Курсовая работа: Аппроксимация функции методом наименьших квадратов
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ
2.1 Методические рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов
2.3 Методика выбора аппроксимирующей функции
2.5 Методика решения нормальных уравнений
2.6 Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений
2.7 Методика вычисления обратной матрицы
3.3 Решение систем методом обратной матрицы
Настоящая курсовая работа является завершающим разделом дисциплины «Вычислительная математика и программирование» и требует от студента в процессе ее выполнения решения следующих задач:
а) практического освоения типовых вычислительных методов прикладной информатики; б) совершенствования навыков разработки алгоритмов и построения программ на языке высокого уровня.
Практическое выполнение курсовой работы предполагает решение типовых инженерных задач обработки данных с использованием методов матричной алгебры, решения систем линейных алгебраических уравнений численного интегрирования. Навыки, приобретаемые в процессе выполнения курсовой работы, являются основой для использования вычислительных методов прикладной математики и техники программирования в процессе изучения всех последующих дисциплин при выполнении курсовых и дипломных проектов.
2.1 Методические рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов
При изучении зависимостей между величинами важной задачей является приближенное представление (аппроксимация ) этих зависимостей с помощью известных функций или их комбинаций, подобранных надлежащим образом. Подход к такой задаче и конкретный метод её решения определяются выбором используемого критерия качества приближения и формой представления исходных данных.
2.3 Методика выбора аппроксимирующей функции
Аппроксимирующую функцию выбирают из некоторого семейства функций, для которого задан вид функции, но остаются неопределенными (и подлежат определению) её параметры т.е.
Определение аппроксимирующей функции φ разделяется на два основных этапа:
Нахождение ее параметров в соответствии с критерием МНК.
Подбор вида функции представляет собой сложную задачу, решаемую методом проб и последовательных приближений. Исходные данные, представленные в графической форме (семейства точек или кривые), сопоставляется с семейством графиков ряда типовых функций, используемых обычно для целей аппроксимации. Некоторые типы функций , используемых в курсовой работе, приведены в таблице 1.
Более подробные сведения о поведении функций, которые могут быть использованы в задачах аппроксимации, можно найти в справочной литературе. В большинстве заданий курсовой работы вид аппроксимирующей функции задан.
После того как выбран вид аппроксимирующей функции (или эта функция задана) и, следовательно, определена функциональная зависимость (1), необходимо найти в соответствии с требованиями МНК значения параметров С 1
, С 2
, …, С m
.
Как уже указывалось, параметры должны быть определены таком образом, чтобы значение критерия в каждой из рассматриваемых задач было наименьшим по сравнению с его значением при других возможных значениях параметров.
Для решения задачи подставим выражение (1) в соответствующее из выражений и проведем необходимые операции суммирования или интегрирования (в зависимости от вида I). В результате величина I, именуемая в дальнейшем критерием аппроксимации, представляется функцией искомых параметров
Последующее сводиться к отысканию минимума этой функции переменных С k
; определение значений С k
=C k
*
, к=1,m, соответствующих этому элементу I, и является целью решаемой задачи.
Возможны следующие два подхода к решению этой задачи: использование известных условий минимума функции нескольких переменных или непосредственное отыскание точки минимума функции каким – либо из численных методов.
Для реализации первого из указанных подходов воспользуемся необходимым условием минимума функции (1) нескольких переменных, в соответствии с которыми в точке минимума должны быть равны нулю частные производные этой функции по всем ее аргументам
Полученные m равенств следует рассматривать как систему уравнений относительно искомых С 1
, С 2
,…, С m
. При произвольном виде функциональной зависимости (1) уравнения (3) оказывается нелинейным относительно величин C k
и их решение требует применение приближенных численных методов.
Использование равенства (3) дают, лишь необходимые, но недостаточные условия минимума (2). Поэтому требуется уточнить, обеспечивают ли найденные значения C k
*
именно минимум функции . В общем случае такое уточнение выходит за рамки данной курсовой работы, и предлагаемые для курсовой работы задания подобраны так, что найденное решение системы (3) отвечает именно минимуму I. Однако, поскольку величина I неотрицательна (как сумма квадратов) и нижняя её граница есть 0 (I=0), то, если существует решение системы (3) единственно, оно отвечает именно минимуму I.
При представлении аппроксимирующей функции общим выражением (1) соответствующие нормальным уравнениям (3) оказываются нелинейными относительно искомых С к.
их решение может быть сопряжено со значительными трудностями. В таких случаях предпочтительным являются непосредственный поиск минимума функции в области возможных значений ее аргументов С к
, не связанный с использованием соотношений (3). Общая идея подобного поиска сводиться к изменению значений аргументов С к
и вычислению на каждом шаге соответствующего значения функции I до минимального или достаточно близко к нему.
2.5 Методика решения нормальных уравнений
Один из возможных способов минимизации критерия аппроксимации (2) предполагает решение системы нормальных уравнений (3). При выборе в качестве аппроксимирующей функции линейной функции искомых параметров нормальные уравнения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.
2.6 Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений
Систему n линейных уравнений общего вида:
(4) можно записать посредством матричных обозначений в следующем виде: А·Х=В,
квадратная матрица А называется матрицей системы
, а вектора Х и В соответственно вектором-столбцом неизвестных систем
и вектором-столбцом ее свободных членов
.
В матричном виде исходную систему n линейных уравнений можно записать и так:
Решение системы линейных уравнений сводиться к отысканию значений элементов вектора-столбца (х i
), называемых корнями системы. Чтобы эта система имела единственное решение, входящее в нее n уравнение должно быть линейно независимым. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя системы, т.е. Δ=detA≠0.
Алгоритм решения системы линейных уравнений подразделяется на прямые и итерационные. На практике никакой метод не может быть бесконечным. Для получения точного решения итерационные методы требуют бесконечного числа арифметических операций. практически это число приходиться брать конечным и поэтому решение в принципе имеет некоторую ошибку, даже если пренебречь ошибками округлений, сопровождающими большинство вычислений. Что же касается прямых методов, то они даже при конечном числе операций могут в принципе дать точное решение, если оно существует.
Прямые и конечные методы позволяют найти решение системы уравнений за конечное число шагов. Это решение будет точным, если все промежутки вычисления проводятся с ограниченной точностью.
2.7 Методика вычисления обратной матрицы
Один из методов решения системы линейных уравнений (4), записываем в матричной форме А·Х=В, связан с использованием обратной матрицы А -1
. В этом случае решение системы уравнений получается в виде
где А -1
–матрица, определяемая следующим образом.
Пусть А –квадратная матрица размером n х n с ненулевым определителем detA≠0. Тогда существует обратная матрица R=A -1
, определяемая условием A·R=E,
где Е –единичная матрица, все элементы главной диагонали которой равны I, а элементы вне этой диагонали -0, Е=[E 1
,..., E n
], где Е i
–вектор-столбец. Матрица К –квадратная матрица размером n х n.
Рассмотрим ее первый столбец R=( r 11
, r 21
,…, r n
1
) T
, где Т –означает транспонирование. Нетрудно проверить, что произведение A·R равно первому столбцу E 1
=(1, 0, …, 0) Т
единичной матрицы Е, т.е. вектор R 1
можно рассмотреть как решение системы линейных уравнений A·R 1
=E 1.
Аналогично m –й столбец матрицы R , Rm, 1≤ m ≤ n, представляет собой решение уравнения A·Rm=Em, где Em=(0, …, 1, 0) T
m –й столбец единичной матрицы Е.
Таким образом, обратная матрица R представляет собой набор из решений n систем линейных уравнений
Для решения этих систем можно применять любые методы, разработанные для решения алгебраических уравнений. Однако метод Гаусса дает возможность решать все эти n систем одновременно, а независимо друг от друга. Действительно, все эти системы уравнений отличаются только правой частью, а все преобразования, которые проводятся в процессе прямого хода метода Гаусса, полностью определяются элементами матрицы коэффициентов (матрицы А). Следовательно, в схемах алгоритмов изменению подлежат только блоки, связанные с преобразованием вектора В. В нашем случае одновременно будут преобразовываться n векторов Em, 1≤ m ≤ n. Результатом решения также будет не один вектор, а n векторов Rm, 1≤ m ≤ n.
3.3 Решение систем методом обратной матрицы
аппроксимация квадрат функция линейный уравнение
3,5 2,85 2,43 -0,89 0 0,4 0,61 -1,24
2,56 2,43 2,44 -1,86 0 0,638 1,109 -2,116
С 1
=1,71; С 2
=-1,552; С 3
=-1,015;
Function FI( i ,k : integer): real;
Procedure PEREST(i:integer;var a:mass1;var b:mass2);
begin A[i,j]:= A[i,j]+FI(i,k)*FI(j,k); write(a[i,j]:7:5); end;
writeln('________________________');
writeln('МатрицаКоэффициентовAi,j');
writeln('__________________________');
writeln('__________________________');
writeln(‘Матрица Коэффициентов Bi ');
writeln('_________________________');
a[k,j]:=a[k,j]-Q*a[i,j]; writeln('a=',a[k,j]);
b[k]:=b[k]-Q*b[i]; writeln('b=',b[k]);
writeln('__________________________');
writeln ('Значение коэффициентов ');
writeln('_________________________');
y1[i]:= x1[k]*FI(k,i) + x1[k+1]*FI(k+1,i) + x1[k+2]*FI(k+2,i);
if delta[i]>maxD then maxD:=delta[1];
С 1
=1,511; С 2
=-1,237; С 3
=-1,11;
В процессе выполнения курсовой работы я практически освоил типовые вычислительные методы прикладной математики, совершенствовал навыки разработки алгоритмов и построения программ на языках высокого уровня. Получил навыки, являющиеся основой для использования вычислительных методов прикладной математики и техники программирования в процессе изучения всех последующих дисциплин при выполнении курсовых и дипломных проектов.
Название: Аппроксимация функции методом наименьших квадратов
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа
Добавлен 07:28:48 02 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 5942
Комментариев: 11
Оценило: 4 человек
Средний балл: 4.8
Оценка: неизвестно Скачать
Дробно-рациональная(первой степени)
Тригонометрические функции (и обратные к ним)
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Ребятки, кто на FAST-REFERAT.RU будет заказывать работу до 26го мая - вводите промокод iphone, и тогда будете учавствовать в розыгрыше iphone xs)) сам только что узнал, что у них такие акции бывают (п.с. кстати не удивляйтесь что вас перекидывает на сайт с другим названием, так и должно быть)
Мне с моими работами постоянно помогают на FAST-REFERAT.RU - можете просто зайти узнать стоимость, никто вас ни к чему не обязывает, там впринципе всё могут сделать, вне зависимости от уровня сложности) у меня просто парень электронщик там какой то, тоже там бывает заказывает))
Спасибо, Оксаночка, за совет))) Заказал курсач, отчет по практике, 2 реферата и дипломную на REFERAT.GQ , все сдал на отлично, и нервы не пришлось тратить)
Я обычно любые готовые работы покупаю на сайте shop-referat.tk , и свои все там же на продажу выставляю, неплохой доп.заработок. А если там не нахожу то уже на referat.gq заказываю и мне быстро делают.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Курсовая работа: Аппроксимация функции методом наименьших квадратов
Аттестационная Работа По Математике 3 Класс
Курсовая Работа На Тему Происхождение И Эволюция Органического Мира
Реферат: Разработка организации работы моторного участка комплекса ремонтных участков АТП г. Владимира
Курсовая работа по теме Организация и проведение PR-кампаний в сфере народного творчества
Сочинение На Тему Твоя Любимая Книга
Курсовая Работа На Тему Специфіка Неповних Речень У Творах Юрія Мушкетика
Сочинение по теме Стихотворение А. А. Фета «Еще весны душистой нега…»
Реферат: Александр Блок: патология любви
Курсовая Работа На Тему Характеристика Бюджета Городского Округа Самара Самарской Области За 2008-2009 Годы
Реферат: Послевоенные конференции
Реферат: Судьбы восточнославянских народов в глобальном контексте
Реферат: Карбюраторные двигатели
Сочинение На Тему Слова От Неожиданности
Как Правильно Сделать Курсовую
Реферат: Социальный и субъектный контексты развития Я-концепции
Курсовая работа по теме Подбор методик для психолого-педагогического обследования дошкольников с нарушением слуха
Реферат по теме Человеческий потенциал стран Азии
Реферат На Тему Робот Пылесос
Задания Контрольные Работы По Информатике 2022
Реферат: Архитектура материнских плат. Скачать бесплатно и без регистрации
Статья: Два основных понимания всемирной истории: унитарно-стадиальное и плюрально-циклическое
Реферат: Полиморфные вирусы
Статья: Политический человек: психология выбора