Курсовая работа: Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Изучение теоретической механики как одной из фундаментальных физико-математических дисциплин играет важную роль в подготовке специалистов по механико-математическим и инженерным направлениям. Оно позволяет будущим специалистам не только получить глубокие знания о природе, но и вырабатывает у них необходимые навыки для решения сложных научных и технических задач, для которых требуется построение математических моделей разнообразных механических систем, развивает способности к научным обобщениям и выводам
Теоретическая механика, как часть естествознания, использующая математические методы, имеет дело не с самими материальными объектами, а их математическими моделями. Такими моделями являются материальные точки, системы материальных точек, твердые тела и деформируемая сплошная среда. В курсовой работе рассматриваются простейшие системы, которые состоят из твердых тел, совершающих простейшие движения, и перемещающейся по телу материальной точки.
1. Поведение с
истем
ы в условиях стабильного закона движения

Рис.1 Схема механической системы и действующие на шарик силы

Свяжем подвижную систему координат Оxy с вращающейся пластиной как показано на рисунке.
Вращение пластины вместе с системой координат Oxy вокруг оси является переносным движением для шарика. Относительным движением шарика является его движение вдоль трубки, расположенной вдоль пластины.
Дифференциальное уравнение относительного движения для рассматриваемого случая равномерного вращения пластины имеет вид
- ускорение точки в подвижной системе отсчета;
- реакции связей: -нормальная реакция стенки трубки;
и - переносная и кориолисова силы инерции.
Вращение пластины происходит равномерно, следовательно =0, значит -.
Силы инерции и направлены противоположно переносному центростремительному и кориолисову ускорению , соответственно. Направление ускорения определим по правилу Жуковского: необходимо спроектировать относительную скорость шарика в плоскость вращения, а затем повернуть вектор этой скорости на 90 0
по направлению вращения, и получим направление ускорения Кориолиса.
Предположим, что относительная скорость шарика положительна. В этом случае кориолисова сила инерции направлена параллельно оси Оy подвижной системы координат.
Модули сил инерции определяются по формулам:
В итоге уравнение (1.1.1) примет вид:
Спроектируем векторное уравнение относительного движения шарика на оси подвижной системы координат Оxy:
Рассмотрим проекцию на ось Ох. Разделим обе части уравнения на массу тела:
Общее решение полученного линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами будем искать виде
где Х – общее решение соответствующего однородного уравнения,
-частное решение неоднородного уравнения.
которому соответствует следующее характеристическое уравнение
Т.к. величина под корнем отрицательна, то общим решением однородного дифференциального уравнения (1.1.3) будет являться функция:
где С 1
и С 2
– постоянные интегрирования.
Частное решение уравнения (1.1.3) будем находить как результат суперпозиции двух решений: .
Тогда общее решение дифференциального уравнения относительного движения шарика (1.1.3) принимает вид
Составляющую реакции стенки трубки N y
определим из второго уравнения системы (1.1.2)
где определяется соответствующим выражением.
Определим проекции реакций опоры на оси неподвижной декартовой системы координат O 1
x 1
y 1
(рис. 2).
Запишем уравнение теоремы о движении центра масс для рассматриваемой механической системы в векторном виде:
Проектируя уравнение (2.1) на оси системы координат О 1
x 1
y 1
получаем
По известным формулам находим координаты центра тяжести системы,
Дифференцируя уравнения 1.2.3,1.2.4, получим
Вычисляя вторые производные получим
Подставляя (1.2.5) в уравнения (1.2.2), получаем проекции реакций в опоре О 1
на оси неподвижной системы координат:
Рис.3 Определение вращательного момента

Применим теорему об изменении кинетического момента для определения внешнего момента, обеспечивающего равномерное движение ведущего звена механической системы. Выберем за ось z ось вращения:
Определим кинетический момент рассматриваемой системы относительно оси O z
.
где - осевой момент инерции пластины, -угловая скорость вращения.
Шарик М совершает сложное движение- относительное вдоль желоба пластины(см. рис.3) со скоростью и переносное вместе с пластиной. Переносная скорость перпендикулярна пластине и по модулю равна:
Кинетический момент шарика относительно оси z равен
Кинетический момент всей системы равен
Определим главный момент внешних сил относительно оси z. Реакции опор пересекают ось вращения и момент относительно этой оси не создают. Определим момент силы тяжести шарика и пластины:
где M вр.
- внешний момент, обеспечивающий равномерное вращение пластины.
Подставляя 1.3.2, 1.3.3 в уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы 1.3.1, получаем
2. Поведение системы в конкретных условиях

