Курсовая По Математике На Украинском Языке
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Курсовая По Математике На Украинском Языке
Комбінаторика курсовая по математике на украинском языке
Это только предварительный просмотр
Получи баллы для скачивания документа
Загрузи свои документы или ответь на вопросы и получи баллы для скачивания через 48 часов
Другие способы получить баллы бесплатно
Выбери тарифный план Премиум и скачай тотчас же документы за баллы, включенные в твой тариф
Комбінаторика курсовая по математике на украинском языке , Дипломная из Математика
Комбінаторика курсовая по математике на украинском языке
Зворотні послідовності курсовая по математике на украинском языке
Числа "е" та "пі" курсовая 2010 по математике на украинском языке
Еліптичні інтеграли курсовая по математике на украинском языке
Інженерна графіка курсовая по математике на украинском языке
Інтеграл Стілтьєса курсовая по математике на украинском языке
Нарисна геометрія курсовая по математике на украинском языке
Подготовься к экзаменам наилучшим образом
Зарегистрируйся на Docsity, чтобы скачивать документы и упражняться в Quiz
Будь первым, кто оставит отзыв по этому документу
Copyright © 2020 Ladybird Srl - Via Leonardo da Vinci 16, 10126, Torino, Italy - VAT 10816460017 - All rights reserved
Поняття множини є одним з фундаментальних у математиці. Воно
належить до понять яким не можна дати строге означення, тобто до так
званих первісних, які не можна визначити через простіші поняття. Інтуєтивно
множину розуміють як сукупність (сімейство, набір, зібрання, клас) деяких,
обєктів об’єднаних за певною ознакою чи властивістю. Наприклад; множина
студентів першого курсу, сукупність тих із них, які здали вступні екзамени
без трійок і сімейство зірок Великої Ведмедиці, система трьох рівнянь з 3-ма
Об’єкти, із яких складається множина, називаються її елементами.
Множини позначається великими буквами, а її елементи малими. Те, що
елемент а належить множені А записується так а А . Запис а є А або а А
означає, що елемент а не належить множені А .
Окремі найважливіші множини мають загальноприйняте позначення
• N – множина натуральних чесел (1, 2, 3, 4…)
• Z – множина цілих чисел (…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…)
• Q – множина раціональних чисел (Z + дробові числа)
• I – множина всіх ірраціональних чисел
• R – множина дійсних чисел ( Q + ірраціональні чисела)
Множина, що містить безліч елементів називається
нескінченною. Приклад: множина усіх точок даного відрізку, що проходить
через задану точку, множина усіх прямих паралельних заданій прямій.
Множина, яка містить скінчену кількість елементів називається
Запис A={a1, a2, a3… an} означає, що множина А скінчена і містить n
елементів. Множина Х={x1, x2… , xn….} – є незкінченою. Множина, яка не
містить жодного елементу називаєтся порожньою і позначається символом .
Приклади: Множина дійсних коренів рівняння x2+1=0, множина усіх
цілих чисел, що діляться на 4, але не діляться на 2.
Нехай P(x) – деяка властивість (закон, правило, форма) числа х, тоді
{x| P(x)} означає множину всіх тих чисел х, для яких виконується
1. {x|x є R, x2 + 3x + 4 =0} множина тих дійсних чисел х, які є
розв’язками рівняння x2 + 3x + 4 =0.
2. А={x| x є z, |x|≤100} – множина тих цілих чисел модуль
яких не більший за 100, тобто елеменетами множини А є цілі числа
Множину можна подати у вигляді відрізку на числовій осі:
Нехай а і b – дійсні числа, причому а 0 називається Е – околом точки х0, при
цьому точку х0 називають центром, а число Е – радіусом околу. Цей окіл буде
досить малий, якщо число Е теж буде мале.
Нехай задано дві множини А і В. Якщо кожен елемент множини А є
елементом мнгожини В, то множину А називають підмножиною множини В і
Наприклад N Z. Очевидно, що кожна множина є своєю підмножиною,
а порожня множина є підмножиною будьякої множини.
