Курсовая работа: Определение дуальных и двойных чисел

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

В настоящее время различные виды комплексных чисел изучаются довольно интенсивно. С учением о комплексных числах связаны важные, не решённые до сегодняшнего дня задачи, над которыми работают учёные во многих странах.
Все системы самых общих комплексных чисел фактически сводятся к следующим трём различным системам: обыкновенные комплексные числа, дуальные числа, двойные числа.
Обыкновенные комплексные числа тесно связаны с вопросом о решении уравнений второй и высших степеней, они играют основную роль в алгебре и во многих разделах математического анализа. Дуальные же и двойные числа не имеют никакого отношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и вообще сравнительно мало связаны с алгеброй. Основные применения эти числа находят в геометрии (некоторые применения эти системы комплексных чисел находят также в теории чисел).
Основные применения двойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского и к некоторым другим геометриям, отличным от привычной геометрии Евклида (например, к так называемой псевдоевклидовой геометрии, играющей фундаментальную роль в физической теории относительности).
В нашей работе исследуются дуальные и двойные числа, а также применение этих чисел в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.
Глава
I
. Определение дуальных и двойных чисел

Сложение, вычитание и умножение дуальных чисел определяется формулами:
Последняя из этих формул показывает, что произведение дуального числа на другое число будет вещественным лишь в том случае, когда ; если , то последнее равенство можно записать в виде . Вещественным, в частности, является произведение чисел и :
Число называют сопряжённым числу (и обратно, сопряжено ); корень квадратный из произведения (совпадающий с полусуммой сопряжённых чисел и ) называют модулем дуального числа и обозначают через (отметим, что модуль дуального числа может быть и отрицательным). Сумма двух сопряжённых чисел является вещественной; разность является числом чисто мнимым (т.е. отличается от лишь вещественным множителем). Заметим ещё, что, в полной аналогии с обыкновенными комплексными числами, дуальное число тогда и только тогда совпадает со своим сопряжённым , когда оно является вещественным. Также и справедливые для комплексных чисел формулы (3)
полностью остаются в силе для дуальных чисел.
Правило деления на дуальное число мы теперь можем записать так:
Отсюда видно, что для возможности деления на дуальное число необходимо, чтобы модуль этого числа был отличен от нуля; при этом, в противоположность обыкновенным комплексным числам, дуальное число нулевого модуля само может быть отличным от нуля. В тех случаях, когда невозможность деления на числа нулевого модуля явится для нас затруднением, мы будем считать, что частные и являются числами новой природы, которые условимся обозначать через и ; введём также в рассмотрение всевозможные числа вида , где вещественно. Тогда любое дуальное число будет иметь обратное:
Правила действий над символом определяются следующими формулами:
здесь - произвольное число, причём в среднем равенстве , а во втором и в двух последних ( в этих формулах может быть и числом вида ); правила действий над числами определяются так:
тогда для расширенного (введением чисел , ) множества дуальных чисел сохраняет силу равенство и все правила (3).
Число нулевого модуля можно характеризовать тем, что существует отличное от нуля дуальное число , равное , произведение которого на число равняется нулю:
Поэтому эти числа называют делителями нуля.
Дуальные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа:
Здесь есть модуль числа , а отношение называется аргументом этого числа и обозначается через Arg
z
( r
может быть произвольным вещественным числом, отличным от нуля; - произвольным вещественным числом). Очевидно, что вещественные числа характеризуются равенством нулю их аргумента; сопряжённые дуальные числа и имеют одинаковый модуль r
и противоположные аргументы и .
Форма (8) записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходится перемножать или делить. Действительно,
следовательно, модуль произведения двух дуальных чисел равен произведению модулей сомножителей [1]
, а аргумент произведения - сумме аргументов. Отсюда вытекает, что модуль частного двух дуальных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного – разности соответствующих аргументов:
Наконец, из этих правил выводятся также и законы, позволяющие возвышать дуальное число в любую степень и извлекать из него корень:
(из последней формулы вытекает, что корень нечётной степени из дуального числа при определяется однозначно; корень же чётной степени не существует, если r
<0, и имеет два значения, если r
>0 [2]
).
В полной аналогии со всем изложенным выше назовём двойные числа и сопряжёнными, если они имеют вид
Сумма и произведение сопряжённых двойных чисел вещественны; корень квадратный из числа , знак которого совпадает со знаком большего по абсолютной величине из вещественных чисел a
и b
, называется модулем числа и обозначается через . Легко проверить, что для двойных чисел остаются в силе все формулы (3); кроме того, ясно, что равенство характеризует вещественные числа , а равенство - чисто мнимые числа .
