Кривые на плоскости - Математика контрольная работа

Главная

Математика
Кривые на плоскости

Линия - общая часть двух смежных областей поверхности. Характеристика спиралей – плоских кривых линий. Кардиоида как плоская линия, описываемая фиксированной точкой окружности. Описание циклоида и астроида. Синусоидальная спираль как семейство кривых.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Линия - общая часть двух смежных областей поверхности. Движущаяся точка описывает при своем движении некоторую линию. В аналитической геометрии на плоскости линии выражаются уравнениями между координатами их точек. В прямоугольной системе координат линии разделяются в зависимости от вида уравнений. Если уравнение линии имеет вид: F (x; y)=0, где F (x; y)- многочлен n-ой степени относительно х, у то линия называется алгебраической линией ого n-го порядка. Линия 1-го порядка - прямая. Конические сечения относятся к линиям 2-го порядка и т.д.
Спир а ли (франц., единственное число spirale, от лат. spira, греч. speira -- виток), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё.
Если выбрать точку за полюс полярной системы координат, то полярное уравнение спирали
r = f (j) таково, что f (j + 2p) > f (j) или f (j + 2p) < f (j) при всех j. В частности, спирали получаются, если f (j) -- монотонно возрастающая или убывающая положительная функция.
Наиболее простой вид имеет уравнение архимедовой спирали: r = а j, изученной древнегреческим математиком Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга в сочинении "О спиралях".
Из других спиралей практическое значение имеет спираль Корню (или клотоида), применяемая при графическом решении некоторых задач дифракции. Параметрическое уравнение этой С. имеет вид:
Спираль Корню является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути, так как её радиус кривизны возрастает пропорционально длине дуги. Спиралями являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности.
Названия некоторым спиралям даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например:
· параболическая спираль ( а - r) 2 = b j,
· гиперболическая спираль: r = а /j.
· si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид:
[si ( t ) и ci ( t ) --интегральный синус и интегральный косинус]. Кривизна si-ci-cпирали изменяется с длиной дуги по закону показательной функции. Такие спирали применяют в качестве профиля для лекал.
Напоминает спираль кривая , называемая кохлеоидой. Она бесконечное множество раз проходит через полюс, причём каждый следующий завиток лежит в предыдущем.
Спирали встречаются также при рассмотрении особых точек в теории дифференциальных уравнений
Спиралями иногда называют также пространственные кривые, делающие бесконечно много оборотов вокруг некоторой оси, например винтовая линия.
Кардиоида (греч. ?????? -- сердце, греч. ????? -- вид) -- плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.
Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали.
Так же можно сказать, что Кардиоида-это плоская кривая, описываемая точкой М окружности, которая извне касается неподвижной окружности того же радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к эпициклоидам (плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая извне касается неподвижной окружности и катится по ней без скольжения, к ним относятся кардиоиды, циклоиды, гипоциклоиды). Является алгебраической кривой второго порядка.
· В прямоугольной системе координат:
· В прямоугольной системе координат (параметрическая запись):
· Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой:
· Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой:
1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противоположной точке касания кругов, а нормаль -- через точку их касания.
2. Угол, составляемый касательной к кардиоиде с радиус-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиус-вектором с полярной осью.
3. Касательные к кардиоиде, проведенные в концах хорды, проходящей через полюс, взаимно перпендикулярны.
Циклоида (от греч. ?????????? -- кругообразный) -- плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r , катящейся без скольжения по прямой.
Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r .
· Циклоида описывается параметрически:
· Уравнение в декартовой прямоугольной системе координат:
Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:
Астроида -- плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4 r . Иначе говоря, астроида -- это гипоциклоида с модулем m = 4.
Так же можно сказать, что Астроида- это плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к гипоциклоидам. Является алгебраической кривой шестого порядка.
· Уравнение в декартовой прямоугольной системе координат:
Лемниската Бернулли -- плоская кривая, геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Так же можно сказать, что Лемниската Бернулли- это плоская кривая, имеющая вид «восьмерки»; множество точек М, произведение расстояний r1 и r2 которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния. Алгебраическая кривая 4-го порядка, рассмотренная Я. Бернулли (1964 г).
Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2 c , расположены они на оси OX , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
· в прямоугольной декартовой системе координат:
Фокусы лемнискаты -- F 1 ( ? c ;0) и F 2 ( c ;0). Возьмём произвольную точку M ( x ; y ). Произведение расстояний от фокусов до точки M есть
Возводим в квадрат обе части равенства:
Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:
Выносим общий множитель и переносим:
Далее можно сделать замену a 2 = 2 c 2 , хотя это не обязательно:
В данном случае a -- радиус окружности, описывающей лемнискату.
Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
Возводим в квадрат и раскрываем скобки:
Это квадратное уравнение относительно y 2 . Решив его, получим
Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:
