Кривые Поверхности Второго Порядка Реферат

Кривые Поверхности Второго Порядка Реферат



➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!






























Кривые Поверхности Второго Порядка Реферат
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Пусть М—произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1М и F2М (так же как и длины этих отрезков) назы­ваются фокальными радиусами точки М. По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:
Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F1, F2.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов (r1 = F1М, r2 = F2М). Точка М будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их выраже­ниями через координаты х, у.
Заметим, что так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 распо­ложены на оси Ох симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); при­няв это во внимание находим:
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки
М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, полу­чим:
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:
а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 — 2а2сх + с2х2 ,
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
а>с, следовательно, а2—с2>0 и величина b—вещественна.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ?, получаем:
Так как с т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен­триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ?2, тем меньше, следова­тельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=a и ?=0.
Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо­угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением
Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а?b и, следова­тельно, ?=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а>b.
Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас­положенные симметрично относи­тельно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид
Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ?<1> то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эл­липса; аналогично, левая ди­ректриса расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:
Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, на­зываемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 и F2, а расстояние между ними—через 2с.
Пусть М—произвольная точка гиперболы с фокусами F1 и F2. Отрезки F1М и F2М (так же, как и дли­ны этих отрезков) называ­ются фокальными радиусами точки М и обозначаются че­рез r1 и r2 (r1= F1М, r2= F2М). По определению гиперболы разность фокаль­ных радиусов ее точки М есть по­стоянная величина; эту постоян­ную принято обозначать через 2а.
Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F1 и F2. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F1М и F2М через r1 и r2. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда
Так как F1 F2=2с и так как фокусы F1 и F2 располо­жены на оси Ох симметрично относительно на­чала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внима­ние находим:
Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе.
Возведём обе части равенства в квадрат; получим:
Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:
c2x2 – 2a2cx + a4 = a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 ,
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
с>a, следовательно, с2—а2>0 и величина b—вещественна.
определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо­угольных коорди­нат, есть урав­нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас­стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет бук­вой ?, получим:
Так как для гиперболы с>a, то ?>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заме­тив, что c2 = a2+ b2, находим:
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от­ношение в свою очередь оп­ределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха­рактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.
Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше ?2—1, тем меньше, следо­вательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо­лее вытянут ее ос­новной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней ги­перболы a=b и ?=?2.
Рассмотрим какую-ни­будь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением
Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, кото­рая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гипер­болы.
Уравнения директрис в вы­бранной системе координат имеют вид
Первую из них мы усло­вимся называть левой, вто­рую —правой.
Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гипер­болы; ана­логично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо­ку­сом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой ди­ректрисой (пред­полагается, что эта прямая не проходит через фокус).
Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до ди­ректрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы.
Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r рас­стояние от точки М до фокуса (r=FM), через d—расстояние от точки М до дирек­трисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда
Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d их выраже­ниями через те­кущие координаты х, у.
Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание, находим:
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты отсюда, получаем:
число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда .
Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коорди­наты точки
М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе.
Возведем обе части равенства в квадрат; получим:
Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у2=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй сте­пени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.
Пензенская Государственная Архитектурно-Строительная
Тема: «Кривые и поверхности второго порядка»

Реферат : Кривые и поверхности второго порядка.
реферат - Исследование кривых и поверхностей второго...
Кривые второго порядка . Реферат. Математика. 2010-08-11
Поверхности второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка , скачать реферат...
Эссе На Тему Гуманизм
Дипломная Работа Графический Дизайн
Человек С Большой Буквы Сочинение Огэ
Сборник Контрольных Работ По Химии 11 Класс
Курсовая Работа Учет Расчет С Поставщиками

Report Page