Курсовая работа: Обчислювальна математика

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Об'єкт дослідження - система лінійних рівнянь.
Ціль роботи – опис метода Крамера, розробка програми, за допомогою якої методом Крамера можна вирішити систему лінійних рівнянь.
Метод дослідження - вивчення літератури, написання й налагодження програм на комп'ютері.
Дану програму можна використати для знаходження невідомі системи лінійних рівнянь.
Розроблено одну програму, що демонструє знаходження невідомі системи лінійних рівнянь.
Програму написано мовою С++ у середовищі Visual C++.
ВИЗНАЧНИК, МІНОР, АЛГЕБРЇЧНЕ ДОПОВНЕННЯ, МАТРИЦЯ, АЛГОРИТМ, ФУНКЦІЇ, ПАРАМЕТРИ, ТИПИ, ОПЕРАТОРИ, ЗАГОЛОВНІ ФАЙЛИ, КРАМЕР, ЗМІННА, ДЕМОНСТРАЦІЙНА ПРОГРАМА.
1.1Визначники другого та третього порядку
1.2 Властивості визначників, теорема розкладання
2.1 Теорема Крамера для системи 2 рівнянь із 2 невідомими
2.2 Теорема Крамера для системи 3 рівнянь із 3 невідомими
2.2 Теорема Крамера для системи n рівнянь із n невідомими
Рішення систем лінійних рівнянь є однієї з важливих обчислювальних задач. Більшість задач обчислювальної практики зводяться до рішення систем лінійних рівнянь. Це задачі з області електротехніки, радіоелектроніки, механіки, статистики. В даній курсовій роботі я описую один із методів рішення систем лінійних рівнянь, а саме метод Крамера.
Серйозні практичні задачі часто приводять до таких систем, які містять сотні й навіть тисячі лінійних рівнянь. Без допомоги комп'ютера, ці системи вирішити неможливо. Доцільність рішення задачі автоматизованим способом дозволяє скоротити час, витрачений на її рішення в порівнянні з ручним способом, знижується ймовірність допущення помилок, підвищується точність отриманих результатів.
А тому у даній курсовій роботі я представив програму, написану мовою С++, за допомогою якої ми можемо вирішити систему лінійних рівнянь.
Перед тим, як розглядати теорему Крамера необхідно визначити, що називають визначником. Також навести його властивості, та поняття, які стосуються визначника.
1.1.Визначники другого та третього порядку

Розглянемо таблицю із чотирьох чисел виду
Числа в таблиці мають по два індекси. Перший індекс вказує номер рядка, другий - номер стовпця.
Визначником першого порядку називають вираження виду:
Числа а
11, …,
а
22
називають елементами визначника.
Діагональ, утворена елементами а
11
; а
22
називається головною, а діагональ, утворена елементами а
12
; а
21
- побічною.
Таким чином, визначник першого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної й побічної діагоналей.
Помітимо, що у відповіді виходить число.
Визначником третього порядку
називається вираження виду:
Елементи а
11;
а
22
; а
33
– утворять головну діагональ.
Числа а
13;
а
22
; а
31
– утворять побічну діагональ.
Зобразимо, схематично, як утворяться доданки із плюсом і з мінусом:
Із плюсом входять: добуток елементів на головній діагоналі, інші два доданки є добутком елементів, розташованих у вершинах трикутників з основами, паралельними головній діагоналі.
Доданки з мінусом утворяться по тій же схемі відносно побічної діагоналі.
Це правило обчислення визначника третього порядку називають правилом трикутників.
Наприклад .
Обчислити за правилом трикутників:
1.2 Властивості визначників, теорема розкладання

Наведені далі властивості виконуються для визначників будь-якого порядку. Всі вони можуть бути доведені безпосередньою перевіркою, заснованої на правилах обчислення визначників.
Властивість 1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки поміняти місцями з відповідними стовпцями .

Розкриваючи обидва визначники, переконуємося у справедливості рівності.
Властивість 1 установлює рівноправність рядків і стовпців визначника. Тому всі подальші властивості визначника будемо формулювати й для рядків і для стовпців.
Властивість 2. При перестановці двох рядків (або стовпців) визначник змінює знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину.
Властивість 3. Загальний множник елементів рядка (або стовпця) можна виносити за знак визначника.
Властивість 4. Якщо визначник має два однакові рядки (або стовпця), то він дорівнює нулю.
Це властивість можна довести безпосередньою перевіркою, а можна використати властивість 2.
Позначимо визначник за D. При перестановці двох однакових першого й другого рядків він не зміниться, а по другій властивості він повинен поміняти знак, тобто
Властивість 5. Якщо всі елементи якогось рядка (або стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю .

Це властивість можна розглядати як окремий випадок властивості 3 при k
= 0
Властивість 6. Якщо елементи двох рядків (або стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
Можна довести безпосередньою перевіркою або з використанням властивостей 3 і 4.
Властивість 7. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів якого-небудь рядка (або стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на те саме число.
Доводиться безпосередньою перевіркою.
Застосування зазначених властивостей може в ряді випадків полегшити процес обчислення визначників, особливо третього порядку.
Для подальшого нам знадобиться поняття мінору й алгебраїчного доповнення.
Мінором
даного елемента визначника третього порядку називається визначник другого порядку, отриманий з даного викреслюванням рядка й стовпця, на перетині яких знаходиться даний елемент .