Сложение, вычитание, умножение и деление двойных чисел определяются формулами
Отсюда следует, что и здесь деление на возможно лишь в тех случаях, когда . Двойные числа , модуль которых равен нулю, называются делителями нуля (заметим, что ). В некоторых случаях оказывается удобным считать частные , и числами новой природы; при этом оказывается необходимым ещё расширить понятие двойного числа, введя дополнительно произведения и новых чисел и на всевозможные вещественные числа c
и частные и . Правила действия над символами , , , и определяются формулами (5) и рядом соотношений, родственных (6), например:
что обеспечит выполнение для расширенного указанным образом множества двойных чисел равенства и всех соотношений (3).
Двойные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, аналогичной форме (8) записи дуальных чисел. Пусть - модуль двойного числа; далее
Из определения модуля следует, что и что большая (по абсолютной величине) из дробей и положительна. Отсюда вытекает, что
где есть некоторое число (определённое формулами (14)), а и – гиперболический косинус и гиперболический синус аргумента .
величина называется аргументом двойного числа z
и обозначается через Arg
z
[3]
.
Форма (15) записи двойных чисел очень удобна в тех случаях, когда приходится перемножать два или несколько двойных чисел. Действительно, из формул сложения гиперболических функций следует, что
Таким образом, модуль произведения двух двойных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов; при этом произведение имеет первую или вторую из форм (15) в зависимости от того, имеют ли сомножители одну и ту же или разные формы. Из формул (16) сразу вытекают правила деления двойных чисел:
Из формул (16) получаются также правила, позволяющие возводить двойное число в любую целую положительную степень n
и извлекать из него корень степени n
:
2.1 Дуальные числа как ориентированные прямые плоскости.

Две ориентированные прямые будем называть параллельными лишь в том случае, если они параллельны в обычном смысле и направления этих прямых совпадают (рис. 1, а); параллельные прямые противоположных направлений будем называть противопараллельными (рис. 1, б).
Под расстоянием от прямой a
до не пересекающей её прямой b
будем понимать ориентированное расстояние { a
,
b
} от a
до b
, т.е. ориентированное расстояние от произвольной точки прямой a
до прямой b
; очевидно, что { a
,
b
}= -
{ b
,
a
}, если a
и b
параллельны, и { a
,
b
}={ b
,
a
}, если a
и b
противопараллельны.
Полярные координаты точек плоскости определяются заданием некоторой точки O
(полюса системы координат) и проходящей через O
ориентированной прямой o
(полярной оси); координатами точки M
служат расстояние r
=
OM
этой точки от полюса и угол ={ o
,
m
}, образованный с o
ориентированной прямой m
, соединяющей O
и M
.
Аналогично этому можно определить полярные координаты ориентированных прямых плоскости, для задания которых надо также указать некоторую ориентированную прямую o
(полярную ось) и лежащую на o
точку O
(полюс); координатами прямой l
служат угол ={ o
,
l
}, образованный l
с полярной осью o
, и ориентированное расстояние s
=
{ O
,
L
} от O
до точки L
пересечения l
и o
(рис. 2,а). Очевидно, что координата s
ориентированной прямой l
может иметь любое значение, заключённое между и ; координата – любое значение, заключённое между 0 и 2 . Естественно считать, что =0 для прямых, параллельных полярной оси o
, и = для прямых, противопараллельных o
; если прямая не пересекает оси o
, то координаты s
она не имеет (можно считать, что в этом случае ).
Условимся сопоставлять ориентированной прямой l
с полярными координатами и s
дуальное число
(рис. 2). При этом параллельным o
прямым, для которых =0, естественно относить числа нулевого модуля, т.е. делители нуля . Чтобы установить точное соответствие между параллельными o
прямыми и делителями нуля, заметим, что расстояние d
=
{ O
,
l
} не параллельной o
прямой l
от полюса O
равно
(рис. 2, а). Чтобы формула (20) сохранила силу и для параллельной o
прямой m
, отстоящей от o
на расстоянии { o
,
m
} =
d
, то этой прямой нужно сопоставить число
Двум пересекающим o
прямым l
и l
, отличающимся только направлением и, следовательно, имеющим полярные координаты ( ) и ( ), отвечают дуальные числа
Считая, что это соотношение сохраняет силу и для прямых, не пересекающих o
, условимся относить противопараллельной o
прямой m
, отстоящей от o
на расстоянии { o
,
m
}= d
, число
(заметим, что если расстояние { o
,
m
} от o
до параллельной o
прямой m
, совпадающей по положению на плоскости с прямой m
, равно d
, то d
=-
d
). Прямой o
, отличающейся только направлением от полярной оси o
(противооси), мы сопоставим число .
