Курсовая работа: Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и компьютерных наук
«Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций»
Данная курсовая работа посвящена изучению и анализу различных способов определения тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются важной составной частью содержания математического образования, как в средних, так и в высших учебных заведениях и часто встречаются в различных приложениях математики. С их помощью могут быть построены и изучены математические модели процессов реального мира. Для школьных учителей полезно знать различные подходы к определению и изучению свойств тригонометрических функций. Имеется не так много математической литературы в которой теория элементарных функций излагается последовательно и подробно разными методами. В этом и заключается актуальность данной темы.
Объектом нашего исследования мы выбрали тригонометрические функции. Предметом же является способы их определения.
Целью курсовой работы является изучение и анализ различных способов определения тригонометрических функций.
Для достижения цели мы поставили следующие задачи: изучить математическую литературу, проанализировать способы определения тригонометрических функций и доказать свойства этих функций на основе соответствующего способа определения.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.
В главе 1 излагается способ построения теории функций , , основываясь на использовании теоремы существования и единственности решения соответствующей задачи Коши и простейших сведений из дифференциального и интегрального исчисления. Также в этой главе приведены доказательства основных свойств этих функций.
Глава 2 посвящена рассмотрению теории тригонометрических функций на базе степенных рядов и установлению эквивалентности нового и традиционного определения таких функций.
Также в работе проведены доказательства некоторых свойств тригонометрических функций.
Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами теорема существования и единственности решения задачи Коши формулируется следующим образом.
Теорема1


.
Дифференциальное уравнение
где ; ; ; , имеет на единственное n-кратно дифференцируемое решение , удовлетворяющее условиям
(здесь - произвольно заданные фиксированные действительные числа).
Очевидно, что это решение обладает на непрерывными производными всех порядков.
В частности, когда , указанное в теореме 1 решение тривиально ( на ).
Рассмотрим следующие две задачи Коши:
где ; ; . Их решения обозначим соответственно через и . Согласно теореме 1, эти решения определены, непрерывны и бесконечно дифференцируемы на всей числовой прямой, причём , . Однако основные свойства функций , установим, исходя из определения их как решения задач (1) и(2).
Действительно, так как и - решения уравнения , то , , откуда , . Это значит, что каждая из функций , также являются решением уравнения . При этом решения и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям: , . Следовательно, по теореме существования и единственности на , т.е. для .
Аналогично убеждаемся и в справедливости соотношения
Доказательство: Прежде всего, области определения этих функций (совпадающие с ) симметричны относительно точки . Покажем теперь, что и при любом .
Вводя в рассмотрение функции и (тогда , ) и учитывая свойство 1, будем иметь:
Таким образом, функции и являются решением одной и той же задачи Коши , , . Поэтому (согласно теореме 1) на , т.е. для любого .
Подобным же образом убеждаемся, что функция является решением задачи Коши , , , следовательно, на .
Доказательство. Полагая и используя свойство 1, находим
Вследствие чего на . А так как , то на , т.е. на .
Замечание.
Из свойства 3 следует, что функции и ограничены
, причём , для любого .
4.

Справедливы следующие соотношения ( теоремы сложения для функций
и
):
( ) (3) Доказательство. Введём в рассмотрение функции
Считая (без ограничения общности) постоянной, а переменной. Эти функции являются решениями уравнения , удовлетворяющими нулевым условиям. Действительно, так как , :
Следовательно, согласно теореме 1, и на . Из этих тождеств непосредственно следуют требуемые соотношения.
Замечание.
Пологая в формулах (3) , получаем следующие формулы удвоения
:
Отсюда с учётом свойства 3 получаем:
Изучим теперь вопрос о нулях функций , , т.е. о корнях уравнений , . Для краткости в дальнейшем нуль функции, принадлежащий , будем называть её положительным нулём
.
Так как , то число является одним из нулей функции .
Лемма1


. Хотя бы одна из функций
, обладает по крайней мере одним положительным нулём.

Доказательство


.

Предположим (от противного), что уравнения , положительных решений не имеют. Тогда на функции и знакопостоянны. Действительно, если бы функция или в некоторых точках принимала значения противоположных знаков, то по теореме Больцано-Коши нашлась бы точка, заключённая между и , в которой эта функция обращалась бы в нуль вопреки допущению.
Учитывая, далее, что , заключаем, вследствие непрерывности , что положительна в некоторой окрестности точки , и, следовательно, на .
Функция возрастает на , так как на , а поскольку , то на . С учётом свойства 3 и положительности функций , на имеем
т.е. для любого . Очевидно, сто последнее неравенство верно и при . Интегрируя почленно это неравенство по промежутку , где - любое положительное число, большее двух, получаем
т.е. вопреки выбору числа . Полученное противоречие и доказывает лемму.
Лемма2


.

