Курсовая Работа Обыкновенные Дроби В Начальной Школе
Курсовая Работа Обыкновенные Дроби В Начальной Школе
Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ , дипломов , контрольных работ и рефератов . Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp» , которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
Все
Астрономия
Базы данных
Банкетное дело
Банковское дело
Биология
Бухгалтерский учёт
География
Дизайн
Другой
Журналистика
Ин. языки
Информатика
История
Криминалистика
Кулинария
Культурология
Литература
Логистика
Маркетинг
Мат. методы в экономике
Математика
Машиностроение
Медицина
Междун. отношения
Менеджмент
Метрология
Организ.предпр.общепита
ОТУ
Охрана труда
Педагогика
Политология
Право
Правоведение
Программирование
Проектиров.пред.общепита
Психология
Сервис
Социология
Статистика
Строительство
Схемотехника
Технология прод.общепита
Товароведение
Торговое дело
Физика
Физиология питания
Физкультура
Философия
Финансовый анализ
Финансовый менеджмент
Финансы и кредит
Химия
Экология
Эконом. предприятия
Эконом. теория
Экономика, Аудит
Электроника
Юриспруденция
курсовая работа Формирование, понятия дроби как рационального числа, на уроках математики в начальной школе
Тип работы: курсовая работа.
Добавлен: 22.12.2014.
Год: 2014.
Страниц: 13.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
Содержание
1.введение
Глава 1.
исторический
аспект происхождения дробей.
Понятие
рационального числа
Множество
положительных рациональных чисел как
расширение множества натуральных чисел.
Формирование
понятия доли и дроби в вариантных программах
обучения математике
Заключение.
Список используемой литературы.
Введение.
В любой системе
общего образования математике занимает
одно из центральных мест ,что несомненно
говорит об уникальности этой области
знаний.
История развития математики тесно
связана с измерением величин. Однако
как показала практика, для этих целей
натуральных чисел недостаточно: довольно
часто единица величины не укладывается
целое число раз в измеряемой величине.
Чтобы в такой ситуации точно выразить
результат измерения, необходимо расширить
запас чисел, введя числа, отличные от
натуральных. К этому выводу люди приняли
ещё в глубокой древности .Измерение длин
,площадей, масс и других привяло к возникновению
дробных чисел, что явилось основой введения
понятия рационального числа.
В 5
веке до н.э. математики школы Пифагора
было установлено, что существуют обрезки
Длины которых
при выбранной единице длины нельзя выразить
рациональным числом. в связи с решением
этой проблемы, появились числа иррациональное.
рациональные и иррациональные числа
назвали действительными.
Понятие рационального числа
в начальных классах в явной виде не
вводится. На этом этапе изучению математики
идет пропедевтическая работа, на проявление
на формирование данного понятия. Младшие
школьники знакомятся с понятием доли
числа и с дробными числами.Затем понятие
дроби уточняется и расширяется в основных
школах.
В связи с этим учителю необходимо
владеть понятием и рационального
числа, знать правила выполнения действий
над рациональными числами, свойство этих
чисел действий. Все это нужно не только
для того, чтобы математически грамотно
ввести понятие дроби и доли и обучать
младших школьников выполнять с ними простейшие
действия ,но и, что не менее важно, видеть
взаимосвязи множеств рациональных и
действительных чисел с множеством натуральных
чисел. Без них понятия нельзя решить
проблему примитивности в обучении математики
в начальных и последующих классов школы.
Все вышеизложенное позволило
нам определить тему курсовой
работы: «формирование ,понятия дроби как рационального
числа, на уроках математики в начальной
школе.
1.1
исторический аспект происхождения
дробей.
Из истории возникновения обыкновенных
дробей.
Необходимость в дробных числах возникла
у человека на весьма ранней стадии развития.
Уже дележ добычи, состоявший из нескольких
убитых животных, между участниками охоты,
когда число животных оказывалось не кратным
числу охотников, могло привести первобытного
человека к понятию о дробном числе.
Наряду с необходимостью
считать предметы у людей с древних времён
появилась потребность измерять длину,
площадь, объём, время и другие величины.
Результат измерений не всегда удаётся
выразить натуральным числом, приходится
учитывать и части употребляемой меры.
Исторически дроби возникли в процессе
измерения.