Якщо множини А і В містять одні і ті ж елементи, тобто АВ і ВА, то їх
Множину, різні підмножини якої доводиться розглядати в процесі
вивчення якогось питання, називають універсальною множиною.
У поцесі вивчення множин і функцій бувають корисними певні графічні
зображення. У випадку множин застосовується діаграми Ейлера-Венна. На
цих діаграмах схематично зображається універсальна множина у вигляді
прямокутника, а різні підмножини універсальної множини у вигляді кругів.
А не має спільних елементів з В і С , а В і С мають спільні елементи.
§1. 2 Операції над множинами. Об’єднання і переріз двох множин.
Об’єданням двох множин А і В, називається множина А U В, елементи
якої належать хочаб одній із цих множин.(мал.1.3)
Ai ={x | x є А1 або х є А2 або х є А3 або …х є Аn }
Перерізом двох множин А і В називається множина А ∩ В елементи
якої належать як і множині А, так і множені В. (мал.1.4)
А ∩ В={x | х є А і х є В}
Ai={x | x є А1 і х є А2, х є А3…х є Аn}
Властивості об’єдання і перерізу множин:
1. Комутативний (переставний) закон
3. Дистрибутивний (розподільний) закон.
Ці закони легко довести за допомогою діаграм. Доведемо 3-й
А U (В U С) (А U B) ∩ (А U С)
мал.1.5 мал.1.6
А ∩ (В U С) (А ∩ В) U (А ∩
С)
мал.1.7 мал.1.8
На відміну від об’єднання і перізу множин, операція віднімання
визначається лише для двох множин якщо вони перетенаються.
Різницею множин А та В називається множина А\В, яка складається
зусіх тих елементів, які належать множині А і не належать В.(мал.1.9)
А \ В = {x | x є A I x ¢ B}
мал.1.9
Властивості різниці :
• А \ (В \ С) ≠ (А \ В) \ С – не асоціативна
• (B U C) \ A=(B \ A) U (C \ A) – дисрибутивний закон
• (B ∩ C) \ A = (B \ A) ∩ (C \ A) – дистрибутивний закон
Якщо А є В, то різницю В \ А називають доповненням множини А до
мал.1.10
Отже, доповненням до підмножини А в множину В називається
множина всіх елементів із множини В, які не належать А
Для довільних підмножин А і В універсальної множини М, доповнення
до множин А і В дорівнюють перерізу множин , а доповнення до перізу
множин А і В дорівнює об’єднанню їх доповнень .
Доведемо цей закон за допогою діаграм Ейлера – Венна:
1) ||| = ||| =
||| =
мал.1.11 мал.1.12
2)
||| = ||| -
# =
мал.1.3 мал.1.4
§ 2. 1. Упорядковані пари. Прямий (декартів) добуток множин.
Множини {1,5} і {5,1}, що містять одні і ті ж самі елементи, рівні,
причому запис порядку їх елементів не має значення. Проте, якщо розглядати
на площині дві точки А (1,5) і В (5,1), то порядок запису їх координат (1 ; 5)
має принципове значення. Можна навести і інші приклади, коли треба
врахувати порядок розміщення елементів множини (вектор на площині,
вектор у просторі). У зв’язку з цим вводиться поняття упорядкованої
сукупності об’єктів, зокрема упорядкованої пари.
Упорядкована пара це двоелементна множина, елементи якої
Якщо а є А і b є В, то пару утворену з цих елементів позначають (a; b).
Елемент а називають лівою (першою) координатою (компонентою) , а
b – правою (другою) координатою упорядкованої пари (а; b).
