Курсовая работа: "Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці" в MAPLE 7

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Динаміка національного доходу Y t
визначається рівнянням
де с=0,25; А =1; а=2. Знайти залежність Y t
, якщо Y 0
=1
1. Варіант початкових даних Y 0
=1.
Рішення рівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE7:
> rsolve({y(n)=1/4*y (n‑1)+1*(2^n), y(0)=1}, y(n));

Динаміка національного доходу Y t
визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]
де а=2; b =1,25; c=1. Знайти залежність Y t
, якщо Y 0
=0, Y 0
=1
1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими рівняннями виду
x t

= F
(xt‑ 1
, x t

-2
,…, xt- n
), (1.2.1)
Характеристичний стан об'єкта x t

у будь-який момент часу t
зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n‑ го
порядку визначено однозначно, якщо задані n
так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення x t

при t
= 0, 1,…, n
– 1.
Підставляючи початкові значення xn‑ 1
,…, x
1
, x
0
і t
= n
як аргументи функції в правій частині (1.2.1), знаходимо x n

; використовуючи знайдене значення й підставляючи тепер x n

, xn‑ 1
,…, x
2
x
1
і t
= n
+ 1 як аргументи функції, знаходимо x n

+1
, і т. д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значення t
.
У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду x t

= a
1 xt-
1
+ a
2 xt-
2
+ f
( t
) – лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).
2. Варіант початкових даних Y 0
=0.
Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7 [4]:
> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=0}, f(n));

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отриманне рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).
3. Варіант початкових даних Y 0
=1.
Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:
> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=1}, f(n));

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отримане рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).
4. Варіант початкових даних Y 0
=0, Y 1
=1.
Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:
> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=0, f(1)=1}, f(n));

Попит D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами
Знайти стаціонарну ціну p D=S
(при умові D=S – вирівнювання попиту та пропозиції) та з’ясувати чи вона є стійкою.
1. Аналіз стійкості рівноважної ціни p D=S
, якщо попит D та пропозиція S завдані функціями:
виконується для дискретного підходу за наступним алгоритмом [1].
Нехай ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:
Тоді рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:
З умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне перетворення рівнянь (1.3.3):
то рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:
Який перетворюється до наступної форми:
Для приросту ціни ∆p i
отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості його розв’язку має вигляд [1]:
2. Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни P D=S
виконується за схемою:
Рішення рівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE7 дає рішення:
> solve (– (sqrt(L)*sqrt(L))+sqrt(L)+2=0);

3. Знаходимо похідні в точці рівноваги р=4:
Оскільки умови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються (1.3.11), то рівноважне рішення р=4 є нестійким
Найти розв’язок рівняння Харода-Домара
з початковою умовою Y (t=0) =Y 0
; s, A, і – const;
Позначення (згідно з моделлю Харода – Домара роста національного доходу держави у часі) [6]:
Y(t) – рівень національного доходу держави у часі;
– схильність населення до заощаджень (0< s < 1,0), тобто частка національного доходу, яка відкладується в заощадження;
i – коефіцієнт індукованих інвестицій при зміні національного доходу ∆Y(t), тобто частка приросту національного доходу, яка йде на інвестування економіки;
А – рівень незалежних сталих інвестицій
1. У загальному вигляді модель економічного зростання складається із системи п’яти рівнянь [6]:
1) формула виробничої функції, якою передається обсяг потенційного випуску, тобто випуску продукції за умов повної зайнятості;
2) основна макроекономічна тотожність Y
t

=C
t

+I
t

показує, що вимірник випуску (доходу) Y
поділяється в теорії зростання на споживання С
та інвестиції І
; вимірники державних витрат G
і чистого експорту NX
окремо в таких моделях не вирізняються, а розподіляються на споживання та інвестиції держави й інших країн світу (тобто вводяться в компоненти С
та І
);
3) формула розрахунку динаміки обсягу капіталу з урахуванням інвестицій та амортизації основного капіталу (за умови нульового інвестиційного лагу) має вигляд:
де K
t

– запас капіталу наприкінці періоду t
;
І
t

– інвестиції за весь період t
;
W
t,

– амортизація капіталу за період t
.
Наведена формула вказує на те, що кількість капіталу зростає на величину інвестицій та зменшується на величину амортизаційних відрахувань;
4) формула для розрахунку вибуття капіталу (амортизації) має вигляд:
де – постійна (незмінна) норма амортизації, яка задається екзогенно отже, вважається, що вибуття капіталу є пропорційним до величини його запасу;
5) щодо інвестицій, то передбачається, що вони складають постійний процент від випуску I
t

= s
*

Y
t

, де s
– норма інвестицій (частка інвестицій у сукупному продукті (доході). Норма інвестицій s
збігається з нормою заощадження, оскільки сукупні заощадження S
t

дорівнюють сукупним інвестиціям І
t

. Відповідно, Y
t

=C
t

+S
t

=C
t

+I
t.


