3. Проверяем функцию на единственность корня
На данном промежутке имеется только один корень
4. Выбор точки х 0

зависит от того совпадает ли её знак со знаком второй производной данной функции.
Из условия следует, что х 0
=
a=-0.45
, тогда за х 1
принимаем b - х 1
= b=-0.3
5. Исходя из графика мы приняли за x 0
=-0.45 и
x 1
=-0.3
. Найдем значение функции в этих точках:
Условие выполнено, необходимая точность достигнута. Итерационный процесс можно прекратить. Добиться указанной точности нам удалось на 4-ой проведенной итерации.
Возьмем для исследования функцию и определим точность решения как =0,001.
Визуально определяем границы отрезка, на котором находится корень. Выделяем отрезок [ a,b],
( а=-0,4, b=0,1).

1. Проверяем существование корня на отрезке по условию :
Убедимся, что функция принимает на концах указанных отрезков значения разных знаков
Условие выполнено, следовательно, на данном промежутке корень есть.
2. Далее исследуем функцию на монотонность:
Экстремумов на выбранном отрезке нет.
3. Проверяем функцию на единственность корня:
На данном промежутке имеется только один корень.
4) Выбор точки х 0

зависит от того совпадает ли её знак со знаком второй производной данной функции.
Из условия следует, что х 0
=
a=-0.4
, тогда за х 1
принимаем b - х 1
=
b=0.1

5. Исходя из графика мы приняли за x0=-0.4 и
x1=0.1
. Найдем значение функции в этих точках:
Условие выполнено, необходимая точность достигнута. Итерационный процесс можно прекратить. Добиться указанной точности нам удалось на 6-ой проведенной итерации.
Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что на k
-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y=
F (
x)
при х=
c k
-1

и ищется точка пересечения касательной с точкой абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [ a,
b],
содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корнях.
Уравнение касательной, проведенной к кривой y=
F (
x)
в некоторой точке с координатами х 0

и F (х 0
)
имеет вид:
Отсюда найдем следующее приближение корня х
как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у=0):

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных. Формула для n-го приближения имеет вид:
х
n
=х
n-1
-
F (х
n-1
) /
F’ (х
n-1
),
n=1,2,…

При этом необходимо, чтобы выполнялось условие F’ (х
n-1
) 0.

Для окончания итерационного процесса используются те же условия, что и в методе хорд.
Решим уравнение методом касательных:
х n
=х n-1
- F (х n-1
) /F’ (х n-1
) и
В качестве х 0
выбрали а
из условия, что значение функции в этой точке имеет такой же знак как и у второй производной на отрезке.
Условие выполнено, необходимая точность достигнута. Итерационный процесс можно прекратить. Добиться указанной точности нам удалось на 2-ой проведенной итерации.
Говоря о функции х= , - выбрав начальное приближение х 0
строится последовательность х п
стремящаяся к и условием сходимости здесь является , т.е. тангенс угла наклона касательной должен быть меньше 1 (угол должен составлять менее 45 градусов).
Решим уравнение методом касательных:
В качестве х0 выбрали а
из условия, что значение функции в этой точке имеет такой же знак как и у второй производной на отрезке.
Условие выполнено, необходимая точность достигнута. Итерационный процесс можно прекратить. Добиться указанной точности нам удалось на 4-ой проведенной итерации.
Как мы видим, на каждой итерации объем вычислений в методе касательных больший, чем в методе хорд, так как приходится находить не только функции F (х),
но и их производные. Однако скорость сходимости значительно выше в методе касательных.
Говоря о функции х= , - выбрав начальное приближение х 0
строится последовательность х п
стремящаяся к и условием сходимости здесь является , т.е. тангенс угла наклона касательной должен быть меньше 1 (угол должен составлять менее 45 градусов).
Теорема о сходимости метода простой итерации. Пусть в некоторой - окрестности корня функция дифференцируема и удовлетворяет неравенству , где - постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной - окрестности итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится со скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности:
Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор, пока не окажется выполненным неравенство
Если величина , то можно использовать более простой критерий окончания итераций:
Ключевой момент в применении метода простой итерации состоит в эквивалентном преобразовании уравнения. Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой итерации, состоит в следующем: исходное уравнение приводится к виду:
Предположим дополнительно, что производная знакопостоянна и на отрезке [ a,b].
Тогда при выборе итерационного параметра
Будем искать простой корень уравнения, находящийся на отрезке локализации [ -0.45,-0.3]:

Найдем корень с помощью встроенной функции root
:
Приведем уравнение к виду x= (x),
где
Максимальное по модулю значение производной итерационной функции достигается в левом конце отрезка:
Выполним итерации по расчетной формуле x=  (x):

Приведем уравнение к виду x=x-f (x),
где итерационная функция  (x) =x-f (x),

- итерационный параметр.
Максимальное и минимальное значения производной достигаются на концах отрезка:
Выполним итерации по расчетной формуле
Программная реализация итерационных методов
Рисунок 11 - Решение уравнения методом касательных и методом хорд
Интерполяция является одним из способов аппроксимации функции. Смысл аппроксимации заключается в том, что одна функция заменяется другой в некотором смысле близкой. Такая задача возникает по многим соображениям, в частности из-за удобства вычисления значений функции, вычисления производных и т.д.
Пусть в точках расположенных на отрезке [a, b] и попарно различных, задана таблица значений некоторой функции . Задача интерполяции состоит в построении функции φ (х), удовлетворяющей условию . При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т.е. при . Другими словами, ставиться задача о построении функции φ (х), график которой проходит через заданные точки . Указанный способ приближения функции принято называть интерполяцией (или интерполированием), а точки - узлами интерполяции.
Значение функции вычисляется, когда известны функция f. Но эти значения могут быть получены, например экспериментальным путем, как значение некой неизвестной функции.
Таким образом, близость интерполирующей функции (сплошная линия) к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек. Интерполирующая функция φ (х) может строиться сразу для всего рассматриваемого интервала измерения х или отдельно для разных частей этого интервала. В первом случае говорят о глобальной интерполяции, во втором - о кусочной (или локальной) интерполяции.
Рассмотрим случай глобальной интерполяции, т.е. построение интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка .
Будем искать интерполяционный многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n
:
При этом потребуем, чтобы каждый многочлен обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением одного ( i
-го), где он должен равняться единице. Этим условиям при i=0
отвечает многочлен вида:
Эта формула определяет интерполяционный многочлен Лагранжа.
Обратное интерполирование заключается в установлении зависимости .
Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции y
определить соответствующее значение аргумента x
.
Функция выглядит следующим образом:
Повышение точности приближения гладкой функции благодаря увеличению степени интерполяционного многочлена возможно, но связано с существенным повышением сложности вычисления. К тому же использование многочленов высокой степени требует специальных мер предосторожности уже при выборе формы их записи, и вычисления сопровождаются накоплением ошибок округления.
Поэтому на практике предпочитают кусочно-полиномиальную интерполяцию с использованием многочленов невысокой степени. Однако этот способ приближения имеет недостаток: в точках "стыка" двух соседних многочленов производная, как правило, имеет разрыв. Часто это обстоятельство не играет существенной роли. Вместе с тем нередко требуется, чтобы аппроксимирующая функция была гладкой и тогда простейшая кусочно-полиномиальная интерполяция становится неприемлемой.
Естественная потребность в наличии аппроксимирующих функций, которые сочетали бы в себе локальную простоту многочлена невысокой степени и глобальную на всем отрезке [a, b] гладкость, привела к появлению в 1946 г. так называемых сплайн - функций
или сплайнов -
специальным образом построенных гладких кусочно-многочленных функций. Получив в 60-х годах распространение как средство интерполяции сложных кривых, сплайны к настоящему времени стали важной составной частью самых различных вычислительных методов, и нашли широчайшее применение в решении разнообразных научно-технических и инженерных задач.
Дадим строгое определение сплайна. Пусть отрезок [a, b] разбит точками на n
частичных отрезков
. Сплайном степени т
называется функция ,
обладающая следующими свойствами:
функция
непрерывна на отрезке [a, b] вместе со всеми своими производными до некоторого порядка р
,
на каждом частичном отрезке
функция
совпадает с некоторым алгебраическим многочленом
степени m
.
Разность т - р
между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [a, b] производной называется дефектом сплайна.

Простейший пример сплайна дает непрерывная кусочно-линейная функция (рисунок 13), являющаяся сплайном первой степени ( линейным сплайном)
с дефектом, равным единице. Действительно, на отрезке [a, b] сама функция (
нулевая производная) непрерывна. В то же время на каждом частичном отрезке
совпадает с некоторым многочленом первой степени.
Рисунок 13 - Кусочно-линейная функция
Наиболее широкое распространение на практике получили сплайны
третьей степени ( кубические сплайны)
с дефектом, равным 1 или 2. Такие сплайны на каждом из частичных отрезков [ ] совпадают с кубическим многочленом:
и имеют на отрезке [a, b] по крайней мере одну непрерывную производную .

Полученный кубический сплайн в этом случае, очевидно, что не прерывен с первой производной, но непрерывность второй производной не гарантируется, т.е. дефект интерполяционного сплайна = 2. Если этот сплайн имеет непрерывную вторую производную на отрезке [a, b], т.е. имеет дефект 1, то такой сплайн носит название глобального.
Для построения глобального сплайна, т.е. сплайна с дефектом 1, необходимо начинать со второго узла, поставить условия непрерывности второй производной, т.е. вторая производная при подходе к точке 2 и дальше с лева (х1-0) должен равняться второй производной при подходе справа (х1+0). Такие равенства можем составить для всех внутренних узлов начиная с х1 до хn-1. Затем используем условия на края х0 и хn. Получим систему уравнений, которые и обеспечат дефект 1.
Очевидно, что при наличии S3 на соответствующих узлах, построение таких равенств не представляет особого труда.
Прировняв эти значения для определения m получим СЛАУ.
В двух крайних точках определяется i производных
Если функция задана ввиде таблиц, то для вычисления производныхиспользуеться результаты полученные при численном диференцировании порядок точности которых не ниже 3-ей степени.
Для исследования была взята функция:
Выберем значения узлов на отрезке [b, b+2] интерполяции и найдем значения функции в узлах:
В качестве X 1
возьмем точку между первым и вторым узлом:
В качестве Х 2
возьмем точку между четвертым и пятым узлом:
Построим график функции и интерполяционного многочлена:
Рисунок 14 - График функции и интерполяционного многочлена
Данный результат очень близок к найденным раннее решениям, методом хорд, касательных и простых итераций и совпадает с ними. Используя эти же узловые точки проведем обратную интерполяцию и определим значение х при у=0.
Значение производной в этих точках:
Используя формулу кубического сплайна получим:
Рисунок 15 - График функции и кубического сплайна
Используя формулу глобального сплайна получим:
Рисунок 16 - График функции и кубического и глобального сплайна
К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики. Методы решения линейных уравнений делятся на две группы - прямые и итерационные. Прямые методы используют конечные соотношения для вычисления неизвестных. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций. Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны. Но вместе с тем эти методы имеют ряд недостатков. Как правило, они требуют хранения в оперативной памяти компьютера сразу всей матрицы, и при больших значениях расходуется много места в памяти. Существенным недостатком прямых методов является также накапливание погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций.
Итерационные методы в этом отношении предпочтительнее. Они требуют хранения в памяти машины не всей матрицы системы, а лишь нескольких векторов с n
компонентами. Погрешности окончательных результатов при использовании итерационных методов не накапливаются, поскольку точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений. К итерационным методам относят метод простой итерации, метод Зейделя.
Этот метод широко используется для численного решения уравнений и их систем различных видов. Рассмотрим применение метода простой итерации к решению систем линейных уравнений.
Запишем исходную систему уравнений в векторно-матричном виде и выполним ряд тождественных преобразований:
Где - некоторое число, Е - единичная матрица, .
Получившаяся система эквивалентна исходной системе и служит основой для построения метода простой итерации.
Выберем некоторое начальное приближение и поставим в правую часть системы:
Поскольку не является решением системы, в левой части получится некоторый столбец , в общем случае отличный от . Полученный столбец будем рассматривать в качестве следующего (первого) приближения к решению. Аналогично, по известному k
-му приближению можно найти (k+1) - е приближение:
Эта формула и выражает собой метод простой итерации. Для ее применения нужно задать неопределенный пока параметр . От значения зависит, будет ли сходится метод, а если будет, то какова будет скорость сходимости
, т.е. как много итераций нужно совершить для достижения требуемой точности. В частности справедлива следующая теорема.
Теорема.
Метод простой итерации сходится тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы по модулю меньше единицы.
Для некоторых типов матрицы А можно указать правило выбора , обеспечивающее сходимость метода и оптимальную скорость сходимости. В простейшем случае можно положить равным некоторому постоянному числу, например, 1, 0.1 и т.д.
Этот метод можно проиллюстрировать на примере решения системы:
a 31