Множини А і В тут нерівноправні. При утворенні пари ставимо на
перше місце елемент з А, а на друге – елемент з В. Припустимо, що
користуючись таким правилом, ми утворили всі можливі пари, в яких на
першому місці стоїть елемент з А, а на другому – з В. Множина всіх цих пар
Прямим (декартовим) добутком множин А і В називається множина
усіх можливих пар, перші елементи яких належать множині А, а другій
Отже, А х В = {(а; b)| а є А, b є В}
Декартів добуток множин не комутативний
А х В = В х А лише тоді, коли А = В або одна із множин порожня.
Щодо асоціативного закону, то йому декарті добуток не підлягає навіть
тоді, коли множини А, В і С рівні. Отже, якщо А ≠ Ø, то А х (А х А) ≠ (А х А)
Для прямого добутку справедливі такі дистрибутивні закони:
Декартів добуток АхА називають декартовим квадратом і
А ² = А х А = {(a, b) | а є А, b є А}
Декартів добуток множин А, В, С визначається так само як і декартів
А х В х С = {(a, b, с) | а є А, b є В, с є С}
Декарті добуток А х А х А називається декартовим кубом і
Якщо множину дійсних чисел R = (- ∞: + ∞) можна ототожнювати з
числовою прямою, то декартів квадрат R х R дійсних чисел можна
ототожнювати з числовою площиною. Очевидно, R х R – сукупність всіх
можливих упорядкованих пар дійсних чисел (х; y).
Таким чином, числову площину можна розглядати як прямий добуток
числової вісі на себе. Якщо представити собі два екземпляри числової вісі,
які перетинаються в точці О під прямим кутом, то їх можна розглядати як
координатні вісі прямокутної декартової системи на площині.
У зв’язку з цим прямий добуток множин і називають декартовим.
§ 2. 2. Бінарні відношення. Способи задання відношень.
Поняття відношень між множинами відносяться до числа
фундаментальних понять математики. І не тільки тому, що воно лежить в
основі визначення таких важливих понять математики, як функції і
відображення, але й тому, що в будь–якій науці вивчаються не тільки самі
Розглянемо бінарне відношення, тобто відношення між двома
елементами однієї або різних множин.
Спочатку розглянемо приклад бінарного відношення між елементами
А = {Сашко, Борис, Володя, Галя, Таня, Оленка}
В = {футбол, волейбол, плавання, гімнастика, теніс}
За допомогою слів „займатися яким-небудь видом спорту” між
елементами цих множин встановлено зв’язок, або, як говорять в математиці,
відношення. В результаті ми одержали третю множину Р
Р = {(Сашко, волейбол), (Сашко, теніс), (Борис, футбол),
(Володя, плавання), (Галя, волейбол), (Оленка, теніс)}
Наведений приклад показує, що будь-яке бінарне відношення
(відповідність) між елементами множин А і В повністю характеризується
трьома множинами: А, В і Р – множиною пар, що є підмножиною А х В.
Множину упорядкованих пар Р називають графіком розглядуваного
Якщо буквою р позначити відношення із А в В, то відповідність р:
„учень х є А займається видом спорту у є В залишається: хру .
У математиці досить часто доводиться мати справу з тими чи іншими
відношеннями між певними об’єктами.
Найважливіші з них мають певні назви і позначення:
відношення рівності ( ═ ); відношення перпендикулярності ( );
відношення паралельності (║); відношення подільності ; відношення
включення (); відношення конгруентності ( ); відношення подібності ( ~ ).
Бінарне відношення можна задати сукупністю впорядкованих пар,
Стрілочний спосіб полягає в тому, що множини А і В зображають
кругами, їх елементи точками. Потім з’єднують стрілками елементи кожної
пари (х; у), які належать графіку Р заданого відношення. В результаті
одержимо фігуру, яку називають графіком розглядуваного відношення Р
При графічному зображенні відношення Р на площині ставимо точки,
які відповідають парам (х; у), що належать відношенню Р. Множина цих
точок і буде графіком даного відношення.
§ 2. 3. Властивості бінарних відношень.