Тем самым мы устанавливаем полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, включая сюда также и числа вида w
, где w
0 вещественно, и число .
Очевидно, что вещественным числам отвечают проходящие через полюс O
прямые; числам модуля 1 – перпендикулярные o
прямые; чисто мнимым числам v
(числам нулевого модуля) и числам бесконечного модуля w
отвечают параллельные и противопараллельные оси o
прямые. Сопряжённым числам и отвечают прямые симметричные относительно полюса O
; противоположным числам и – прямые, симметричные относительно полярной оси o
(т.е. прямые, пересекающие o
в одной и той же точке L
и образующие с o
равные углы { o
,
z
}= { -
z
,
o
}; см. рис. 2, б); числам z
и отвечают прямые, отличающиеся только направлением. Таким образом, равенства
можно понимать как записи определённых преобразований в множестве ориентированных прямых плоскости: симметрии относительно точки O
, симметрии относительно прямой o
и переориентации (изменения направления всех прямых плоскости на противоположное).
Выясним теперь, как записываются с помощью дуальных чисел произвольные движения (к числу которых отнесём и переориентацию, также не меняющую расстояний между точками плоскости).
Параллельный перенос вдоль o
на расстояние t
переводит прямую, которой отвечает дуальное число
(рис. 3, а). Отсюда вытекает, что этот параллельный перенос можно записать так:
Параллельный перенос на расстояние t
в направлении, перпендикулярном o
, переводит прямую
Последнюю формулу можно записать в более изящном виде. Заметим, что
таким образом, рассматриваемый параллельный перенос записывается формулой
Отсюда вытекает, что произвольный параллельный перенос, т.е. перенос на расстояние t
в направлении o
и на расстояние t
в направлении l o
, записывается формулой
или, если ввести обозначение (т.е. ) и воспользоваться тем, что , , , формулой
Перейдём теперь к вращениям плоскости. Очевидно, что поворот вокруг O
на угол переводит прямую в прямую , где (рис. 4). Таким образом,
(здесь используется то, что если z
и z
–
дуальные числа, то , и ). Далее, если d
и d
′– расстояния прямых z
и z
′ отполюса , то
Из (24) и (24а) следует, что наше вращение записывается формулой
Наконец, самое общее движение представляет собой поворот (25) вокруг O
на некоторый угол , причём это вращение может сопровождаться ещё параллельным переносом (33):
В другом виде это преобразование можно записать так:
Возможно, также, что исходное движение представляет собой симметрию (21б) относительно прямой o
, сопровождаемую преобразованием (36а) (вращением вокруг O
и параллельным переносом):
Наконец, движение может представлять собой переориентацию (21в), сопровождаемую одним из преобразований (36а) или (36б):
Очевидно, что ориентированный угол { } между прямыми и равен (рис. 5, а)
Полученный результат можно также представить в следующей симметричной форме:
Найдём теперь ориентированное расстояние d
={[ ],[ ]} между точками [ ] и [ ] пересечения определённой прямой с двумя другими прямыми и (рис. 5, б). Очевидно, что расстояние d
между точками пересечения прямой o
с прямыми и равно
Пример движения, переводящего данную прямую в прямую o
, даётся формулой
это движение переводит прямые и в прямые и . Отсюда получаем
Условием того, что прямые , и пересекаются в одной точке, является равенство нулю расстояния между точками пересечения и с , т.е., в силу формулы (28), вещественность отношения .
Это условие можно переписать ещё так:
Следовательно, “уравнение точки”, т.е. условие, которому удовлетворяют прямые , проходящие через одну точку [ ], имеет вид
Найдём теперь условие того, что четыре ориентированные точки , , и принадлежат одной ориентированной окружности. При этом под ориентированной окружностью мы здесь понимаем совокупность всех ориентированных прямых l
, ориентированное расстояние { O
,
l
} которых от данной точки O
(центра окружности) имеет фиксированное значение r
. Число r
называется радиусом окружности; таким образом, радиус ориентированной окружности может быть как положительным, так и отрицательным. Из определения ориентированного расстояния { O
,
l
} от точки O
до прямой l
следует, что радиус ориентированной окружности будет положительным, если направление обхода противоположно направлению вращения часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.