Потребность в
более точных измерениях привела к тому,
что начальные единицы меры начали дробить
на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице
меры, которую получали как следствие
раздробления, давали индивидуальное
название, и величины измеряли уже этой
более мелкой единицей.
В связи с этой
необходимой работой люди стали употреблять
выражения: половина, треть, два с половиной
шага. Откуда можно было сделать вывод,
что дробные числа возникли как результат
измерения величин. Народы прошли через
многие варианты записи дробей, пока не
пришли к современной записи.
Дроби
в Древнем Египте
В Древнем Египте
архитектура достигла высокого развития.
Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды
и храмы, чтобы вычислять длины, площади
и объемы фигур, необходимо было знать
арифметику.
Из расшифрованных
сведений на папирусах ученые узнали,
что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную
(но не позиционную) систему счисления,
умели решать многие задачи, связанные
с потребностями строительства, торговли
и военного дела.
В Древнем Египте
некоторые дроби имели свои особые названия
– а именно, часто возникающие на практике
1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 и 1/8. Кроме того, египтяне
умели оперировать с так называемыми аликвотными
дробями (от лат. aliquot – несколько) типа 1/n – их поэтому иногда также называют «египетскими»;
эти дроби имели свое написание: вытянутый
горизонтальный овальчик и под ним обозначение
знаменателя. Что касается остальных дробей,
то их следовало раскладывать в сумму
египетских. Древние египтяне уже знали,
как поделить 2 предмета на троих, для этого
числа - 2/3 - у них был специальный значок.
Это была единственная дробь в обиходе
египетских писцов, у которой в числителе
не стояла единица - все остальные дроби
непременно имели в числителе единицу
(так называемые основные дроби). Если
египтянину нужно было использовать другие
дроби, он представлял их в виде суммы
основных дробей. Например, вместо 8/15 писали
1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. Умели египтяне также умножать и делить
дроби. Но для умножения приходилось умножать
доли на доли, а потом, быть может, снова
использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло
с делением. Важную работу по исследованию
египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи.
Дроби
в Древней Греции
Египетские
дроби продолжались использоваться в
древней Греции и впоследствии математиками всег о мира до
средних веков, несмотря на имеющиеся
к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий
Птолемей говорил о неудобстве использования
египетских дробей по сравнению с Вавилонской
системой). Максим Плануд греческий монах,
ученый, математик в 13 веке ввел название числителя и знаменателя
В Греции употреблялись
наряду с единичными, «египетскими» дробями
и общие обыкновенные
дроби. Среди разных
записей употреблялась и такая: сверху
знаменатель, под ним – числитель дроби.
Например, означало три пятых. Еще за 2-3
столетия до Евклида и Архимеда греки
свободно владели арифметическими действиями
с дробями.
Дроби
в Индии.
Современную систему
записи дробей создали в Индии. Только
там писали знаменатель сверху, а числитель
снизу, и не писали дробной черты. Зато
вся дробь помещалась в прямоугольную
рамку. Иногда использовалось и «трехэтажное»
выражение с тремя числами в одной рамке;
в зависимости от контекста это могло
обозначать неправильную дробь (a + b/c) или деление целого числа a на дробь b/c. Правила действий над дробями почти
не отличались от современных.
Дроби
у арабов.
Записывать дроби
как сейчас стали арабы. Средневековые
арабы пользовались тремя системами записи
дробей. Во-первых, на индийский манер
записывая знаменатель под числителем;
дробная черта появилась в конце XII – начале
XIII в. Во-вторых, чиновники, землемеры,
торговцы пользовались исчислением аликвотных
дробей, похожим на египетское, при этом
применялись дроби со знаменателями, не
превышающими 10 (только для таких дробей
арабский язык имеет специальные термины);
часто использовались приближенные значения;
арабские ученые работали над усовершенствованием
этого исчисления. В-третьих, арабские
ученые унаследовали вавилонско-греческую
шестидесятеричную систему, в которой,
как и греки, применяли алфавитную запись,
распространив ее и на целые части.
Дроби
в Вавилоне
Вавилоняне пользовались
всего двумя цифрами. Вертикальная черточка
обозначала одну единицу, а угол из двух
лежащих черточек – десять. Эти черточки
у них получались в виде клиньев, потому
что вавилоняне писали острой палочкой
на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.