Найважливішими властивостями бінарних відношень є рефлексивність,
Бінарне відношення р називається рефлексивним , якщо для будь-якої
пари (х, х) є А ², елемент х знаходиться у відношенні р сам з собою.
Антирефлексивним називається таке відношення для якого х не
знаходиться у відношенні р з х для будь-якої пари (х, х) є А ².
Рефлексивним є, наприклад, такі відношення рівності ( ═ ), не більше
( ≤ ), подільності ( ), рівносильності висловлювань (), паралельності (║),
конгруентності ( ) та подібності ( ~ ).
Антирефлексивними є відношення нерівності ( ≠ ), більше ( > ), менше
( < ), перпендикулярності ( ), не подільності ( ).
Бінарне відношення р називається симетричним, якщо для пари
Антисиметричним називається таке відношення для якого для
будь-якої пари (х, у) є А ² із хру випливає .
Симетричними є відношення рівності ( ═ ), рівносильності ( ≡ ),
перпендикулярності ( ), конгруентності ( ), подібності ( ~ ).
Асиметричними є відношення більше ( > ), менше ( < ), не більше ( ≤ ),
Бінарне відношення р називається транзитивним, якщо для будь-
яких трьох елементів х, у, z з множини А із хру і урz випливає xpz .
Антитранзистивним відношенням називається таке відношення
для якого для будь-яких трьох елементів х, у, z з множини А із хру і урz
випливає
Транзитивним є відношення менше ( < ), не більше ( ≤ ), подільності ( ),
рівносильності ( ≡ ), конгруентності ( ), паралельності ( ║ ), подібності ( ~ ).
Антитранзистивними є відношення перпендикулярності ( ).
Відношення між елементами множин можуть мати одну, дві, три або не
Наприклад, відношення перпендикулярності в множині прямих є
симетричним, але не має рефлексивної і транзитивної властивостей,
відношення р „число х більше числа у” у множині натуральних чисел є
транзитивним, але не володіє властивостями рефлективності і симетричності.
§ 2. 4. Відношення еквівалентності.
Бінарне відношення р називається відношенням еквівалентності,
якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.
Відношення: „бути однокурсником” у множині студентів; „мати один і
той же корінь” у множині слів є відношеннями еквівалентності.
Якщо між елементами деякої множини, встановлено відношення
еквівалентності, то цим самим ми розбиваємо задану множину на класи.
Розглянемо відношення р: „давати однакову остачу при діленні на 3” у
множині невід’ємних цілих чисел. Цим самим ми розбиваємо задану
множину на такі класи, які не перетинаються:
К1 = {0, 3, 6, 9 ......} – остача нуль
К2 = {4, 7, 10 ......} – остача один
К3 = {5, 8, 11 ......} – остача два
Класи, на які відношення еквівалентності розбиває множину А
називаються класами еквівалентності . Це розбиття характеризується
Кі ≠ Ø для всіх і = 1, 2, 3, ......, n
2. Будь-які два класи не перетинаються
Кі ∩ Ку = для будь-яких і, у = 1, 2, 3, ......, n
3. Об’єднання усіх класів дає універсальну множину А
Кі = А
Легко переконатися, що елементи із одного класу еквівалентні між
собою, а елементи із різних класів – ні.
Будь-яке відношення еквівалентності р здійснює розбиття
множини А на класи еквівалентності так, що будь-які два
елементи одного класу знаходяться у відношенні р, а будь-які два
елементи різних класів не знаходяться у даному відношенні між
Нехай в множині А є відношення еквівалентності р . Візьмемо з цієї
множини якийсь елемент а і виділимо в окремий клас К ( а ) всі елементи, які
К ( а ) = {у | у є А, ару } (1)
Задане відношення р розіб’є всю множину А на ряд класів К, в
результаті чого ми одержимо множину класів {К ( а )}.
Доведемо, що множина {К ( а )} для всіх а є А є розбиттям на класи,
тобто що вона задовольняє трьом умовам розбиття на класи, а саме, що:
Покажемо, що справедлива перша умова.