Мінор елемента а i j

позначається М i j

. Так для елемента а
11
мінор
Він вийде, якщо у визначнику третього порядку викреслити перший рядок і перший стовпець.
Алгебраїчним доповненням елемента визначника
називають його мінор, помножений на (-1) k

, де k - сума номерів рядка й стовпця, на перетині яких знаходиться даний елемент.
Алгебраїчне доповнення елемента а i j

позначається А i j

.
Випишемо алгебраїчні доповнення для елементів а
11
і а
12.

Корисно запам'ятати правило: алгебраїчне доповнення елемента визначника дорівнює його мінору зі знаком плюс, якщо сума номерів рядка й стовпця, у яких стоїть елемент, парна ,
і зі знаком мінус, якщо ця сума непарна.
Наприклад .
Знайти мінори й алгебраїчні доповнення для елементів першого рядка визначника:
Ясно, що мінори й алгебраїчні доповнення можуть відрізнятися тільки знаком.
Розглянемо без доказу важливу теорему – теорему розкладання визначника .

Згідно, якій визначник дорівнює сумі добутків елементів якого-небудь рядка або стовпця на їхні алгебраїчні доповнення.
Використовуючи цю теорему, запишемо розкладання визначника третього порядку по першому рядку.
Останню формулу можна використати як основну при обчисленні визначника третього порядку.
Теорема розкладання дозволяє звести обчислення визначника третього порядку до обчислення трьох визначників другого порядку.
Рекомендується розкладати визначник по тому рядку або стовпцю, де є нулі, тому що для нульових елементів не треба знаходити алгебраїчні доповнення.
Теорема розкладання дає другий спосіб обчислення визначників третього порядку.
Наприклад .
Обчислити визначник, використовуючи теорему розкладання.
Теорема розкладання дозволяє також обчислювати визначники більше високого порядку, зводячи їх до обчислення декількох визначників третього або другого порядку.
Так, визначник четвертого порядку можна звести до обчислення чотирьох визначників третього порядку.
Метод Крамера (Крамера правило) - спосіб рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці (причому для таких рівнянь рішення існує і єдино). Створений Габріелем Крамером в 1750 році.
2.1 Теорема Крамера для системи 2 рівнянь із 2 невідомими

Розглянемо систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими .

а
11
, …, а
22
– коефіцієнти при невідомих, занумерованими двома індексами, де перший індекс означає номер рівняння, а другий індекс – номер невідомого.
Нагадаємо, що під рішенням системи розуміється пара значень х
1 ,

х
2
, які при підстановці в обоє рівнянь обертають їх у вірні рівності.
У випадку, коли система має єдине рішення, це рішення можна знайти за допомогою визначників другого порядку.
Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи.
У стовпцях визначника D стоять коефіцієнти відповідно при х
1
і при ,
х
2
.
Уведемо два додаткових визначника, які утворюються із визначника системи заміною одного зі стовпців стовпцем вільних членів:
Тепер розглянемо теорему Крамера (для випадку n
= 3)
Якщо визначник D системи відмінний від нуля (D ¹ 0), то система має єдине рішення, що перебуває по формулах:
Дані формули називаються формулами Крамера .

Наприклад .
Вирішити систему за правилом Крамера.
2.2 Теорема Крамера для системи 3 рівнянь із 3 невідомими

Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими:
У випадку єдиного рішення систему можна вирішити за допомогою визначників третього порядку.
Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення, що перебуває по формулах:
2.3 Теорема Крамера для системи
n
рівнянь із
n
невідомими

Розглянемо систему n
лінійних рівнянь із n
невідомими
то єдине рішення системи записується у вигляді:
Ми i-й стовпець матриці системи заміняється стовпцем вільних членів.
Помітимо, що теорема Крамера застосовна, коли число рівнянь дорівнює числу невідомих і коли визначник системи відмінний від нуля.
Якщо визначник системи дорівнює нулю, то в цьому випадку система може або не мати рішень, або мати незліченну множину рішень.
cout <<" vvedi ckolko y tebia yravneniy v cicteme ";
cout<<"Vu ne mogete vvesti bol'she 4 ili men'she 2 uravneniya, vvedite esche raz ";
//ведення кофіцієнтів при невідомих
cout << "Vvedite koficient a [ "<Курсовая работа: Обчислювальна математика
Курсовая работа по теме Реализация права
Сочинение О Своем Месте Жительства
Реферат Уголовный
Дипломная работа по теме Городской ландшафт как экскурсионный объект
План Написания Сочинения По Картине 6 Класс
Контрольная работа по теме Анализ банковского портфеля
Сочинение Про На Дне
Дипломная Работа На Тему Особенности Учебно-Воспитательной Работы С Одаренными Детьми Дошкольного Возраста
Комплект Сочинений 12
Реферат по теме Становление и совершенствование казахской Советской государственности
Лекция На Тему Австрійська Імперія У Першій Половині Хіх Сторіччя
Словарь Терминов По Русскому Языку Сочинение 9.3
Реферат Сухие Строительные Смеси
Конкуренция Курсовая Работа Заключение
Реферат: по теме: «Ван Гог Винсент»
Реферат На Тему Роль Медсестры
Сочинение На Татарском Языке На Тему
Наука Кубани 1914 1920гг 10 Класс Реферат
Реферат по теме Нормативно правовые акты
Реферат: Portrait Photography Essay Research Paper PORTRAIT PHOTOGRAPHYThe
Курсовая работа: Роль і значення громадських організацій у вихованні військовослужбовців та формування морально-психологічного клімату у військових колективах
Реферат: Основы Политологии
Доклад: Виссарион Григорьевич Белинский