Курсовая работа: Непрерывная, но не дифференцируемая функции
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«УССУРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
Курсовая работа по математическому анализу
Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции»
Введение.............................................................................................. 3
Историческая справка......................................................................... 4
Основные определения и теоремы..................................................... 5
Пример непрерывной функции без производной........................... 10
Решение упражнений........................................................................ 13
Заключение........................................................................................ 21
Список литературы........................................................................... 22
Курсовая работа посвящена изучению связи между непрерывностью и существованием производной функции одной переменной. Исходя из цели ставились задачи:
2. Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом;
Ба́ртель Лее́ндерт ван дер Ва́рден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden , 2 февраля 1903, Амстердам , Нидерланды — 12 января 1996, Цюрих , Швейцария) — голландский математик.
Обучался в Амстердамском университете, затем в Гёттингенском университете , где на него огромное влияние оказала Эмми Нётер.
Основные работы в области алгебры , алгебраической геометрии, где он (наряду с Андре Вейлем и О.Зарисским) поднял уровень строгости, и математической физики , где он занимался приложением теории групп к вопросам квантовой механики (наряду с Германом Вейлем и Ю.Вигнером ). Его классическая книга Современная алгебра (1930) стала образцом для последующих учебников по абстрактной алгебре и выдержала множество переизданий.
Ван дер Варден — один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии в Древнем мире. Его Пробуждающаяся наука (Ontwakende wetenschap 1950, русский перевод 1959) даёт развёрнутое изложение истории математики и астрономии в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В Приложении к русскому переводу этой книги опубликована статья «Пифагорейское учение о гармонии» (1943) — фундаментальное изложение пифагорейских взглядов на музыкальную гармонию .
Предел функции в точке. Левые и правые пределы
Определение (предел по Коши, на языке Число называется пределом функции в точке , если
Определение (на языке окрестности) Число называется пределом функции в точке , если для любой -окрестности числа сущесвует - окрестность точки такая, что как только
Определение (по Гейне) Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к ( то есть , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу
Определение Число называется левым пределом функции в точке , если
Определение Число называется правым пределом функции в точке , если
Теорема (необходимое и достаточное условие существования предела)
Для того чтобы в точке существовал предел функции необходимо и достаточно, чтобы существовали левые и правые пределы равные между собой.
Понятие производной. Односторонние производные.
Рассмотрим функцию заданную на множестве
1. В озьмем возьмем приращение . Дадим точке приращение Получим .
2.
Вычислим значение функции в точках . и
3. Найдем приращение функции в точке .
4. Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента .
причем приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным, то этот предел называется производной в точке и обозначают . Он может быть и бесконечным.
левой (левосторонней) производной функции в точке , а если
существует конечный предел то его называют правосторонней производной функции в точке .
Функция имеет в точке тогда и только тогда, когда в точке совпадают ее левая и правая производные:
Рассмотрим функцию Найдем односторонние производные в точке
Следовательно, (
=-1;
(
=1
и (
(
,
то есть в точке функция производной не имеет.
Различные определения непрерывности функции в точке.
Определение 1 (основное) Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке.
Определение 2 (на языке Функция называется непрерывной в точке , если ε, δ>0, такое что .
Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Определение 4 (на языке приращений) Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение 1 Функция , заданная на множестве ( называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить как (*), где A - const , независящая от , - бесконечно малая при
Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в точке .
Пусть задана функция Функция дифференцируема в точке , где
Обратная теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема.
в - не дифференцируема, хотя непрерывна.
Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке является разрывной в точке , а саму точку называют точкой разрыва.
Существуют две классификации точек разрыва: I и II рода.
Определение Точка называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу.
Определение Точка называется точкой устранимого разр ыва
, если , но они не равны значению функции в точке .
Определение Точка называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны или один из односторонних пределов бесконечен или в точке не существует предела.
Признаки равномерной сходимости рядо
в
Если члены функционального ряда (1) удовлетворяют в области неравенствам где - член некоторого сходящегося числового ряда то ряд (1) сходится в равнмерно.
Теорема 1 Пусть функции определены в промежутке и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке сходится равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна.
Пример непрерывной функции без производной
Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:
где 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+ π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x . Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.
Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у= cosωχ заменены колеблющимися ломаными.
Итак, обозначим через абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s -целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.
Эта функция будет линейной в промежутках вида ; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1.