где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный -- нижнюю.
Используя формулы перехода к полярной системе координат получим:
Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество sin 2 ? + cos 2 ? = 1:
Используем ещё одно тождество: cos 2 ? ? sin 2 ? = cos 2?:
Как и в случае прямоугольной системы можно заменить a 2 = 2 c 2 :
Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра
· Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то -- из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.
Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a = c , синусоидальной спирали с индексом n = 2 и лемнискаты Бута при c = 0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.
Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали :
однако, легко вывести и по определению.
Уравнение лемнискаты в полярной системе:
Формулы перехода к полярной системе координат:
Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем x и y :
--- это параметрическое уравнение относительно . Проведя некоторые тригонометрические преобразования , можно получить уравнение относительно , указанное выше в разделе Уравнения .
Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически:
Возвращаемся к уравнению лемнискаты:
Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем:
· Натуральное уравнение кривой имеет вид
· Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль
· Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.
· Кривая является геометрическим местом точек, симметричных с центром равносторонней гиперболы относительно её касательных.
· Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиус-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
· Материальная точка, движущаяся по кривой под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду. При этом ось лемнискаты составляет угол с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
· Площадь полярного сектора , при :
o В частности, площадь каждой петли , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной .
· Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
· Длина дуги лемнискаты между точками и выражается эллиптическим интегралом рода:
o В частности, длина всей лемнискаты
В геометрии, синусоидальная спираль -- семейство кривых, определяемое уравнением в полярной системе координат:
где a -- ненулевая константа и n -- рациональное число, не равное нулю. С учетом возможности поворота кривой относительно начала координат уравнение также может быть записано в виде:
Использование термина «спираль» в данном случае не является точным, т. к. получаемые кривые по форме скорее напоминают цветок. Многие известные кривые являются частными случаями синусоидальной спирали:
Сведения о плоских кривых. Замечательные кривые третьего порядка. Классификация Ньютона кривых третьего порядка. Циссоида и ее свойства. Преобразования плоскости, переводящие кривые второго порядка в кривые третьего порядка. Преобразования Маклорена. дипломная работа [960,1 K], добавлен 22.04.2011
Понятие и способы образования плоских и кривых линий. Примеры пересечения алгебраической кривой линии. Поверхность в геометрии. Аргументы вектор-функции. Уравнения семейства линий. Способ построения касательной и нормали в произвольной точке лемнискаты. контрольная работа [329,5 K], добавлен 19.12.2014
Понятие и свойства плоских кривых, история их исследований. Способы образования и разновидности плоских кривых. Кривые, изучаемые в школьном курсе математики. Разработка плана факультативных занятий по математике по теме "Кривые" в профильной школе. дипломная работа [906,7 K], добавлен 24.02.2010
Использование кривых второго порядка в компьютерных системах. Кривые второго порядка в 3d grapher. Жезл, гиперболическая спираль. Спираль Архимеда, логарифмическая спираль. Улитка Паскаля, четырех и трехлепестковая роза. Эпициклоида и гипоциклоида. реферат [221,1 K], добавлен 26.12.2014
Моменты и центры масс плоских кривых. Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности. лекция [20,9 K], добавлен 04.09.2003
Система кривых Пирсона. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение. дипломная работа [230,5 K], добавлен 13.03.2003
История развития учения о линиях. Замечательные линии третьего порядка: Декартов лист, циссоида Диоклеса, строфрида, верзьера Аньези. Линии четвертого и высших порядков и некоторые трансцендентные линии: спираль Архимеда, кривая кратчайшего спуска. курсовая работа [1,7 M], добавлен 12.06.2011
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Кривые на плоскости контрольная работа. Математика.
Сочинение По Повести А И Куприна Олеся
Реферат: Этнос и его признаки
Контрольная работа по теме Организация диетического питания
Дипломная работа по теме История становления бухгалтерского учета в России, перспективы его развития
Реферат по теме Трудовой договор New
Практическое задание по теме Программирование мобильной транкинговой радиостанции ALINCO DJ-382C1 в пользовательском режиме
Реферат На Тему Духовность Ценности России
Контрольная работа по теме Действие шума на организм человека
Курсовая работа: Смешанное страхование. Скачать бесплатно и без регистрации
Технико Экономическое Обоснование Необходимости
Формирование Привязанности У Детей Раннего Возраста Реферат
Лабораторная работа: Управление предприятием
Организация Управления Предприятием Курсовая
Реферат: Теория слога. Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная работа: Место и роль управления персоналом
Воронежская Крепость 11 12 Веков Сочинение Миниатюра
Реферат На Тему Эмоции
Итоговое Сочинение 2022 2022 Литература
Сочинение По Произведению Достоевского Записки Из Подполья
Реферат: Балканский союз
Правовое положение товариществ собственников жилья - Государство и право дипломная работа
Эволюция зрения - Биология и естествознание презентация
Товароведение и экспертиза качества кисломолочного продукта "Творог 19% жирности" - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа