Курсовая работа: Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Министерство образования Республики Беларусь
"Гомельский государственный университет
Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

1. Характеристические показатели Ляпунова
2. Теорема Ляпунова. Спектр системы
В данной курсовой работе рассматривается линейная стационарная система.
Линейной стационарной системой называется система вида
Общее решение линейной стационарной системы имеет вид
) - фундаментальная матрица (иными словами, фундаментальная система решений, записанная в виде матрицы), то есть матрица, состоящая из n линейно независимых ее решений
Цель курсовой работы - найти спектр этой системы.
Множество всех собственных характеристических показателей решений дифференциальной системы называется ее спектром.
Таким образом, главная задача курсовой работы - найти различные характеристические показатели Ляпунова заданной линейной стационарной системы.
Рассмотрим следующую линейную стационарную систему
Найдем общее решение этой системы. Для этого решим ее методом исключения.
Продифференцировав первое уравнение системы (1) и пользуясь вторым, получим
Решим полученное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (2). Для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Так как характеристическое уравнение имеет два сопряженных корня λ =i и λ =-i, то общее решение линейного уравнения (2) имеет вид
Подставим значение y в первое уравнение системы (1), получим
Тогда общее решение системы (1) имеет вид
Составим фундаментальную систему решений системы (1).
Определение1

[2,c.482]. Фундаментальной системой решений в интервале (a,b) называется совокупность n решений однородной системы, определенных и линейно независимых в этом интервале.
Положим c =1,c =0. Подставим значения c и c в общее решение системы. Получим
Пусть теперь c =0,c =1. Тогда получим
Эти решения системы (1) запишем в виде матрицы
Покажем, что найденные решения составляют фундаментальную систему решений.
Для этого воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 1

[2, c.480]. Если n решений линейной однородной системы линейно независимы в интервале (a,b), то их вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. Составим и вычислим вронскиан решений системы (1):
Итак, вронскиан решений системы (1) не обращается в нуль ни в одной точке интервала (−∞; + ∞), значит, найденные решения системы (1) являются линейно независимыми в интервале (−∞; + ∞) (по теореме1) и составляют фундаментальную систему решений (по определению1).
Вычислим характеристические показатели матриц x и x . Приведем определение характеристического показателя.
Определение2

[1,c.125]. Число (или символ −∞ или + ∞), определяемое формулой
называется характеристическим показателем Ляпунова.
Лемма

[1, c.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы F (t) совпадает с характеристическим показателем ее нормы.
Согласно леммы и определения1 характеристические показатели матриц X и X будем вычислять по следующей формуле
Определение3

[1,c. 20]. Нормой матрицы А= [a ] называется неотрицательное число , удовлетворяющее следующим условиям:
3) где A,B-любые матрицы, допускающие сложение;
4) где A,B-любые матрицы, допускающие умножение;
эти нормы имеют соответственно, следующие значения:
При вычислении норм матриц x и x воспользуемся формулой (4).
Выясним, является ли фундаментальная система решений линейной стационарной системы (1) нормальной фундаментальной системой. Для этого воспользуемся следующей теоремой и определением4.
Теорема Ляпунова

(о нормальности фундаментальной системы) [1,c.142]. Фундаментальная система линейной системы является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.
Определение4

[1,c.142]. Система ненулевых векторов функций обладает свойством несжимаемости, если характеристический показатель любой существенной их комбинации
где − постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, то есть имеем
Возьмем произвольную линейную комбинацию векторов
Произведем арифметические действия над векторами x и x . Тогда равенство (5) примет вид
Вычислим характеристический показатель линейной комбинации векторов (6).
Итак, характеристический показатель линейной комбинации векторов совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений x и x , значит, система векторов x и x обладает свойством несжимаемости (по определению4) Следовательно, фундаментальная система решений линейной стационарной системы (1) является нормальной фундаментальной системой (по теореме Ляпунова).
Воспользуемся определением и следствием из теоремы Ляпунова.
Определение5

[1,c.137]. Спектром называется множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от −∞ и +∞) решений дифференциальной системы.
Следствие

[1,c.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.
Согласно определения5 и следствия из теоремы Ляпунова спектр стационарной системы (1) равен
Таким образом, в процессе исследования линейной стационарной системы мы выяснили, что ее фундаментальная система решений является нормальной фундаментальной системой; нормальная фундаментальная система решений реализует весь спектр дифференциальной системы; спектр рассмотренной линейной стационарной системы равен .
1. Б.П. Демидович "Лекции по математической теории устойчивости"-М.: Наука, 1967г., 465 c.
2. Н.М. Матвеев "Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений"-М.: Высшая школа, 1967г., 564 с.

Название: Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа
Добавлен 01:58:32 20 августа 2009 Похожие работы
Просмотров: 139
Комментариев: 22
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Курсовая работа: Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы
Нумеруется Ли Титульный Лист В Реферате
Сочинение По Произведениям Куприна И Бунина
Темы Диссертаций По Мировой Экономике
Отчет В Саду Практике
Реферат: Опpичнина. Скачать бесплатно и без регистрации
Сочинение Про Друга На Английском Языке
Реферат: Операция Богомол
Доклад по теме Томалогия - новое направление в психологии
Реферат: История возникновения и развития современного олимпийского движения. Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная работа по теме Працездатність людини і шляхи її підвищення на виробництві
Курсовая Работа Менеджмент Управление Человеческими Ресурсами
Реферат по теме Современные научные концепции человек и его места в мире
Курсовая Работа Вещества Способствующие Увеличению Срока Годности
Реферат: Проблеми організації і планування маркетингових досліджень на підприємстві
Курсовая работа: Разработка объемного гидропривода машины
Реферат: Business Planning Essay Research Paper PLANNING FOR
Маленькое Сочинение На Тему Слава Науке
Дипломная работа: Особенности управления финансами в отделах образования
Доклад по теме Ительмены
Доклад по теме Сведение midi и wave композиций в cakewalk pro audio 6.0
Реферат: Нарушения ритма сердца
Реферат: Особенности развития малых предприятий в России
Реферат: Проект консультационной службы