Можно показать, что четыре ориентированные прямые , , и в том и только в том случае принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку, если
{[ ],[ ]} {[ ],[ ]}={[ ],[ ]} {[ ],[ ]}. (31)
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рис. 33, на котором изображены четыре ориентированные касательные , , и ориентированной окружности S
, касающиеся S
соответственно в точках M
, N
, P
и Q
; точки [ ], [ ], [ ] и [ ] обозначены через A
, B
, C
и D
. При этом, очевидно, имеем
{ A
, B
} { C
, D
}={ A
, P
} { P
, B
} { C
, Q
} { Q
, D
}
{ D
, A
} { B
, C
}={ D
, M
} { M
, A
} { B
, N
} { N
, C
}
В силу известного свойства касательных к окружности
{ A
, P
}={ M
, A
}, { P
, B
}={ B
, N
}, { C
, Q
}={ N
, C
}, { Q
, D
}={ D
, M
},
значит, во всех случаях выполняется условие (31)
{ A
, B
} { C
, D
}={ D
, A
} { B
, C
}.
Нетрудно убедиться и в том, что если равенство (31) имеет место, то четыре прямые , , и принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку.
Воспользовавшись теперь формулой (28), мы можем переписать условие (31) следующим образом:
или, несколько упростив левую часть последнего равенства и преобразовав правую,
Таким образом, равенство (31) можно переписать в следующей простой форме:
Дуальное число естественно называть двойным отношением четырёх прямых , , и ; обозначать его будем символом W
( , , , ). Таким образом, условием того, что четыре прямые , , и принадлежат одной ориентированной окружности (ненулевого радиуса или окружности радиуса нуль – точке), является вещественность двойного отношения W
( , , , )= этих четырёх прямых.
Последнему условию можно придать вид:
откуда вытекает, что уравнение ориентированной окружности (которая в частном случае может оказаться и точкой), определяемой тремя данными прямыми , , и , имеет вид
Таким образом, уравнение каждой ориентированной окружности (или точки) можно записать в форме (35):
Нетрудно проверить, что и, обратно, уравнение (35) всегда выражает окружность (или точку).
2.2 Двойные числа как ориентированные прямые плоскости Лобачевского

В полной аналогии с пунктом 2.1 ориентированным прямым плоскости Лобачевского можно сопоставить двойные числа. А именно, введём, как в пункте 2.1, полярную систему координат для прямых и отнесём каждой пересекающей полярную ось o
ориентированной прямой l
, имеющей полярные координаты , s
, двойное число
а расходящейся с o
прямой m
, направленной в ту же сторону, что и o
от их общего перпендикуляра PQ
, – число
где d
={ m
, o
}={ P
, Q
} – кратчайшее ориентированное расстояние между прямыми m
и o
, т.е. ориентированное расстояние от o
проекции P
на прямую m
общего перпендикуляра прямых m
и o
, s
’={ O
, Q
} – ориентированное расстояние от полюса O
системы координат до проекции Q
общего перпендикуляра на o
(рис. 6).
Далее, так как из формулы (37) вытекает, что двум пересекающим o
прямым l
и l
, отличающимся только направлением, соответствуют двойные числа
то прямой m
, отличающейся только направлением ототвечающей числу (37а) расходящейся с o
прямой m
, сопоставим число
Прямые, параллельные оси o
, можно рассматривать как предельный случай пересекающих o
прямых, отвечающий равенству нулю угла , или как предельный случай расходящихся с o
прямых, отвечающий равенству нулю расстояний d
.
Так как из формул (37) и (37а) следует, что , соответственно , то естественно отнести параллельным o
прямым, направленным в ту же сторону, что и o
, делители нуля, т.е. числа вида . При этом прямым, параллельным o
в положительном или отрицательном направлении, отвечают числа , для которых или , т.к. из (37) и (37а) вытекает, что соотношение равносильно равенству или , а соотношение – равенству или . Из формул неевклидовой тригонометрии следует, что ориентированное расстояние p
={ O
, l
} от полюса O
до пересекающей o
прямой l
(рис. 6), отвечающей двойному числу , находится из соотношения
Поэтому двум параллельным o
прямым n
и n
'
, удалённым от O
на расстояние { O
, n
}={ O
, n
'
}= p
, надо отнести числа (где ), для которых , т.е. числа
Наконец, исходя из соотношения , связывающего двойные числа z
и z
, отвечающие пересекающим ось o
или расходящимся с o
прямым, отличающимся одна от другой лишь направлением, сопоставим противопараллельным o
прямым n
и n
(т.е. прямым, параллельным o
и противоположно направленным), удалённым от O
на расстояние { O
, n
}={ O
, n
}= p
, числа
где и – числа, обратные делителям нуля: , (если n
и n
– две прямые, отличающиеся только направлением, то p
=
{ O
, n
}=–{ O
, n
}=– p
). Полярной оси o
и противооси o
(т.е. прямой, отличающейся от o
только направлением) сопоставим числа 0 и ∞.