Составим уравнения движения с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода. В выбранных обобщенных координатах и они принимают вид:
где - кинетическая энергия системы;
- обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам и .
Найдем кинетическую энергию системы. Она состоит из кинетических энергий всех тел, входящих в систему:
Абсолютная скорость шарика равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей (см. рис. 3), ее величина определяется по формуле:
Тогда для кинетической энергии системы получим:
Найдем все производные левой части уравнений (2.1.3):
Обобщенные силы можно определить двумя способами:
1. Фиксируем координату , даем виртуальное перемещение , находим элементарную работу:
Фиксируем координату , даем виртуальное перемещение , находим элементарную работу:
2. Вычислим потенциальную энергию системы:
Подставив производные левой части уравнений (2.1.1) и обобщенные силы и в уравнения (2.1.1), получим дифференциальные уравнения движения системы:
Для решения системы дифференциальных уравнений движения механической системы проведем численное интегрирование на ЭВМ. Результаты численного интегрирования приведены в приложении №2.
Для проверки численного интегрирования найдем, исходя из полученных данных, значения потенциальной и кинетической энергии механической системы. Суммируя значения потенциальной и кинетической энергии механической системы проверим, выполняется ли Закон сохранения энергии (см. приложение №2).
Выберем для нашей системы неподвижную систему координат О 1
X 1
Y 1
, (cм. рис.4).
Рис.4. Силы, действующие на систему

Уравнения кинетостатики в векторной форме имеют вид
где - главные векторы активных сил, реакций связей и сил инерции;
- главные моменты активных сил, реакций связей и сил инерции относительно точки О 1
.
Сила инерции шарика как материальной точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме относительной, переносной и кориолисовой сил инерции:
Изобразим активные силы, реакции опоры и силы инерции, действующие на механическую систему (рис. 4). Векторные уравнения кинетостатики (2.2.1) в проекциях на оси неподвижной системы координат OX 1
Y 1
имеют вид
C учётом выражений для сил инерции (2.2.2), уравнения (2.2.3) принимают вид
Найденные уравнения реакций шарнира и вращательного момента совпадают с теми, что были найдены в предыдущих частях курсовой работы.
3. Поведения системы в условиях малых колебаний

Для определения положения равновесия механической системы воспользуемся выражением для потенциальной энергии системы, которое было выведено нами во втором разделе курсовой работы (см. п. 4):
Найдем возможные положения равновесия системы. Значение обобщенных координат в положениях равновесия есть корни системы уравнений:
Решая систему уравнений, получаем два возможных положение равновесия:
Для оценки устойчивости полученных положений равновесия определим обобщенные коэффициенты жесткости. Найдем все вторые производные потенциальной энергии (3.1) по обобщенным координатам:
Для первого положения равновесия обобщенные коэффициенты жесткости равны:
Воспользуемся критерием Сильвестра:
Для второго положения равновесия обобщенные коэффициенты жесткости равны:
Воспользуемся критерием Сильвестра:
Таким образом, система принимает единственное устойчивое положение равновесия при:
3.2 Частоты главных колебаний. Уравнения движения материальной точки и твердого тела при колебаниях

Для нахождения частот и форм главных колебаний, выпишем полученные значения обобщенных коэффициентов инерции и жесткости в положении устойчивого равновесия, при: .
Запишем дифференциальные уравнения малых колебаний механической системы:
Составим характеристическое уравнение:
Найдем корни характеристического уравнения, подставляя в уравнение найденные значения обобщенных коэффициентов инерции и жесткости:
Определим коэффициенты форм колебаний:
Таким образом, движение рассматриваемой системы при собственных колебаниях будет происходить по следующему закону:
3.3Уравнения движения материальной точки и твердого тела при колебаниях

Найдем значения постоянных интегрирования системы уравнений (3.2.2) для следующих начальных условий:
С учетом полученных значений постоянных интегрирования запишем окончательный вид уравнений колебаний:
1. Авраменко А.А., Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай И.А. Динамика точки и механической системы. – Самара: СГАУ. – 2001. – 84 с.
2. СТП СГАУ 6.1.4. – 97. Общие требования к оформлению учебных текстовых документов: методические указания.

Название: Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы
Раздел: Рефераты по физике
Тип: курсовая работа
Добавлен 01:22:24 29 июля 2010 Похожие работы
Просмотров: 672
Комментариев: 14
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Курсовая работа: Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы
Дипломная работа по теме Стимулирование сбыта товаров через рыночные структуры распределения
Курсовая работа по теме Автоматизована система керування заводу по виготовленню цегли
Реферат: Кибернетика - наука ХХ века. Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная Работа По Бурятскому Языку 5 Класс
Курсовая работа: Правовые и профессионально-этические регуляторы в журналистике
Дипломная работа по теме Приемы активизации биологически активных точек
Конспекты лекций: Управление персоналом
Реферат по теме Брюшной тиф: история, этиология и эпидемиология
Сочинение Семья Моей Жизни
Реферат: Henry The Viii And His Six Wiv
Дипломная работа по теме Дидактическая игра, как метод пропедевтики акустической дисграфии у дошкольников
Реферат: Логика речи
Правовое регулирование деятельности налоговых органов
Дипломная Работа Тула
Реферат по теме Rosa canina шиповник собачий
Развитие Личности Эссе
Реферат по теме Энергетическая революция во благо
Курсовая работа: Регулирование сферы управления недвижимостью государством и профессиональными объединениями по управлению недвижимостью
Курсовая Работа На Тему Планирование И Развитие Профессиональной Карьеры
Курсовая работа по теме Неотложная контрацепция
Доклад: Половая конституция
Реферат: Вексель и вексельное обращение в России
Реферат: Вологда.