Курсовая работа: Аппроксимация экспериментальных зависимостей
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Данные давления водорода Н 2
на линии насыщения приведены в таблице. Сделать аппроксимацию экспериментальных данных в виде степенной функции и многочлена первой степени. Произвести сравнительный анализ ошибки аппроксимации полученной двумя функциями.
Аппроксимация экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов. Теоретические сведения
Пусть, в результате эксперимента получена зависимость.
Необходимо найти аналитическую формулу f
=
,
которая аппроксимирует экспериментальную (табличную) зависимость.
Выберем зависимость в виде полинома 2 – й степени, т.е.
В выражении (1) коэффициенты , , подлежат определению, причем эти коэффициенты должны быть подобраны таким образом, чтобы зависимость наилучшим образом приближалась к экспериментальной зависимости. Пусть отклонение
- различие между табличным значением в точке и значением аналитической функции в этой же самой точке, т.е.:
В соответствии с методом наименьших квадратов (МНК) наилучшими коэффициентами зависимости (1)
будут такие, для которых сумма квадратов отклонений будет минимальной.
Используя необходимые условия существования экстремума для функций нескольких переменных , находим уравнение для определения коэффициентов зависимости (1).
Из условия (4)
получим систему линейных алгебраических уравнений:
Решив систему (5)
найдем коэффициенты аппроксимирующей зависимости (1).
Эффективным методом решения систем линейных алгебраических уравнений является матричный метод. Сущность его состоит в следующем.
Пусть А
— матрица коэффициентов системы уравнений, X
— вектор неизвестных, В
— вектор правых частей системы уравнений. Тогда решение системы уравнений в матричной форме будет иметь вид:
Если ранг матрицы совместной системы равен числу ее неизвестных, то система является определенной. Если число неизвестных системы совпадает с числом уравнений (
m
=
n
)
и матрица системы невырожденная (det A
≠ 0), то система имеет единственное решение, которое находится по правилу Крамера:
В этих формулах ∆ = det А
— определитель системы, а ∆ k
— определитель, полученный из определителя системы заменой k
-г
o
столбца столбцом свободных членов (
k
=
1, 2,..., n
).
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными можно выразить через определители:
Зависимость давления P водорода Н 2
при различных температурах на линии насыщения приведены в таблице (1).
Для проведения анализа исходных данных с целью выбора вида аппроксимирующего многочлена построим график функции, заданной в табл.1. График приведен на рис.1.
Графическое отображение точек экспериментальных данных
Рис. 1.Экспериментальная зависимость P=f(T)
В результате анализа данных выберем в качестве аппроксимирующего многочлена параболу, заданную уравнением P 2
(x)=a 0
+a 1
x+a 2
x 2
.
Для определения коэффициентов a 0
, a 1
, a 2
запишем систему уравнений вида
При составлении системы создадим вспомогательную таблицу данных (таблица 2).
Используя данные таблицы 2, систему уравнений (5) записываем в виде
В результате решения системы методом Крамера получаем следующие значения определителей:
Вычислив определители, рассчитываем значения коэффициентов:
Таким образом, искомый аппроксимирующий многочлен имеет вид:
Полученная аналитическая зависимость (6) обобщает экспериментальные данные табл.01.
Для оценки погрешности полученной зависимости составим таблицу значений P. Для этого определим давление P по формуле (6). Результаты внесем в таблицу 2.
Для оценки точности параболической аппроксимации сравниваем значения Р из табл.01 и табл.2. Модуль разности соответствующих значений представляет DP-погрешность аппроксимации, значения которой представлены в табл.3. В таблице приведена также относительная погрешность dР, равная отношению DР к Р.
Сравнительный анализ погрешностей показывает, что полученная аналитическая зависимость удовлетворительно обобщает исходные экспериментальные данные.
Для интегральной оценки аппроксимации можно использовать формулу:
На рис. 2 приведены два графика, один из которых построен по данным аппроксимации (табл. 2), а второй - по исходным данным (табл.01).