x 1
+
a 32

x 2
+
a 33

x 3
=
b 3


Предположим, что диагональные элементы a 11

, a
22

, a
33

отличны от нуля (в противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные х 1

, х 2

, х 3

соответственно из первого, второго и третьего уравнений системы:
Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизвестных: х 1
=х 1
(0),
х 2
=х 2
(0),
х 3
=х 3
(0).
Подставляя эти значения в правую часть выражения (‘1), получаем новое (первое) приближение для х 1

:
Используя это значение для х 1

и приближение х 3
(0)

для х 3

, находим из (‘2) первое приближение для х 2

:
И наконец, используя вычисленные значения х 1
=х 1
(1),

х 2
=х 2
(1),

находим с помощью выражения (‘3) первое приближение для х 3

:
На этом заканчивается первая итерация решения системы (‘1) (‘2) (‘3). Используя теперь значения х 1
(1),

х 2
(1),

х 3
(1),

можно таким же способом провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые приближения к решению х 1
=х 1
(2),

х 2
=х 2
(2),

х 3
=х 3
(2)

и т.д.
Приближение с номером с k
можно вычислить, зная приближение с номером k-1
, как
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х 1
(

k),

х 2
(

k),

х 3
(

k)

не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х 1
(

k-1),

х 2
(

k-1),
х 3
(

k-1).


Решим систему линейных уравнений методом простых итераций с точностью равной .
Выполним проверку на условие сходимости:
Условие выполнено, можно приступать к вычислению нулевого шага:
Проверим выполняется ли условие остановки итерационного процесса:
Сходимость в сотых долях имеет место уже на 4-ом шаге, тогда можно принять:
Решим ту же систему линейных уравнений методом Зейделя с той же точностью: .
Проверку на условие сходимости мы выполнили ранее, при решении методом простых итерации.
Условие сходимости выполнено на 3-ем шаге.
Рисунок 17 - Решение системы уравнений методом простых итераций.
Рисунок 18 - Решение уравнения методом Зейделя
Необходимость численного дифференцирования может возникнуть при необходимости исследований функций заданных табличным образом, кроме тех случаев, когда вычисление производной численно может оказаться проще, чем дифференцирование. Предположим, что в окрестности точки x i
функция F (x) дифференцируема достаточное число раз. Исходя из определения производной:
используем для её вычисления две приближенные формулы:
Формулы (1) и (2) называют правыми и левыми разностными производными.
Для оценки погрешностей формул численного дифференцирования используется формула Тейлора:
Выражение (3) имеет погрешность порядка (x-x i
), следовательно, формулы правых и левых разностных производных имеют погрешность одного порядка с h, где h=x i
-x i
-1

Такая точность достаточно невысока, поэтому применяется так называемая центрально-симметричная форма производной, погрешность которой одного порядка с h 2