В древнем Вавилоне предпочитали постоянный
знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными
дробями, унаследованными от Вавилона,
пользовались греческие и арабскиематематики и астрономы. Исследователи
по-разному объясняют появление у вавилонян
шестидесятеричной системы счисления.
Скорее всего здесь учитывалось основание
60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и
60, что значительно облегчает всякие расчеты.
Но было неудобно
работать над натуральными числами, записанными
по десятичной системе, и дробями, записанными
по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными
дробями было уже совсем трудно. Поэтому
голландский математик Симон Стевин предложил
перейти к десятичным дробям.
Дроби
в Древнем Китае
В Древнем Китае
уже пользовались десятичной системой
мер, обозначали дробь словами, используя
меры длины чи: цуни, доли, порядковые,
шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь
вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли,
5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших,
6 паутинок. Так записывались дроби на
протяжении двух веков, а в V веке китайский
ученый Цзу-Чун-Чжи принял за единицу не
чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела
так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых,
3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.
Дроби
в Древнем Риме
Интересная система
дробей была в Древнем Риме. Она основывалась
на делении на 12 долей единицы веса, которая
называлась асс. Двенадцатую долю асса
называли унцией. А путь, время и другие
величины сравнивали с наглядной вещью
- весом. Например, римлянин мог сказать,
что он прошел семь унций пути или прочел
пять унций книги. При этом, конечно, речь
шла не о взвешивании пути или книги. Имелось
в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено
5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением
дробей со знаменателем 12 или раздроблением
двенадцатых долей на более мелкие, были
особые названия.
Даже сейчас иногда
говорят: "Он скрупулёзно изучил этот
вопрос." Это значит, что вопрос изучен
до конца, что не одной самой малой неясности
не осталось. А происходит странное слово
"скрупулёзно" от римского названия
1/288 асса - "скрупулус". В ходу были
и такие названия: "семис"- половина
асса, "секстанс"- шестая его доля,
"семиунция"- половина унции, т.е.
1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных
названий дробей. Чтобы работать с дробями,
надо было помнить для этих дробей таблицу
сложения и таблицу умножения. Поэтому
римские купцы твёрдо знали, что при сложении
триенса (1/3 асса) и секстанса получается
семис, а при умножении беса (2/3 асса) на
сескунцию (2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается
унция. Для облегчения работы составлялись
специальные таблицы, некоторые из которых
дошли до нас.
Дроби
на Руси
В русском языке
слово "дробь" появилось лишь в VIII
веке. Происходит слово "дробь" от
слова "дробить, разбивать, ломать на
части". У других народов название дроби
также связано с глаголами "ломать",
"разбивать", "раздроблять".
В первых учебниках дроби назывались "ломанные числа". В старых руководствах
находили следующие названия дробей на
Руси:
– половина, полтина, – треть,
– четь, – полтреть,
– полчеть, – полполтреть,
– полполчеть, – полполполтреть (малая
треть),
– полполполчеть (малая четь), – пятина,
– седьмина, – десятина.
Древние математики 100/11 не считали
дробью. Остаток от деления 1 фунт предлагается
поменять на яйца, которых можно было купить
91 штуки. Если 91:11 то получится по 8 яиц
и 3 яйца в остатке. Автор рекомендует отдать
их тому, кто делил, или же поменять на
соль, чтобы посолить яйца.
Десятичные
дроби.
Уже несколько
тысячелетий человечество пользуется
дробными числами, а вот записывать их
удобными десятичными знаками оно додумалось
значительно позже.
Почему же люди перешли от обыкновенных
дробей к десятичным? Да потому, что действия
с ними более простые, особенно сложение
и вычитание.
Появились десятичные дроби в трудах
арабских математиков в Средние века
и независимо от них в древнем Китае. Но
и раньше, в древнем Вавилоне, использовали
дроби такого же типа, только шестидесятеричные.