Функция имеет хотя бы один положительный нуль.

Доказательство.


Допустив противоречие, получим, что согласно лемме1, функция обладает хотя бы одним положительным нулём , а тогда (по формуле удвоения для функции ) будем иметь
т.е. - положительный нуль функции , но это противоречит допущению.
Замечание


.

Если , то и для любого .
Доказательство. Для , -это известно.
Пусть для утверждение верно, т.е. . Докажем справедливость утверждения для .
5.

Существует наименьший положительный нуль
функции .
Доказательство. Обозначим через множество положительных нулей функции . Это множество бесконечно (на основании леммы 2 и замечания к ней) и ограничено снизу (например, числом 0). Пусть . Очевидно, что . Предположим теперь, что функция не обладает наименьшим положительным нулём. С учётом этого предположения и определения точной нижней грани множества получаем, что - предельная точка множества . Теперь легко убедиться, что является одним из нулей функции . Действительно,
(здесь мы воспользовались непрерывностью функции и теоремой о пределе функции (в нашем случае ) в точке по данному множеству , для которого является предельной точкой). Отсюда следует, что (поскольку в случае число было бы наименьшим положительным нулём функции вопреки сделанному выше предположению).
т.е. . Поскольку полученное равенство ложно, то наше допущение об отсутствии наименьшего положительного нуля функции неверно, и тем самым требуемое свойство доказано.
Обозначим наименьший положительный нуль функции через . Выясним свойства функций и , прямо или косвенно связанные с числом ( ).
6.

Функция положительна на интервале и отрицательна на интервале .
7.

Функция убывает на и возрастает на .
8.

Числа вида и только эти числа являются нулями функции .
Доказательство. Согласно замечанию к лемме 2, ( ). Если же ( ), то . Для доказательства этого допустим противное, т.е. предположим, что существует число ( ), такое что . Без ограничения общности (учитывая нечётность функции ) можем считать, что . Пусть . Положим . Очевидно, что . Кроме того, на основании свойств 2 и 4 получим
т.е. функция имеет нуль в интервале вопреки определению числа .
10.

Функция положительна на и отрицательна на .
, т.к. , то , следовательно , т.е . Учитывая свойство 7 получим, что - наименьший положительный нуль функции .
Учитывая, что и свойство 7, получаем, что - наибольший отрицательный нуль функции .
Таким образом, но интервале функция не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция положительна в некоторой правосторонней окрестности точки (в силу того, что (по свойству 9) ). Следовательно, на всём интервале , следовательно, и на .
, т.к. , то , следовательно , т.е . Учитывая свойство 7 получим, что - наибольший отрицательный нуль функции .
Таким образом, но интервале функция не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция отрицательна в некоторой правосторонней окрестности точки (в силу того, что , ). Следовательно, на всём интервале .
Действительно, из равенства имеем , откуда, учитывая, что , получим .
12.

Функция возрастает на и убывает на .
Доказательство. Прежде всего, функция непрерывна на каждом из отрезков и и дифференцируема на .
Так как , то учитывая свойство 10, на и на .Требуемое утверждение теперь непосредственно следует из теоремы о достаточных условиях убывания (возрастания) функции на промежутке.
Замечание
. Из свойства 2 и 12 следует, что функция убывает на и возрастает на .
13.

Функции , - периодические с периодом .
Доказательство. Применяя теоремы сложения и учитывая, что , , имеем при любом :
Докажем теперь, что ни одна из функций , не имеет положительного периода, меньше . Действительно, наличие такого периода у функции противоречит свойству 7, а если бы таким периодом обладала функция , то мы имели бы , т.е. , откуда . Поэтому , т.е. , что невозможно.
14.

Нулями функции являются числа вида и только эти числа.
Действительно, согласно тождеству , нулями функции все те и только те числа , для которых . Последнее же уравнение на отрезке (длина которого равна периоду функции ) имеет два решения: и (на основании свойств 2,9,12 и замечания к свойству 12). Для завершения доказательства остаётся воспользоваться свойством 13 и заметить, что полученные две серии решений
уравнения можно объединить в одну:
15.