Сравнивая эти графики, можно также отметить удовлетворительную сходимость теоретических и экспериментальных данных.
Выберем в качестве аппроксимирующего многочлена линейную функцию.
Аппроксимируем данную табличную зависимость многочленом первой степени P 1
(x)=a 0
+a 1
x
Для определения коэффициентов а 0
, а 1
необходимо составить систему уравнений
Подставив данные таблицы в систему уравнений получим:
Следовательно, искомый аппроксимирующий многочлен имеет вид
Формула (7) является аналитической зависимостью, обобщающей экспериментальные данные табл. 01.
Для оценки линейной аппроксимации необходимо сравнить значения y i
из табл. 4 со значениями, полученными по формуле (7) для всех точек (i=1, 2, ..., 8). Результаты сравнения представлены в таблице 5.
Проанализировав табл.5 можно сделать вывод, формула (7) не является корректной аналитической зависимостью, обобщающей экспериментальные данные табл. 01.
На рис.3 приведены график функции (7) и исходные экспериментальные данные. Сравнительный анализ показывает неудовлетворительную сходимость теоретических и экспериментальных данных.
Рис.5.3. График линейного аппроксимирующего многочлена и исходные данные.
#define PATHTODRIVER "c:\egavga.bgi"
void GrafikPolinom(float, float, float, float, float, float );//Функция //построенияграфикаполиномиальнойаппроксимацииэкспериментальныхданных
void GrafikLinear(float,float,float,float,float);//Функцияпостроения
//графика линейной аппроксимации экспериментальных данных
voidGRAPH_POINTS(float,float,float,float ); //Функция выводит на экран точки //экспериментальных данных
int GRAPH_MODE(); //Функция инициализации графического режима
voidGRID(float, float);// Функция формирования координатной сетки
/*-------------------------------------------------------------------------*/
floattmpr,pwr; //текущие значения аргумента и функции
floatdiscret; //дискретность изменения аргумента
floattn0, tn; //диапазон изменения аргумента tn0 - min, tn - max
float pn; //pn-max экспериментальное значение функции
float *dp = new float [n]; //Массив значений ошибок аппроксимации
float *P = new float [n]; //Массив значений //полученный аналитическим способом
float INTG = 0; //переменная, используемая в выражении //интегральной оценки аппроксимации
float A = 0, B = 0, C = 0, D = 0, E = 0, F = 0, G = 0;
float detA,i, detA1, detA2, detA3, A0,A2,A3;
Вводзначенийэкспериментальныхданных*/ cout<<" Input number double values "<\n" ;
cout <<" FOR FIND APROCSIMATION POLINOM FUNCTION INPUT <2>\n" ;
cout <<" FOR FIND APROCSIMATION LINEAR FUNCTION INPUT <4>\n" ;
cout <<" FOR FIND DRAWING POLINOM FUNCTION INPUT <3>\n" ;
cout <<" FOR FIND DRAWING LINEAR FUNCTION INPUT <5>\n" ;
/* Графическое отображение экспериментальных данных в виде точек зависимости P = f(t) на координатной плоскости */
{ tn0 = t[0]; tn = t[n-1];//tn-max экспериментальное значение температуры (аргумента) pn = p[n-1];//pn-max экспериментальное значение функции
} getch () ; closegraph(); // выход из графического режима
{ cout<<" Error code regimen = "<
, предлагающее пользователю ввести количество пар входных данных, после чего выводится строка ввода значений аргумента <
ENTER
EXPERIMENTAL
ARGUMENT
VALUE
>
и затем значений экспериментальной зависимости .
После ввода данных на экран выводится меню:
FOR FIND APROCSIMATION POLINOM FUNCTION INPUT <2>;
FOR DRAWING THE GRAPHIC OF POLINOM FUNCTION INPUT <3>;
FOR FIND APROCSIMATION LINEAR FUNCTION INPUT <4>;
FOR DRAWING THE GRAPHIC OF LINEAR FUNCTION INPUT<5>;
состоящее из 6 пунктов, выбрав один из которых можно произвести соответствующие операции, указанные в аннотации:
-
FOR
DRAWING
POINTS
INPUT
<1>
- позволяет произвести графическое отображение экспериментальных данных в виде точек зависимости P = f(t)
на координатной плоскости ;
FOR
FIND
APROCSIMATION
POLINOM
FUNCTION
INPUT
<2>
- позволяет произвести расчет функции аппроксимации экспериментальных данных в виде полинома 2 - й степени;
FOR
DRAWING
THE
GRAPHIC
OF
POLINOM
FUNCTION
INPUT
<3>
- позволяет построить графическое отображение, полученной зависимости P
=
f
(
t
)
в виде аппроксимирующего многочлена 2 степени, на координатной плоскости;
FOR
FIND
APROCSIMATION
LINEAR
FUNCTION
INPUT
<4>
- позволяет произвести расчет линейной функции аппроксимации экспериментальных данных;
FOR
DRAWING
THE
GRAPHIC
OF
LINEAR
FUNCTION
INPUT
<5>
- позволяет построить графическое отображение, полученной зависимости P
=
f
(
t
)
в виде линейной функции аппроксимации на, координатной плоскости;
FOR
EXIST
INPUT
<0>
- предлагает выйти из программы:
Данная программа позволяет произвести аппроксимацию экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов с отображением результатов аппроксимации в текстовом и графическом режимах. Программа позволяет оценить точность аппроксимации и произвести сравнительный анализ типов аппроксимации ( с помощью многочлена 2 – й степени или с помощью многочлена 1 – й степени ).
Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ - Киев, НАУКОВА ДУМКА, 1987, 647.
Глушаков С.В., Сурядный А.С. MICROSOFT EXCEL XP - Харьков, ФИЛИО, 2006, 508.
Дорош Н.Л., Бартенев Г.Л. и др. Методические указания к выполнению индивидуальных заданий и курсовой работы по дисциплинам "Информатика" и "Вычислительная математика". Днепропетровск, УДХТУ, 2004, 47.
Название: Аппроксимация экспериментальных зависимостей
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа
Добавлен 03:47:08 03 февраля 2011 Похожие работы
Просмотров: 802
Комментариев: 15
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Курсовая работа: Аппроксимация экспериментальных зависимостей
Реферат: Algonquin Park Essay Research Paper CHAPTER ONETRIP
Реферат: Влияние детско-роительского отношения на личность младшего школьного возраста
Отчет О Прохождении Практики В Сбербанке
Реферат: Система злочинів у КК України
Правовая Теория Ч Беккариа Курсовая Работа
Технико Экономическое Обоснование Строительство Дороги
Дипломная работа: Роман "Пути небесные" как итог духовных исканий Ивана Сергеевича Шмелева. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа по теме Параллельные прямые в курсе основной школы
Контрольная работа по теме Математическая экономика
Онтология Виртуальной Реальности Реферат
Сочинение Огэ 2022 Как Писать Презентация
Система Образования В Великобритании Реферат
Курсовая работа по теме Демографическая ситуация: региональный портрет
Сочинение: Письмо другу с размышлениями о Родине
Реферат: Текстовий редактор Word Дії з об єктами WordArt
Контрольная Работа На Тему Технология Сварки Металлов
Пивной Напиток Эссе Фото
Ответ на вопрос по теме Предмет мовознавства
Контрольная работа: Стратегические победы советских войск и личная храбрость боевого состава как национальное качество русского народа
Возобновляемая Энергия Реферат
Реферат: Финансовые результаты деятельности организации
Дипломная работа: Оцінка економічної ефективності інвестиційного проекту (на прикладі ВАТ "Дніпропетровський хлібозавод № 9")
Реферат: ЛАОС. Новейшая история