Позднее учёный
Гартман Бейер (1563-1625) выпустил сочинение
“Десятичная логистика”, где писал: “…я
обратил внимание на то, что техники и
ремесленники, когда измеряют какую-нибудь
длину, то очень редко и лишь в исключительных
случаях выражают её в целых числах одного
наименования; обыкновенно им приходится
или брать мелкие меры, или обращаться
к дробям. Точно так же астрономы измеряют
величины не только в градусах, но и в долях
градуса, т.е. минутах, секундах и т.п. Их
деление на 60 частей не так удобно, как
деление на 10, на 100 частей и т.д., потому
что в последнем случае гораздо легче
складывать, вычитать и вообще производить
арифметические действия; мне кажется,
что десятичные доли, если бы ввести вместо
шестидесятеричных, пригодились бы не
только для астрономии, но и для всякого
рода вычислений”.
Сегодня мы пользуемся
десятичными дробями естественно и свободно.
Однако то, что кажется естественным нам,
служило настоящим камнем преткновения
для учёных Средневековья. В Западной
Европе 16 в. вместе с широко распространённой
десятичной системой представления целых
чисел в расчётах повсюду применялись
шестидесятеричные дроби, восходящие
ещё к древней традиции вавилонян. Понадобился
светлый ум нидерландского математика Симо на Стевина,
чтобы привести запись и целых, и дробных
чисел в единую систему. По-видимому, толчком
создания десятичных дробей послужили
составленные им таблицы сложных процентов.
В 1585 г. он опубликовал книгу “Десятина”,
в которой объяснил десятичные дроби.
С начала XVII века
начинается интенсивное проникновение
десятичных дробей в науку и практику.
В Англии в качестве знака, отделяющего
целую часть от дробной, была введена точка.
Запятая, как и точка, в качестве разделительного
знака была предложена в 1617 году математиком Непером.
Развитие промышленности
и торговли, науки и техники требовали
все более громоздких вычислений, которые
с помощью десятичных дробей легче было
выполнять. Широкое применение десятичные
дроби получили в XIX веке после введения
тесно связанной с ними метрической системы
мер и весов. Например, в нашей стране в
сельском хозяйстве и промышленности
десятичные дроби и их частный вид – проценты
– применяются намного чаще, чем обыкновенные
дроби.
Дроби
в музыке.
Пифагорейцы,
много занимавшихся музыкой и обожествлявшие
число, считали, что Земля имеет форму
шара и находится в центре Вселенной: ведь
нет никаких оснований, чтобы она была
смещена или вытянута в какую-то одну сторону.
Солнце же, Луна и 5 планет (Меркурий, Венера,
Марс, Юпитер и Сатурн) движутся вокруг
Земли. Расстояния от них до нашей планеты
таковы, что они как бы составляют семиструнную
арфу, и при их движении возникает прекрасная
музыка – музыка сфер. Обычно люди не слышат
её из-за суеты жизни, и лишь после смерти
некоторые из них смогут насладиться ею.
А Пифагор слышал её при жизни.
Его ученики
– пифагорейцы, много занимавшиеся музыкой
и обожествлявшие число, исследовали,
насколько повышается тон струны, если
её прижать посередине, или на четверть
расстояния одного из концов, или на треть.
Обнаружилось, что одновременное звучание
двух струн приятно для слуха, если длины
их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4, что соответствует
музыкальным интервалам в октаву, квинту
и кварту. Гармония оказалась тесно связанной
с дробями, что подтверждало основную
мысль пифагорейцев: «число правит миром»…
Так дроби
сыграли определяющую роль в музыке. И
сейчас в общепринятой нотой записи длинная
нота – целая – делится на половинки (вдвое
короче), четверти, восьмые, шестнадцатые
и тридцать вторые.
1.2
Понятие рационального числа
В математике существует много разных
чисел. Одни из них называются рациональными.
Рациональное число
- это число, представление которого
возможно в виде обыкновенной дроби. Например,
3/4 или 5/6. Числитель этой дроби - это целое
число, а, в свою очередь, знаменатель -
натуральное число. Мы знаем, что натуральное
число - это число, которое используют
при счете любых предметов. Целые числа
- это любые натуральные и противоположные
им числа, а также 0.
Также, подмножеством
рациональных чисел является множество
целых чисел. Рациональные числа имеют
четыре основные свойства - это сложение,
умножение, деление (кроме ноля) и вычитание.
Также, они могут быть упорядочены. Для
каждого числа из множества рациональных
чисел существует обратное и противоположное
число.