Определим теперь, для всех вещественных значений x , функцию f ( x ) равенством
Так как, очевидно, 0≤ ( k =0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция всюду непрерывна.
Остановимся на любом значении . Вычисляя его с точностью до (где n =0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида:
Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка , что расстояние ее от точки равно половине длины промежутка.
Ясно, что с возрастанием n варианта .
Составим теперь отношение приращений
Но при k > n , число есть целое кратное периодам функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k ≤ n , то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем
Таким образом, имеем окончательно иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n . Отсюда ясно, что при отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при конечной производной не имеет.
Функция определена следующим образом: . Исследовать непрерывность и выяснить существование
На (0;1) непрерывна как многочлен;
На (1;2) непрерывна как многочлен;
На (2; непрерывна как элементарная функция.
Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .
Так как левый предел равен правому пределу и равен значению функции в точке функция непрерывна в точке
Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .
1 способ. В точке не существует конечной производной функции Действительно, предположим противное. Пусть в точке существует конечная производная функции непрерывна в точке (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна.
2 способ. Найдем односторонние пределы функции в точке x =0.
Показать, что функция имеет разрывную производную.
Предел не существует разрывна в точке
Так как – бесконечно малая функция, - ограниченная.
Докажем, что функция в точке предела не имеет.
Для доказательства достаточно показать, что существуют две последовательности значений аргумента сходящиеся к 0, что не сходится к
Вывод: функция в точке предела не имеет.
Показать, что функция где - непрерывная функция и не имеет производной в точке . Чему равны односторонние производные
Односторонние пределы не равны функция не имеет производной в точке .
Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной функции в данных точках:
Односторонние пределы не равны функция не имеет производной в точке . Аналогично, функция не имеет производных в остальных точках
Показать, что функция не имеет производной в точке .
Возьмем приращение Дадим точке приращение Получим
Найдем значение функции в точках и
Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента
Вывод: не имеет конечной производной в точке .
Показать, что функция не имеет производной в точке .
Возьмем приращение Дадим точке приращение Получим
Найдем значение функции в точках и
Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента
Вывод: не имеет конечной производной в точке .
Исследовать функцию на непрерывность
Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция непрерывна в точке существует разрыв I рода.
1. Б. П. Демидович, / Сборник задач по курсу математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1990 –624с.
2. Г. Н. Берман, / Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977 – 416с.
3. Г. М. Фихтенгольц, / Курс дифференциального и интегрального исчисления т.II. - М., Наука, 1970- 800с.
4. И.А. Виноградова, /Задачи и упражнения по математическому анализу ч.1. – М.:Дрофа,2001 – 725с.
5. Ресурс Интернет \ http://ru.wikipedia.org/wiki.
6. Ресурс Интернет \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.
Название: Непрерывная, но не дифференцируемая функции
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа
Добавлен 19:25:54 19 сентября 2011 Похожие работы
Просмотров: 899
Комментариев: 5
Оценило: 2 человек
Средний балл: 4.5
Оценка: неизвестно Скачать
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Курсовая работа: Непрерывная, но не дифференцируемая функции
Книга: Красота и мозг. Биологические аспекты эстетики
Реферат по теме PENTIUM Processor. Технический обзор
Дипломная работа по теме Организационная поддержка реализации корпоративной стратегии в компаниях Австрии и России
Бухгалтерский Учет Дипломная Работа Примеры
Реферат По Баскетболу 8 Класс
Реферат: История политических и правовых учений 6
"Трудовой Договор"
Реферат: Промышленные контроллеры, их понятие и сущность
Реферат по теме Зачем нужно бизнес-прогнозирование
Курсовая работа по теме Имущественное страхование и направления его развития в Республике Беларусь
Сочинение: “Чудотворец” поэзии Батюшков
Реферат: Формы государственного управления и устройства. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Особенности перевода терминов искусствоведческой тематики
Сочинение 9.2 Огэ Примеры Готовые
Значение Слова Доброта Сочинение 9.3
Курсовая Работа Железодефицитная Анемия У Детей
Механизм Терморегуляции Реферат
Титульный Лист Реферата Ранхигс Образец
Нравственный Человек Сочинение 5 Класс
Темы Эссе Спор
Реферат: Цикл углерода
Реферат: Великая Отечественная война Советского Союза против фашистской Германии (1941-1945 гг): военно-политические итоги
Реферат: Максим Горький