Пока у нас не отвечают никаким прямым такие двойные числа z
, что (т.к. и ни при каком d
).
Чтобы распространить соответствие между прямыми плоскости Лобачевского и двойными числами на все числа, введём в рассмотрение бесконечно удалённые прямые плоскости Лобачевского, которые можно представить, как касательные к абсолюту модели Клейна (рис. 7). Эти прямые не имеют ориентации.
Такая прямая k
, не параллельная o
(т.е. отличная от касательных к в точках пересечения с o
), характеризуется тем, что d
={ k
, o
}= ; при этом следует считать, что d
= , если отвечающая k
бесконечно удалённая точка S
плоскости Лобачевского расположена справа от o
, и d
=– в противном случае. Общим перпендикуляром k
и o
естественно считать прямую SQ
, перпендикулярную o
; при этом величина s
'=
{ O
, Q
} может принимать любое значение и соответственно этому каждому двойному числу , такому, что , можно сопоставить определённую бесконечно удалённую прямую k
. Бесконечно удалённым прямым i
и i
, параллельным o
(рис. 7), сопоставим числа и .
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел (дополненным числами , , , и ). При этом прямые l
, пересекающие полярную ось o
, отвечают двойным числам , для которых , т.е. числам, изображаемым на ( u
, v
)‑плоскости точками области, помеченной на рис. 8 цифрой I. Прямые m
, расходящиеся с o
и направленные в ту же сторону, что и o
, от общего перпендикуляра o
и m
, отвечают числам z
, для которых , т.е. числам, изображаемым на рис. 8 точками области II. Расходящиеся с o
прямые m
, направленные в противоположную по сравнению с o
сторону от общего перпендикуляра m
и o
, отвечают числам z
, для которых , т.е. числам, изображаемым точками области III. Наконец, параллельные o
прямые n
отвечают числам нулевого модуля, изображаемым двумя прямыми , а противопараллельные o
прямые n
отвечают числам , (эти числа не имеют изображений на ( u
, v
)‑плоскости); бесконечно удалённые прямые k
отвечают таким числам z
, что , т.е. числам, изображаемым точками гиперболы , и ещё двум числам , .
Очевидно, что как и в случае евклидовой плоскости, соотношения
выражают симметрию относительно точки O
, симметрию относительно прямой o
и переориентацию (изменение направлений всех прямых на обратное). Произвольные движения, как можно показать, выражаются здесь теми же формулами, что и в евклидовом случае:
только в качестве переменных z
'
, z
и коэффициентов P
, Q
здесь фигурируют не дуальные, а двойные числа, в связи с чем следует дополнительно потребовать, чтобы выражение было положительно (если P
и Q
– дуальные числа, то последнее условие выполняется автоматически, т.к. произведения и не могут быть отрицательны). Также и ориентированный угол { z
, z
} между прямыми z
и z
и ориентированное расстояние d
={[ z
z
],[ z
z
]} между точками пересечения прямых z
и z
с прямой z
определяются формулами (27) и (28):
Из (28) следует, что условием того, что три прямые z
, z
и z
пересекаются в одной точке, является вещественность отношения . Отсюда вытекает, что уравнение точки неевклидовой геометрии Лобачевского имеет вид
Циклом множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского следует называть:
а)–в) совокупность прямых, касающихся ориентированного цикла, т.е. окружности, предельной линии или эквидистанты;
г) пучок равного наклона, т.е. пучок всех ориентированных прямых, образующих постоянный ориентированный угол с фиксированной осью пучка;
д) параллельный пучок, т.е. пучок всех прямых, параллельных в обоих направлениях фиксированной оси пучка;
е) неориентированную бесконечно удалённую окружность .