Область, в которой
применены рациональные числа огромная.
Такие числа применяют вфизике, математике, химии, экономике и т.д. Но
самое большое значение эти числа имеют
в банковских и финансовых системах.
Рациональное число (лат. ratio — отношение,
деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью mn, числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число, к примеру
2/3. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда,
сталкиваясь с необходимостью измерять
некоторые вещи (длину, вес, площадь и т. п.),
люди поняли, что не удаётся обойтись целыми
числами и необходимо ввести понятие доли:
половины, трети и т. п. Дробями и операциями
над ними пользовались, например, шумеры, древние
египтяне и греки.
Термин "рациональное
число" произошел от латинского
слова "ratio", что в переводе означает
"отношение" (дробь).
1.3.
Множество
положительных рациональных чисел как
расширение множества натуральных чисел.
Множество положительных
рациональных чисел как расширение множества
натуральных чисел
Чтобы множество Q+ положительных рациональных
чисел являлось расширением множества N натуральных чисел,
необходимо выполнение ряда условий.
Первое условие - это
существование между N и Q+ отношения включения.
Докажем, что N
Q+.
Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным
числом т. Разобьем единичный
отрезок на правных частей. Тогда n-ая часть единичного
отрезка будет укладываться в отрезке х точно
раз, т.е. длина отрезка х будет выражена дробью
. Значит, длина отрезка х выражается и натуральным
числом т, и положительным рациональным
числом
. Но это должно п быть одно и то же число.
Поэтому целесообразно считать, что дроби вида
являются записями натурального числа т. Следовательно, N
Q+.
Так, например, натуральное
число 6 можно представить в виде следующих
дробей:
,
,
,
,
, и т. д.
Отношение между множествами N и Q+ представлен о на рисунке
28.
Числа, которые дополняют множество натуральных
чисел до множества положительных рациональных,
называются дробными.
Второе условие,
которое должно быть выполнено
при расширении множества натуральных
чисел, - это согласованность операций, т.е. результаты
арифметических действий, произведенных
по правилам, существующим для натуральных
чисел, должны совпадать с результатами
действий над ними, но выполненных по правилам,
сформулированным для положительных рациональных
чисел. Нетрудно убедиться в том, что и
это условие выполняется.
Пусть а и b - натуральные числа,
- их сумма, полученная
по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения
в Q+. Так как
,
, то
.
Убедиться в том, что
второе условие выполняется и для других
операций, можно аналогично или подсмотреть
тутhttp://www.zaochnik.com/ kontrol.html .
Третье условие, которое
должно быть выполнено при расширении
множества натуральных чисел - это выполнимость
в Q+операции, не всегда
осуществимой в N. И это условие соблюдено:
деление, которое не всегда выполняется
в множестве N, в множестве Q+ выполняется всегда.
Сделаем еще несколько
дополнений, раскрывающих взаимосвязи
между натуральными и положительными
рациональными числами.
1. Черту в записи
дроби
можно рассматривать как знак деления.
Действительно, возьмем
два натуральных числа т и п и найдем их частное
по правилу (4) деления положительных рациональных
чисел:
Обратно, если дана
дробь
, то ее можно рассматривать как частное
натуральных чисел т и п:
.
2. Любую неправильную
дробь можно представить либо
в виде натурального числа, либо
в виде смешанной дроби.
Пусть
- неправильная дробь. Тогда т > п. Если т кратно п, то в этом случае дробь
является записью натурального числа.
Если число т не кратно п, то разделим т на п с остатком:
, где
. Подставим
вместо т в запись
и применим правило (1) сложения положительных
рациональных чисел:
.
Так как
, то дробь
- правильная. Следовательно, неправильная
дробь
оказалась представленной в виде суммы
натурального числа q и правильной дроби
. Это действие называется выделением
целой части из неправильной дроби. Например,
.
Сумму натурального
числа и правильной дроби принято
записывать без знака сложения: т.е. вместо
пишут
и называют такую запись смешанной
дробью.
Справедливо также
утверждение: всякую смешанную дробь можно
записать в виде неправильной дроби. Например:
.
Основными математическими объектами
с незапамятных времен являются числа,
множества и элементы множества, их свойства. Число? — абстракция,
используемая для количественной характеристики
объектов. Возникнув ещё в первобытном
обществе из потребностей счёта, понятие
числа изменялось и обогащалось и превратилось
в важнейшее математическое понятие. Письменными
знаками (символами) для записи чисел служат цифры. Современная математика опериру ет несколько другими математическими
понятиями. Если внимательно проанализировать
их суть, то они в общем–то являются эквивалентными
или изоморфными понятиям "число",
"множество", "отображение",
"свойство".
В теоретико–множественном смысле числа являются
классом множеств с определенными свойствами.
Эти свойства выражаются через тип упорядоченности, размерность, топологические
и метрические свойства основанных на них множеств. Основное
свойство чисел – это их мощность, которая может быть конечной,
счетной или континуальной. Соответственно,
числа могут быть представителями любого
класса множеств с подходящей мощностью.
Даже множества с мощностью больше континуума
можно представить как множество всех
функций, определенных на числовом множестве.
В этом проявляется универсальность понятия
"число".
Другое важное свойство чисел – это ее размерность.
Есть несколько классов чисел с различающимися свойствами. Есть линейные (одномерные)
числа –
это натуральные N, положительные N+, целые Z, рациональные R и вещественные Q числа. Есть составные многомерные или гиперкомплексные
числа –
это комплексные числа C, кватернионы H, бикватернионыB, невырожденные квадратные
матрицы M, числа Клиффорда K и другие.
Тензор (в том числе и вектор) в обычном
понимании не является числом.
Интересным видом чисел являются гипердействительные
числа. Они появляются в нестандартном
анализе, использующем понятия "бесконечно
малые" и "бесконечно большие"
чисел как расширение множества действительных
до этих "бесконечных" чисел.
Попробуем определить, что такое "число".
Точнее, виды чисел.
Самыми простыми числами являются целые,
рациональные, вещественные и комплексные числа.
Они коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны.
Основными видами чисел, обладающими
похожими свойствами, являются четыре
вида чисел. Это действительные числа,
комплексные, кватернионы и октавы. Коммутативность
умножения для последних двух видов чисел не выполняется.
Но они все обладают алгебрами без делителей нуля.
Дальнейшие расширения чисел могут не
иметь и свойство ассоциативности. Дистрибутивность
соблюдается.
А. А. Кириллов, Что такое число?, выпуск 4 серии «Современная математика для
студентов», М., Физматлит, 1993.
1.1 Основные виды чисел
Натуральные числа, получаемые при естественном счёте;
множество натуральных чисел обозначается N. Т.о. (иногда к множеству натуральных
чисел также относят ноль, то есть N = {0, 1, 2, 3, …}). Натуральные числа замкнуты
относительно сложения и умножения (но
не вычитания или деления). Натуральные
числа коммутативны и ассоциативны относительно
сложения и умножения, а умножение натуральных
чисел дистрибутивно относительно сложения.
Целые числа получаемые объединением натуральных
чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z = {–2, –1, 0, 1, 2, …}. Целые числа замкнуты
относительно сложения, вычитания и умножения
(но не деления).
Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n ? 0), где m — целое число, а n — натуральное число. Для рациональных
чисел определены все четыре «классические»
арифметические действия: сложение, вычитание,
умножение и деление (кроме деления на
ноль). Для обозначения рациональных чисел
используется знак Q.
Действительные (вещественные)
числа представляют собой расширение множества
рациональных чисел, замкнутое относительно
некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество
вещественных чисел обозначается R. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, R включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых.
Кроме подразделения на рациональные
и иррациональные, действительные числа
также подразделяются на алгебраические и трансценде нтные. При этом каждое трансцендентное число
является иррациональным, каждое рациональное
число — алгебраическим.
Комплексные числа C, являющиеся расширением множества
действительных чисел. Они могут быть
записаны в виде z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = ? 1. Комплексные числа используются при
решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.
Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее
выражение: N I Z I Q I R I C.
Гипердействительные числа – это числа вида
1) a + e, где a – обычное число, a - бесконечно малое число;
2) ? = 1/e – бесконечно большое число.
Гипердействительные числа не являются числами в обычном понимании. Они
применяются во многих разделах математики, особенно в дифференциальном и интегральном
исчислениях, а также везде, где используются
предельные числовые последовательности,
даже при определении вещественных чисел.
