Кривые второго порядка. Квадратичные формы - Математика контрольная работа

Главная

Математика
Кривые второго порядка. Квадратичные формы

Понятие квадратичной формы и способы ее записи. Действительные и недействительные, вырожденные и невырожденные формы, ранг матрицы. Знакоопределенность квадратичных форм, определение ее миноров. Критерии положительной и отрицательной определенностей.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
где a ij - некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что a ij = a ji .
Квадратичная форма называется действительной, если a ij ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица
то есть А Т = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде (х) = х Т Ах, где
И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.
Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.
Запи сать матрицу квадратичной формы
(х 1 , х 2 , x 3 ) = - 6х 1 х 2 - 8х 1 х 3 + + 4х 2 х 3 -
2. Знакоопределенность квадратичных форм
Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если (х) > 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n ), кроме х = (0, 0, …, 0).
Матрица А положительно определенной квадратичной формы (х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.
Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если (х) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n ), кроме х = (0, 0, …, 0).
Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.
Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма (х) достигает минимального (максимального) значения (х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).
Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках.
Определить знакоопределенность следующих квадратичных форм .
т. е. квадратичная форма является положительно определенной.
т. е. квадратичная форма является отрицательно определенной.
данная квадратичная форма не является знакоопределенной, так как она равна 0 во всех точках прямой х 1 = -х 2 , а не только в начале системы координат.
Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.
Главными минорами квадратичной формы называются миноры:
то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А.
3. Критерий положительной и отрицательной определенности
Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)
Для того чтобы квадратичная форма (х) = х Т Ах была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть:
Критерий отрицательной определенности
Для того чтобы квадратичная форма (х) = х Т Ах была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного - отрицательны, то есть:
М 1 < 0, M 2 > 0, М 3 < 0, …, (-1) n M n > 0.
При каких значениях а и в квадратичная форма будет положительно определенной?
Построим матрицу А и найдем ее главные миноры.
При каких значениях а и в квадратичная форма будет отрицательно определенной?
Воспользуемся критерием Сильвестра. Построим матрицу А и найдем главные миноры матрицы А.
М 1 = 6 > 0, = 26 > 0, М 3 = А = 162 > 0
положительно определенная квадратичная форма.
1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.- Мн.: Тетрасистемс, 1998.
2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.- Мн.: ЧИУиП, 2006.- 67 с.
Фундаментальные понятия теории квадратичных форм. Линейные, квадратичные и билинейные функционалы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Классификация комплексных квадратичных функционалов. Определенные вещественные квадратичные функционалы. контрольная работа [378,5 K], добавлен 24.08.2015
Основные способы приведения квадратичных форм к каноническому виду. Выделение полных квадратов по стандартной схеме метода Лагранжа. Запись матрицы перехода. Линейное и невырожденное преобразование координат. Метод ортогональных преобразований. лекция [362,9 K], добавлен 05.09.2013
Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений. курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009
Исследование видов квадратичных форм и способов приведения квадратичных форм к каноническому виду. Сфера применения и особенности данного вида уравнений: определения и доказательство основных теорем, алгоритм решения ряда задач по данной тематике. контрольная работа [286,0 K], добавлен 29.03.2012
Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений. курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011
Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы. лекция [30,2 K], добавлен 14.12.2010
Математическое понятие кривой. Общее уравнение кривой второго порядка. Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Оси симметрии гиперболы. Исследование формы параболы. Кривые третьего и четвертого порядка. Анъези локон, декартов лист. дипломная работа [877,9 K], добавлен 14.10.2011
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Кривые второго порядка. Квадратичные формы контрольная работа. Математика.
Контрольная Работа No 1 Векторы
Контрольная Работа На Тему Отношение Между Предметом Психологии Как Науки И Психологии Как Учебного Предмета
Контрольная работа по теме Организация и регулирование биржевой торговли
Контрольная Работа 7 По Алгебре 10
Сочинение 3 Богатыря 4 Класс
Контрольная работа по теме Философия, ее роль в жизни общества и человека
Доклад по теме Организация финансового планирования на предприятии
Отчет По Производственной Практике Менеджмент Предприятия
Реферат: Управление проектом строительство и наладка системы обеззараживания питьевой воды
Реферат по теме Паблик рилейшнз: сущность понятия
Напишите Сочинение Рассуждение Кинтель Попятился
Реферат по теме Природно-ресурсный потенциал страны и проблемы его рационального использования
Процессуальная Ответственность Диссертации
Реферат: Социология семьи. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Функции государства. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Imperial Presidency Overview Essay Research Paper Imperial
Контрольная работа: Основные принципы системы К.С. Станиславского
Курсовая работа: Философия в кибернетике. Скачать бесплатно и без регистрации
Дипломная Работа Парикмахерское Дело
Дипломная работа по теме Пристройка кафе к жилому дому в г. Великий Устюг
Фрагмент образа мира носителей русского языка-культуры, связанный с представлением человека о профессиях - Иностранные языки и языкознание дипломная работа
Наследование в российском гражданском праве - Государство и право курсовая работа
Древнерусское государство (IX-начало XII вв) - История и исторические личности курсовая работа