Раз р є відношенням еквівалентності, то воно є рефлексивне, тобто ара .
Значить К ( а ) має хоча б один елемент а і вже К ( а ) не порожня множина
Покажемо, що справджується умова 2) для будь-яких а і b є А,
якщо а b .
Доведемо цю умову виходячи з протилежного.
Припустимо, що К ( а ) ∩ К (b) ≠ Ø. Тоді у них є спільний елемент с ,
Але елементи одного класу, відповідно до (1) знаходяться у відношенні
Із симетричності відношення р із bрс слідує срb , а із транзитивності
А це протирічить умові, що а b.
Значить, припущення не вірне і
Покажемо, що виконується і умова 3).
Із формули (1) видно, що будь-який а є А належить класові К ( а ),
а є К ( а ). Отже, щоб одержати множину А треба об’єднати усі ці класи
К ( а ) = А
а є А
Ми довели, що відношення р розбиває множину А на класи
Тепер покажемо, що: 1) два елементи одного класу еквівалентні між
собою, а 2) два елементи різних класів не еквівалентні. Доведемо перше.
Нехай b і с будь-які два елементи одного класу К ( а ). Доведемо, що bрс .
Раз b є К ( а ), то по формулі (1) – арb , а з того, що с є К ( а ) слідує, що арс . За
симетричністю відношення р – з а р b слідує b р а . За транзитивністю
відношення р маємо bра і арс , то bрс.
Доведемо друге. Нехай маємо два різні класи К ( b ) ≠ К ( с ). Покажемо,
що b с . Доведемо від супротивного. Припустимо, що bрс . Нехай d –
довільний елемент множини К ( с ), тоді cpd .
За симетричністю р маємо із bрс слідує срb.
За транзитивністю із bрс і срd слідує bpd.
Ми довели, що якщо d є К ( с ), то d є К ( b ) для вільного d.
Аналогічно доводимо, що К ( b ) К ( с ).
А це протирічить умові. Значить, наше припущення не вірне і b
с .
§ 2. 5. Відношення порядку. Упорядкована множина.
Серед різних відношень ми часто зустрічаємо такі, які встановлюють у
Інтуїтивне представлення про порядок об’єктів переважно пов’язано з
їх взаємним розміщенням в просторі (вище – нижче, ближче – дальше,
правіше – лівіше); в часі (раніше – пізніше); з порівнянням їх розмірів
Ці відношення і подібні їм відносяться до важливого класу відношень,
Відношенням строгого порядку називається будь-яке
відношення, яке є антирефлексивним, антисиметричним і
Отже, відношення р буде відношенням строгого порядку, якщо:
1. х х для будь-якого х є А, тобто (х, х) Р для будь-якої пари
3. якщо хру , то у х для будь - якого х, у є А, тобто якщо (х,
у) є Р, то
(у, х) Р для будь-якої пари (х, у) є А ².
4. якщо хру і урz , то хрz для будь-яких х, у, z є А, тобто якщо
(х, у) є Р і (у, z) є Р, то і (х, z) є Р для будь яких пар (х, у) (у, z) є А ².
Так відношення р: „ х < у у множині А = {1, 2, 3, 4, 5} є відношенням
строгого порядку, тому що воно антирефлексивне, антисиметричне,
Відношення р називається відношенням нестрогого
(часткового) порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і
Так, відношення „число х – дільник числа у” у множині А = {1, 2, 3, 4,
5} є відношенням часткового порядку, тому що воно транзитивне,
У математиці та її застосуваннях особливу роль відіграють такі
відношення порядку р , які дають можливість порівняти довільні різні
елементи певної множини А. Ці відношення називаються відношеннями
Відношення строгого (нестрогого) порядку називається
відношенням лінійного строгого (нестрогого) порядку, якщо для
будь-яких різних елементів х і у із А здійснюється одне із відношень
Проілюструємо сказане на прикладі. Нехай А – множина студентів
групи. Р – відношення „студент х вищий за студента у”. Це відношення
антирефлексивне, антисиметричне і транзитивне.
Значить, воно відношення строгого порядку. Якщо в даній множині А
немає студентів однакового росту, то тоді про будь-яких двох студентів можна
сказати, що або студент х вищий за у або студент у вищий студента х . Отже,
відношення Р є відношенням строгого лінійного порядку.
Множина А називається лінійною упорядкованою, якщо в А
введено відношення Р і для будь-якої пари (х, у) є А ², якщо х ≠ у, то
Так, множина натуральних чисел лінійно упорядкована відношенням
строгого порядку „менше”, тобто N = {1, 2, 3, 4, ....}
Розділ 3. СИМВОЛІКА МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ
Під математичною логікою або символічною логікою розуміють логіку,
що розвивається за допомогою математичних методів. Математичний апарат
до логіки вперше застосував у XIX ст. англійський математик Джордж Буль.
Д. Буль (1815 – 1864 р.р.), батько відомої англійської письменниці
Войнич (її чоловік був революціонером), автора роману „Овод”. Темп
розвитку математичної логіки різко зростає у XIX ст. У 90-х роках ХХ ст..
математична логіка дістає широке застосування в технічних науках,
наприклад, електротехніці. Зараз вона є складовою частиною теоретичного
Основним поняттям математичної логіки є висловлювання.
Висловлювання належить до первинних понять, воно не визначеється через
інші поняття, а вводяться за допомогою опису.
Під висловлюванням розуміють будь-яке твердження , відносно якого
можна з’ясувати, істинне воно чи хибне. Наприклад,
1. Діагональ квадрата не сумірна з його стороною – „і”
3. О котрій годині ти повернешся вчора додому? – не є
Висловлення позначаються малими латинськими буквами: p, q, r,
Множину усіх висловлювань, яку позначимо буквою S, ділять на дві
Т – клас усіх істинних висловлювань
Два висловлювання p і q називаються рівносильними (логічно
рівними), якщо вони належать до одного й того самого класу і записують
Із означення рівносильності висловлювань виникають властивості:
2.Якщо р q , то q р – симетричність
3.Якщо р q і q r ,то р r – транзитивність
У розмовній мові для сполучення двох речень вживають слова: і, або,
якщо ...... то, тоді і тільки тоді, не. З’ясуємо те значення, в якому ці слова
Логічним добутком (кон’юнкцією) двох висловлень p і q
таке висловлення „ p і q ”, яке істинне тоді і тільки тоді, коли p
і q одночасно істинні. Позначається: p q.
Згідно з означенням маємо таку таблицю істинності для
Приклад. Нехай висловлення р буде “5<8”, а висловлення q – “ 8 < 13 “,
тоді кон’юнція цих висловлень буде “ I ”, бо істинне p i q .
Переважно скорочено таку кон’юнкцію записують як подвійну
1) Комутативна (переставна властивість) p q q p
2) Асоціативна (сполучна) властивість (p q) s p (q s)
Означення кон’юнкції двох висловлювань розповсюдна на будь-яке
рі = р1 р2 р3 р4 … рn
б) Логічне додавання (диз’юнкція)
Диз’юнкцією або логічною сумою двох висловлень p і q
називається висловлення “ p і q „ яке істинне тоді і тільки тоді, коли
істинне хоча б одне із висловлювань і хибне коли вони обидва
2) Асоціативний закон диз’юнкції (p v q) v s p v (q v s )
3) Дистрибутивні закони, які пов’язують кон’юнкцію і
Запереченням висловлення р називається висловлення „не р “,
яке істинне, коли р хибне, і хибне коли р істинне.