Таким чином, модель економічного зростання у загальному вигляді складається із системи п’яти наведених рівнянь, які містять сім змінних ( Y, K, L, C, I, , s
), три із яких задаються екзогенно:
— затрати праці L
(зростають із постійним темпом n
);
— норма амортизації основного капіталу ;

— норма заощадження s (задається безпосередньо або ж у вигляді певних умов, наприклад, максимізація споживання).
Мета дослідників – з’ясувати питання про те, як змінюються ендогенні змінні в моделі економічного зростання ( Y
, C
та І
) і який із чинників є визначальним фактором довгострокового економічного зростання.
Це найпростіша модель економічного зростання, і була вона розроблена наприкінці 40‑х рр. Модель описує динаміку доходу ( Y
), який є сумою споживчих ( С
) та інвестиційних ( І
) витрат. Економіка вважається закритою, тому чистий експорт ( NX
) дорівнює нулю, а державні витрати ( G
) в моделі не вирізняються. Основним фактором зростання є нагромадження капіталу.
– постійна продуктивність капіталу MPK = dY/dK
;
– постійна норма заощадження s = I/Y
;
– відсутній процес вибуття капіталу W = 0
;
– інвестиційний лаг дорівнює нулеві, тобто інвестиції миттєво переходять у приріст капіталу. Формально це означає, що dK(t) = I(t)
;
– модель не враховує технічного прогресу;
— випуск не залежить від затрат праці, оскільки праця не є дефіцитним ресурсом;
— використовується виробнича функція Леонтьєва, яка передбачає неможливість взаємозаміни акторів виробництва – праці і капіталу.
Припускається, що швидкість доходу пропорційна інвестиціям: dY = MPK
*
I(t) = MPK
*
s
*
Y,
а темп приросту доходу dY/Y
*
dt
є постійним і дорівнює s
*
MPK
. Він прямо пропорційний нормі заощаджень та граничній продуктивності капіталу. Інвестиції ( І
) та споживання ( С
) в моделі Харода-Домара зростають з таким же постійним темпом ( s
*
MPK
).
2. Рішення проводимо в пакеті MAPLE7, використовуючи функцію вирішення диференційного рівняння з початковими умовами Y (t=0)=Y 0
:
> L6:=diff (y(t), t)=(s/i*y(t) – A/i*t);

- ans1:= dsolve({L6, y(0)=Y0}, y(t));