Хотя очевидно, что формула (4) используется для внутренних точек отрезка.
Вычислим производную функции f (x) =sin (x) в одной из них двумя способами.
По центрально-симметричной формуле:
По формуле левой разностной производной:
Табличное значение =cos ( ) =0.8660, т.е. значение производной, полученное по центрально-симметричной формуле ближе к истинному.
В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла
Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.
Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки в соответствующем отрезке.
В зависимости от выбора мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6)
b, a - концы рассматриваемого отрезка.
Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0, ] на 6 равных отрезков:
А результат полученный аналитически равен
Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.
Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y (x). Их можно записать в виде
Наивысший порядок n входящей в уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения.
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.
Графические методы используют геометрические построения.
Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.
Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.
Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями. При этом необходимо подчеркнуть, что данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных компьютеров.
Простейшим численным методом решения задачи Коши для ОДУ является метод Эйлера. Рассмотрим уравнение в окрестностях узлов (i=1,2,3,…) и заменим в левой части производную правой разностью. При этом значения функции узлах заменим значениями сеточной функции :
Полученная аппроксимация ДУ имеет первый порядок, поскольку при замене на допускается погрешность .
Будем считать для простоты узлы равноотстоящими, т.е. Тогда из равенства получаем
Поэтому представляет собой приближенное нахождение значение функции в точке при помощи разложения в ряд Тейлора с отбрасыванием членов второго и более высоких порядков. Другими словами, приращение функции полагается равным её дифференциалу.
Полагая i=0, с помощью соотношения находим з значение сеточной функции при :
Требуемое здесь значение задано начальным условием , т.е.
Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:
Построенный алгоритм называется методом Эйлера
Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке. Изображены первые два шага, т.е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках . Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения уравнения . При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку А (x 0
,y 0
). Точки B,C получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок АВ - отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон характеризуется значением производной . Погрешность появляется потому, что приращение значения функции при переходе от х 0
к х 1
заменяется приращением ординаты касательной к кривой 0 в точке А. Касательная ВС уже проводится к другой интегральной кривой 1. таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге приближенное решение переходит на другую интегральную кривую.
Рассмотрим уравнение в окрестностях узлов . В левой части уравнения заменим производную центральной разностью
а правую часть оставим без изменений:
Приближенное значение функции в точке вычислим с помощью метода Эйлера:
Данный метод имеет второй порядок точности.
Поправка Ричардсона R i
для метода Эйлера:
Поправка Ричардсона R i
для метода Рунге-Кутта:
В ходе выполнения курсовой работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как итерация, интерполяция, численное дифференцирование и интегрирование, а также метод Эйлера.
В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.
Для более глубокого анализа численных методов мы использовали средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.
1. Р.Ф. Хемминг "Численные методы (для научных работников и инженеров)". - Москва, 1972.
2. А.А. Амосов, А.Ю. Дубинский, Н.В. Копченова "Вычислительные методы для инженеров". - Москва, "Высшая школа", 1994.
3. Ф.В. Формалев, Д.Л. Ревизников "Численные методы". - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
4. Ю. Тарасевич "Численные методы на MathCAD’e". - Астраханский гос. пед. ун-т: Астрахань 2000.

Название: Сравнительный анализ численных методов
Раздел: Рефераты по информатике
Тип: курсовая работа
Добавлен 15:12:28 12 декабря 2010 Похожие работы
Просмотров: 175
Комментариев: 14
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Курсовая работа: Сравнительный анализ численных методов
Сочинение На Тему День В Цирке
Курсовая работа: Ассортимент и технология лекарственных форм в условиях больничной аптеки
Реферат по теме Функции и квалификация менеджера
Контрольная Работа По Биологии Скелет Человека
Сочинение По Обществознанию 5 Класс Моя Семья
Современные Неологизмы Реферат
Как Сделать Сочинение О Маме 4 Класс
Реферат по теме Механізми раннього ембріонального розвитку
Курсовая работа по теме Методические особенности использования задач с экологическим содержанием на уроках органической химии в средней школе
Реферат по теме Рускеальские мраморные каменоломни
Сочинение Про Бабушку 5 Класс По Русскому
Доклад по теме Техника "констелляции греческих божеств" как метод психодрамы
Реферат: Разработка простого приложения Delphi
Реферат: Судження 2
Реферат: Imagery Diciton And Theme Essay Research Paper
Реферат по теме Технологическая революция 60-х-90-х гг
Как Писать Итоговое Сочинение По Русскому Егэ
Геометрия Контрольная Работа 8 Класс Подобие
Реферат Анализ Текста
Химия 10 Класс Рудзитис Контрольная Работа 1
Дипломная работа: Классификация прав потребителей и их защита
Сочинение: Исторические судьбы России в поэме А. С. Пушкина Медный всадник 2
Изложение: Краткое содержание книги «Разбойники» Ф.Шиллера