1) Заперечення заперечення висловлення рівносильне
q v i
Кожне висловлення q або істинне або хибне, третього не може бути q v
Заперечення кон’юнкції двох висловлень рівносильне диз’юнкції
заперечень і заперечення диз’юнкції рівносильне кон’юнкції заперечень цих
Слідуванням (імплікацією) двох висловлень p і q називається
висловлення “якщо p, то q„, яке хибне тоді і тільки тоді, коли p – істинне,
а q – хибне. Позначається імплікація: p q
Операцію імплікації двох висловлень можна виразити через операцію
д) Еквіваленція (рівносильність) двох висловлень
Еквіваленцією (рівносильністю) двох висловлень p і q
називається висловлення „ р тоді, і тільки тоді, коли q , яке істинне
тоді і тільки тоді, коли p і q одночасно істинні, або одночасно хибні“
(неозначуване висловлення або висловлювальна форма)
Ці речення не є висловленням, бо неможна сказати чи вони “і” чи “х“.
Якщо змінну в першому реченні замінити числом, а в другому прізвищем
поета, то вони перетвореться у висловлення.
Предикатом називається твердження, в яке входять вільні змінні і
яке при заміні їх коректними значеннями стає висловленням.
Для кожного предиката треба, вказати множину значень, які може
приймати змінна х. Цю множину називають областю визначення предиката
і в першому прикладі область визначення – N, у другому - множина прізвищ
Предикат позначають великими буквами:
Множина тих значень змінних, при яких предикат набуває істиного
значення називається областю істинності предиката і позначається Т .
Область істиності є підмножиною області визначення Т Х.
У першому прикладі Т = {x | x N i є парне}
У другому прикладі Т = { Шевченко }
Предикат в який входить дві змінні називаються двомісним . Приклади:
Двомісні предикати позначаються P(x, y), Q(x, y) які визначені на
В математиці зустрічаються багато предикатів, причому деякі з них
„х = у“ ; „х < у“ ; „х ║ у“ ; „х у“ і т.д.
В математиці зустрічається і трьох, чотирьох і т.д. місні предикати.
1. Число х ділиться на число у і на число z.
2. Всі числа, які діляться на х і у, діляться і на z.
3. Сума чисел х і у дорівнює добутку чисел U і V.
4. а1х1 + а2х2 + а3х3 + … + аnxn = b n–місний предикат
Нехай Q (a, b) – двомісний предикат.
(a - b)² = а² – 2ab + b². Цей предикат перетворюється на істинне
висловлення при всіх дійсних значеннях „a” і „b”. Областю істинності
предиката Q є множина всіх дійсних чисел R. Такий предикат називається
Рівності, рівняння, нерівності та їх системи, що розглядаються в
математиці, з точки зору логіки – предикати.
У математиці часто використовують вирази „для всіх”, „для кожного”,
„яке б не було”, „існує”, „знайдеться хоча б одне”.
Для позначення цих виразів вживаються символи, які називаються
кванторами : квантор загальності , який позначається , у звичайній мові
йому відповідає вираз „для кожного”, „для всякого”, „для всіх”.
Нехай Р(х) – „Трикутник х прямокутний», то вираз ( х є Х) Р(х)
Усі ці висловлення є хибними. Отже, в результаті квантифікації
(приписуванні кватора) предикат перетворюється у висловлення. Цей
квантор називається квантором загальності .
Розглянемо ще квантор існування, який позначається . У звичайній
мові йому відповідає вираз: „існує”, „знайдеться хоча б одне”.
Комбінаторика курсовая по математике на украинском языке
Нарисна геометрія курсовая по математике на украинском языке
Реферати Українською, курсові, дипломи - скачати безкоштовно на...
Реферати з математики на українській мові - Официальный сайт
Числа "е" та "пі" курсовая 2010 по математике на украинском ...
Сочинение Мой Любимый Герой Русской Сказки
Сочинение В Чем Проявляется Отчаяние Гроза
Сочинение Про Добро
Как Оформить Список Электронных Ресурсов В Курсовой
Первые Эвм Реферат