Справедливы следующие тождества ( формулы приведения
):
Доказательство. Убедимся, например, что .
Учитывая свойства 4, 2, замечание к лемме 2 и свойство 3, имеем
Аналогично убеждаемся в справедливости остальных тождеств.
16.

Наименьший положительный нуль функции равен .
Доказательство. Рассмотрим на координатной плоскости круг . Его площадь, как известно, равна . С другой стороны, эта площадь равна , где -площадь четверти данного круга, расположенной в первом квадранте. Так как
Вводя подстановку и учитывая, что при возрастании от до функция (т.е. ) возрастает от до , получаем
Функции действительной переменной, представимые в некотором интервале из степенными рядами, называются аналитическими
в этом интервале.
Тригонометрические функции являются аналитическими, т.е. могут быть представлены степенными рядам.
Эти ряды сходятся, и притом абсолютно, при любом действительном , в чём легко убедиться по признаку Д’Аламбера. Действительно, при любом
Следовательно, функции и как суммы соответствующих степенных рядов (1) и (2) определены и непрерывны на интервале . Более того, эти функции дифференцируемы на , причём
Функция чётная, а нечётная, так как , для любого .
Установим ещё некоторые свойства функций и .
Теорема1.


Для любого действительного
Коэффициент при можно представить в виде
ибо - число сочетаний из элементов по
Коэффициент при можно представить в виде
При сложении и коэффициент при будет равен
Выражение в скобках равно нулю, в чём можно убедиться, полагая , в формуле бинома Ньютона
Следствие.


Функции и ограниченные, причём и
Теорема 2


.
( теорема сложения для функций и
). Для любых действительных и
Доказательство


.

Проверим формулу:
Рассмотрим общий член этого ряда, содержащий произведения вида: , где . Получим
Используя чётность или нечётность функций и , проверим справедливость формулы:
Аналогично проверяется справедливость формул
Теорема3.


Для любых действительных
и функция удовлетворяет уравнению

Доказательство.


По определению функции имеем:
Вычислим - общий член ряда для суммы
Вычислим - общий член ряда для произведения
ибо Получим, что при , а поскольку , то при любых действительных и имеет место равенство (6).
Замечание1.


Из формул сложения (3) и (4) следуют формулы двойного аргумента:
Замечание2.


Непосредственно из формул (3) и (7) получим:
Теорема4.


Ф
ункция имеет по крайней мере один положительный нуль.

Доказательство.


Так как для любого
и по теореме о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции на
имеет по крайней мере один нуль, т.е. существует число , такое, что .
Теперь справедливы следующие утверждения.
1. Функция имеет наименьший положительный нуль , иными словами, существует , такое, что .
3. Функция положительна на интервале , а функция - на интервале .
4. Функция возрастает на отрезке .
5. Функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке .
7. Нулями функции являются числа и только такие числа, а функции - числа
8. Функции и являются периодическими с наименьшим положительным периодом .
10. Наименьший положительный нуль функции равен .

Название: Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа
Добавлен 22:57:58 20 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 298
Комментариев: 15
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Курсовая работа: Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций
Реферат: Тургенев. "Накануне". Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Занятия в детском саду. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа по теме Сигнализация охранно-пожарная
Реферат по теме Питание растений
Курсовая работа по теме 'Учет поставок товаров' ИС магазина электроники
Курсовая работа: Опережающее обучение Софьи Николаевны Лысенковой. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Технология возделывания сахарной свеклы на орошаемых землях
Речевые Клише Для Итогового Сочинения 2022
Курсовая работа по теме Технологии управления и политико-административные управленческие решения
Контрольная Работа На Тему Цена И Качество Продукции
Курсовая работа по теме Расчет наружного охлаждения
Доклад по теме Черное море арена всемирного потопа
Реферат: Міжнародна логістика
Реферат: Контрольна робота по Макроекономіка
Реферат На Тему Футбол 10 Класс
Реферат по теме Сознание и искусственный интеллект
Реферат: 1. Развал СССР как крупнейшая геополитическая катастрофа XX века
Дипломная Работа Учителя Технологии
Курсовая работа по теме Характеристика гражданско-правовых способов и форм защиты прав потребителей в сфере услуг и торговли
Реферат: Классическая немецкая философия
Реферат: Коллективная изобразительная деятельность в младшем дошкольном возрасте
Реферат: Проблемы экологии XXI века и основные аспекты экологических проблем
Реферат: Аборт и беременность молодых девушек