Множество рациональных чисел является
естественным обобщением множества целых
чисел. Легко видеть, что если у рационального
числа a = m/n знаменатель n = 1, то a = m является целым числом. В этой связи возникают
некоторые обманчивые предположения.
Во–первых, кажется, что рациональных
чисел больше чем целых, на самом же деле
и тех и других счётное число. Во–вторых, возникает предположение,
что такими числами можно измерить абсолютно
точно любое расстояние в пространстве.
На самом деле, для этого используются вещественные числа, рациональных же чисел для этого недостаточно.
1.6.1 Виды дроби
Правильной называется дробь, у которой
модуль числителя меньше модуля знаменателя.
Дробь, не являющаяся правильной, называется
неправильной.
Например, дроби 3/5, 7/8 и 1/2— правильные
дроби, в то время как 8/3, 9/5, 2/1и 1/1— неправильные
дроби. Всякое целое число можно представить
в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем
1.
Дробь, записанная в виде целого числа
и правильной дроби, называется смешанной
дробью и понимается как сумма этого числа
и дроби. Например,
. В строгой математической литературе
такую запись предпочитают не использовать
из–за схожести обозначения смешанной
дроби с обозначением произведения целого
числа на дробь.
Несмотря на то, что рациональных чисел
бесконечное множество и то, что мы можем записать только не бесконечно
большие числа, можно считать, что мы можем
записать любое рациональное число указанным
выше способом, потому что любое рациональное
число явно не бесконечное и запись ее
будет содержать конечное число символов.
1.6.2 Высота дроби
Высота обыкновенной дроби — это модуль
суммы числителя и знаменателя этой дроби.
Высота рационального числа — это модуль
суммы числителя и знаменателя несократимой
обыкновенной дроби, соответствующей
этому числу.
Например, высота дроби (–15/6) равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего
рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как
дробь сокращается на 3.
Как следствие, множество рациональных
чисел является счетным множеством.
Это множество обладает свойством непрерывности.
Это означает,
что между любыми неравными между собой
числами можно найти третье число, не равное
предыдущему. Более того, сечение рациональных
чисел на две половинки может быть открытым
по одной или обеим границам этого сечения
Множество рациональных чисел является абелевой
группой по операциям «сложение» и «умножение»
по отдельности.
Множество рациональных чисел является
полем по операциям «сложение» и «умножение».
1.6.3 Формальное определение
Формально рациональные числа определяются
как множество классов эквивалентности пар {(m, n) | m I Z, n I N} по отношению эквивалентности (m, n) ~ (m’, n’), если m • n’ = m’ • n. При этом операции сложения и умножения
определяются следующим образом:
(m1, n1) + (m2, n2) = (m1, n2 + m2, n1, n1 • n2),
(m1, n1) • (m2, n2) = (m1 • m2, n1 • n2),
1.6.4 Свойства рациональных чисел
Рациональные числа удовлетворяют шестнадцати
основным свойствам, которые легко могут быть получены из
свойств целых чисел.
1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел a и b существует правило, позволяющее однозначно
идентифицировать между ними одно и только
одно из трёх отношений: « < », « > » или « = ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два
неотрицательных числа a = ma/na и b = mb/nb св язаны тем же отношением, что и два
целых числа ma/nb и mb/na; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два
неотрицательных числа |b| и |a|; если же вдруг a неотрицательно, а b — отрицательно, то a >b.
"a, b I Q: a < b ? b < a ? a = b
2. Транзитивность отношен ия порядка. Для любой тройки рациона и т.д.................
© 2009
WEBKURSOVIK.RU – ЭФФЕКТИВНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ
info@webkursovik.ru
курсовая работа - Формирование, понятия дроби как...
Изучения доли и дроби в начальной школе
Реферат (проект ученицы) Тема: " Обыкновенные дроби "
Дроби и методика их изучения в начальной школе
Содержание - Курсовая работа - Дроби метод обучения - 1.doc
Неразделенная Любовь Трагедия Или Опыт Сочинение
Сочинение Про Красного Волка
Корабельная Роща Сочинение 5 Класс
Сочинение На Тему Горе От Ума Фамусов
Стартовая Контрольная Работа 6 Класс