При таком понимании термина цикл мы получаем, что необходимым и достаточным условием того, что четыре ориентированные прямые z
, z
, z
и z
плоскости Лобачевского принадлежат одному циклу, является вещественность двойного отношения этих четырёх прямых. Отсюда снова вытекает, что уравнение каждого цикла можно записать в форме:
Чтобы решить, является ли цикл (35) окружностью, предельной линией, эквидистантой, параллельным пучком или пучком постоянного наклона, надо выяснить, сколько общих прямых имеет этот цикл с бесконечно удалённой окружностью (абсолютом) (т.е. сколько решений имеет система , ) и будет ли вещественным или мнимым угол (27) между двумя соседними прямыми цикла. Воспользовавшись этим, получаем:
цикл (35) является окружностью, если
цикл (35) является предельной линией, если
цикл (35) представляет собой абсолют , если
Точку (обыкновенную, бесконечно удалённую или идеальную) уравнение (35) выражает в том случае, если имеет место соотношение:
В нашей работе мы определили операции сложения, вычитания и умножения для дуальных чисел, дали определение модуля и сопряжённого числа, вывели правило деления на дуальное число, расширив множество дуальных чисел, ввели определение делителя нуля, представили запись дуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа, и вывели законы, позволяющие возводить дуальное число в любую целую положительную степень n

и извлекать из него корень степени n

. Аналогичным образом определили двойные числа и действия над ними. Введя на плоскости полярную систему координат, установили полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, с помощью дуальных чисел записали все виды движений, нашли условие того, что четыре ориентированные точки принадлежат одной ориентированной окружности, и, пользуясь этим условием, вывели уравнение ориентированной окружности. В полной аналогии с изложенным выше установили взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел и вывели формулы для записи движений. Также мы дали определение цикла множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и получили необходимое и достаточное условие принадлежности одному циклу четырёх прямых плоскости Лобачевского.
Эти результаты могут быть приложены к доказательству многих теорем евклидовой геометрии и неевклидовой геометрии Лобачевского. При этом использование дуальных и двойных чисел во многом упрощает доказательство различных теорем.
Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. – М.: Физматгиз, 1963
Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. – М.: Наука, 1979
[1]
Это утверждение остаётся в силе и в том случае, когда модуль одного или обоих сомножителей равен нулю (т. к. если , то и ; так, например, ).
[2]
Нетрудно видеть, что корень целой степени n
>1 из дуального числа , модуль которого равен нулю (из числа, являющегося делителем нуля), извлечь нельзя.
[3]
В некоторых случаях удобно считать, что аргумент двойных чисел, имеющих вторую из форм (15), является обыкновенным комплексным числом
Это соглашение удобно тем, что в таком случае всегда
z
= |z|
[ ch
( Arg z
) +esh
( Arg z
)]

Название: Определение дуальных и двойных чисел
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа
Добавлен 19:39:12 12 апреля 2011 Похожие работы
Просмотров: 560
Комментариев: 15
Оценило: 4 человек
Средний балл: 4
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Курсовая работа: Определение дуальных и двойных чисел
Реферат по теме Лжедмитрий I и проблема самозванчества в России в XVII-XVIII вв.
Т Яблонская Утро Сочинение По Картине 6
Реферат На Тему Происхождение Языка
Русский Язык Максимальный Балл За Сочинение
Дипломная работа по теме Влияние комплексных удобрений на агроценоз яровой пшеницы и фитосанитарное состояние почвы в условиях Новосибирского Приобья
Курсовая работа по теме Взаимосвязь регионального и муниципального управления
Курсовая работа: Планирование новой продукции предприятия
Контрольная работа по теме Расходы на здравоохранение
Доклад по теме Экологические проекты принципы и практика
Краткое Сочинение На Тему Родной Язык
Ответ на вопрос по теме Международное частное право
Дипломная работа по теме Специализация сельского хозяйства и её экономическая эффективность
Реферат: Операции коммерческих банков на примере банка Украина
Таганрогский Мап Дипломный Отдел
Реферат: The Jungle Essay Research Paper Its a
Учебное пособие: Предупреждение преступлений и административных правонарушений органами внутренних дел
Курсовая работа: Ветеринарно санитарные требования при приемке переработке больных животных и птицы использование
Контрольная работа: Мировые валютные рынки. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Курдский вопрос во время политического кризиса в Ираке в 2006 году
Реферат по теме Информационно-поисковые системы на примере Рамблера
Реферат: Анализ организационных структур
Дипломная работа: Кровотечения при язвенной болезни луковицы двенадцатиперстной кишки
Курсовая работа: Туристский потенциал города Минска и перспективы его развития