Таким чином, розв’язком рівняння Харода-Домара у вигляді
з початковою умовою Y (t=0) =Y 0
; s, A, і – const;
Попит D та пропозиція S як функції змінної в часі ціни p=F(t) та її похідних задаються виразами
Знайти стаціонарну ціну рівноваги попиту та пропозиції p D=S
(t) – при умові D=S – вирівнювання попиту та пропозиції, як функцію часу, та з’ясувати чи вона є стійкою (оцінити рівень динаміки похідної ).
1. Якщо попит D та пропозиція S є функціями ціни p(t) та її першої та другої похідних , то їх рівняння в загальному вигляді можна представити наступним чином [1]:
2. В умовах пошуку точок рівноваги попиту та пропозиції:
рівняння (2.2.1), віднімаючи перше від другого, перетворюємо у наступне рівняння
Загальний розв’язок рівнянь (2.2.1) – (2.2.4) має вигляд [1]:
– корені характеристичного рівняння:
Після вирішення рівняння (2.2.6), отримані – корені характеристичного рівняння в рівнянні (2.2.5) характеризують стаціонарність рівноважної ціни p(t) наступним чином:
1) Якщо обидва корені – є дійсними від’ємними або комплексними з від’ємною дійсною частиною, то рівняння (2.2.5) перетворюється до вигляду:
та з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде прямувати до ціни рівноваги попиту D та S – P D=S,
оскільки 1 та другий член рівняння (2.2.7) будуть наближатися до нуля.
2) Якщо обидва корені – є дійсними позитивними, або один з них має позитивний знак, або комплексними з позитивною дійсною частиною, то згідно рівнянь (2.2.5), (2.2.7) з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде віддалятися від до ціни рівноваги попиту D та S – P D=S,
оскільки або перший, або другий член рівняння (2.2.5) будуть наближатися до .
3. В точці рівноваги попиту та пропозиції D=S, рівняння (2.2.0) перетворюються в наступне диференційне рівняння другого порядку похідних:
Для пошуку точок стаціонарної ціни рівноваги p D=S
враховуємо умови дорівнювання нулю першої та другої похідної в цих точках:
тоді рівняння (2.2.8) перетворюється до вигляду, який дозволяє розрахувати значення стаціонарної ціни рівноваги попиту та прозиції:
Для рівняння (2.2.8) характеристичне рівняння має наступний вигляд:
а корені його рішення, розраховані в пакеті MAPLE7, дорівнюють
Оскільки корені характеристичного рівняння (2.2.11) дійсні та мають різні знаки – рішення рівняння (2.2.10) є нестійким.
Знайти стаціонарні точки динамічної системи
та дослідити їх стійкість в лінійному наближенні.
1. Положення рівноваги вихідної динамічної системи (стаціонарні точки динамічної системи) визначається наступними умовами:
звідкіля маємо систему рівнянь рівноваги
Рішення системи рівнянь рівноваги (2.3.2) в пакеті MAPLE7 дає наступні 4 пари коренів – стаціонарних точок рівноваги динамічної системи (2.3.0):
2. Для дослідження стійкості кожного з отриманих рішень, складаємо системи першого наближення в околицях точок рівноваги за допомогою розкладення в ряд Тейлора. Формула Тейлора для функції двох змінних x, y у першому наближенні (тільки рівень 1 похідних) для функції в околицях точки x 0
, y 0
має наступний вигляд [7]:
Побудову систем рівнянь першого наближення системи (2.3.2) виконуємо за допомогою пакета MAPLE7 [4]:
6. Використовуючи отримані результати (2.3.5), (2.3.6), дослідження стійкості рішення для 4‑х пар коренів проводимо в наступній послідовності [5]:
Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0, y=0) має вигляд:
Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:
Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають однакові знаки, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0, y=0).
Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=2, y=0) має вигляд:
Виконуючи заміну змінних в системі () на
отримуємо модифіковану систему рівнянь:
Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:
Вирішуємо рівняння () в пакеті MAPLE7
Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=2, y=0).
Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0, y=6) має вигляд:
Виконуючи заміну змінних в системі () на
отримуємо модифіковану систему рівнянь:
Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:
Вирішуємо рівняння () в пакеті MAPLE7
Корені рішення цього рівняння та є комплексні та мають однакові негативні знаки при дійсній частині, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=4, y=-2).
Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=4, y=-2) має вигляд:
Виконуючи заміну змінних в системі () на
отримуємо модифіковану систему рівнянь:
Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:
Корені рішення цього рівняння та є дійсними та мають знак (–) при дійсній частині, що відповідає асимптотичній стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=4, y=-2).

Название: "Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці" в MAPLE 7
Раздел: Рефераты по экономико-математическому моделированию
Тип: курсовая работа
Добавлен 17:22:27 10 июля 2010 Похожие работы
Просмотров: 240
Комментариев: 15
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Курсовая работа: "Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці" в MAPLE 7
Курсовая работа по теме Статистико-экономический анализ потребления продуктов питания в Сибирском федеральном округе и Приволжском федеральном округе
Реферат: 4H Youth Development Movement Essay Research Paper
Она Вся В Лучах Заходящего Солнца Сочинение
Реферат На Тему Русская Летопись
Реферат по теме Порядок исчисления и уплаты НДФЛ по выигрышам
Сочинение по теме Анафония
Курсовая работа по теме Особенности развития взаимоотношений дошкольников в игре
Реферат: Населення України, його динаміка, структура та особливості розміщиння
Реферат: Кассовые операции в Украине
Курсовая Работа Кассовые Операции Учет
Сочинение На Тему Не Прервется Связь Поколений
Скачать Контрольную Работу На Тему
Реферат по теме Неклассическая наука: этапы и черты
Доклад: Загребельний Павло
Дипломная работа: Морфологические исследования зависимости структуры головного мозга (поле IV) от степени поражения вирусом простого герпеса (ВПГ) и построение по полученным данным математической модели заболевания. Скачать бесплатно и без регистрации
Дипломная работа: Турция и державы Антанты в годы Первой мировой войны
Реферат На Тему История Бухгалтерского Учета
Реферат На Тему Этические Воззрения Б Спинозы
Контрольная работа: Взаємозв'язок рівня боргового навантаження та стану платоспроможності країни
Реферат по теме Наземный радиолокационный запросчик IЛ24
Реферат: Полимерные электреты, их свойства и применение
Курсовая работа: Экономическое обоснование монтажа системы отопления производственного цеха завода полимерных материалов
Реферат: Источники гражданского права