Кривые Евклидова пространства - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Кривые Евклидова пространства

Касательная прямая и нормальная плоскость кривой. Соприкасающаяся плоскость, кривизна и кручение, первая и вторая квадратичная форма, касательная плоскость и нормаль в выбранной и произвольной точке. Нахождение полной и средней кривизны поверхности.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость кривой. Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой
1.2 Соприкасающаяся плоскость в произвольной и в выбранной точке. Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке
1.3 Кривизна и кручение в выбранной и произвольной точке. Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке
2. Поверхности Евклидова пространства
2.1 Касательная плоскость и нормаль поверхности. Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке
2.2 Первая квадратичная форма в выбранной и произвольной точке. Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке
2.3 Вторая квадратичная форма в выбранной и произвольной точке. Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке
2.4 Полная и средняя кривизна поверхности. Вычисление полной и средней кривизны поверхности
касательная нормаль плоскость кривизна
Нам даны параметрические координаты кривой: x= , y=, z=-. Найдем на ее примере касательную прямую, нормальную плоскость, кривизну и кручение в произвольной и выбранной точке. Построим кривую.
1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость прямой в произвольной и в выбранной точке. Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой
Вектор () является вектором касательной кривой в точке . Обозначим точку кривой , соответствующую значению параметра , через P, т.е. P=P. Плоскость, проходящая через точку P кривой и перпендикулярная вектору , называется нормальной плоскостью кривой в точке . По вектору = и точке P запишем уравнения касательной прямой и нормальной плоскости кривой
Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой
Применим все вышесказанное к нашей кривой: найдем касательную прямую и нормальную плоскость в произвольной и выбранной точке.
подставим наши координаты: x, y и z вместо , и соответственно, и производные вместо , получим:
Мы получили уравнение касательной прямой в общем виде, теперь найдем уравнение прямой в выбранной точке, приняв :
Нами получено уравнение касательной прямой в выбранной точке. Теперь найдем уравнение нормальной плоскости кривой, по аналогии с нахождением уравнения касательной прямой, подставив в формулу:
Уравнение нормальной плоскости кривой в произвольной точке найдено. Напишем уравнение в выбранной точке, напомню, что . В итоге получаем:
Нами получено уравнение нормальной плоскости кривой в выбранной точке.
1.2 Соприкасающаяся плоскость в произвольной и выбранной точке. Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке
Рассмотрим плоскости, проходящие через касательную кривой (t) в точке Р=Р (t 0 ) кривой. При изменении параметра t получаем вектор . Для вектора имеет место формула Тейлора:
Точка М(t 0 +?t) кривой и касательная P, ?(t 0 ) определяют плоскость
Нормальный вектор плоскости есть ? (t 0 ) ?(t 0 +?t).
Плоскость P , ?(t 0 ), ?(t 0 ) называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке t 0 .
Уравнение соприкасающейся плоскости:
Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке
Найдем формулу соприкасающейся плоскости в произвольной и выбранной точке:
Мы нашли формулу соприкасающейся плоскости в произвольной точке. Теперь найдем в произвольной точке, которую мы ранее приняли равной :
Соприкасающаяся плоскость в выбранной точке найдена.
1.3 Кривизна и кручение кривой. Вычислительные формулы для кривизны и кручения. Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке
Величина k 1 называется кривизной или первой кривизной кривой r(s) в точке Р; функция k 1 = k 1 (s) называется функцией кривизны кривой r(s), k 1 ? 0,
Величина k 2 называется кручением кривой ?(s) или второй кривизной кривой (s) в точке Р. При движении точки Р по кривой (s), т.е. с изменением параметра s, имеем функцию k 2 = k 2 (s) - функцию кручения. Знак величины k 2 может быть и положительным, и отрицательным
Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке
Вычислим, имея компоненты нашей кривой: кривизну и кручение в произвольной и выбранной точке.
Кривизна кривой () в произвольной точке вычисляется согласно формуле (1).Подставляем наши координаты в эту формулу, получаем:
Мы нашли кривизну кривой в произвольной точке. Найдем кривизну выбранной точке, подставив вместо значение равное 1, которое мы выбрали ранее.
Кривизна кривой в выбранной точке найдена.
Кручение кривой () в произвольной точке вычисляется согласно формуле (2).Подставляем наши координаты в эту формулу, получаем:
Мы нашли кручение кривой в произвольной точке. Найдем кручение выбранной точке, подставив вместо значение равное 1, которое мы выбрали ранее.
Кручение кривой в выбранной точке найдена.
Изобразим нашу кривую; она будет иметь следующий вид:
2. Поверхности евклидова пространства
Нам даны компоненты поверхности: x=, y=, z= Найдем на ее примере уравнение касательной плоскости и нормали, первую и вторую квадратичные формы в произвольной и выбранной точке. Вычислим полную и среднюю кривизны поверхности. Изобразим поверхность.
2.1 Касательная плоскость и нормаль поверхности. Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке
Пусть P - точка регулярной поверхности (u,v). В этой точке имеем неколлинеарные векторы . Для любой линии (t) = (u(t),v(t)) выполняется .
Касательная прямая P , ?(t) всякой кривой (t) = (u(t),v(t)) поверхности (u,v) лежит в плоскости . Касательные всех линий поверхности (u,v) ,проходящих через точку Р, образуют плоскость.
Пусть Р=(x 0 ,y 0 ,z 0 ) и производные вычислены в точке Р.
Тогда уравнение касательной плоскости таково
Прямая называется нормалью поверхности (u,v) в точке Р. Ее уравнение
Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке
Вычислим производные по u и v. Получим следующее:
Найдем касательную плоскость в произвольной точке:
Уравнение касательной плоскости в произвольной точке найдено.
Найдем в выбранной точке, подставив значения и расписав
Мы нашли уравнение касательной плоскости в выбранной точке.
Теперь найдем уравнение нормали в произвольной и выбранной точке, используя теоретическую часть нашего вопроса, получим:
Получено уравнение нормали в произвольной точке. Найдем в выбранной:
Уравнение нормали в выбранной точке найдено.
2.2 Первая основная квадратичная форма поверхности. Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке
В произвольной точке Р поверхности (u,v) зададим направление, выбрав u=u(t), v=v(t). Отношение дифференциалов
определяет направление на поверхности , имеем
Производная от (u,v) по направлению du: dv имеет вид:
Малое смещение ds по кривой (u(t),v(t)) на поверхности вычисляется на основании равенств
Отсюда получаем ,вычисляя скалярный квадрат
Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки Р поверхности . Выражение:
называется первой квадратичной формой поверхности (u,v).
Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке.
Вычислим первую квадратичную форму в выбранной точке.
Теперь, когда найдены значения E,F и G, напишем формулу первой квадратичной формы в произвольной точке:
Нами получена формула первой квадратичной формы в произвольной точке.
Теперь, подставив наши значения в формулу первой квадратичной формы, найдем ее значение в выбранной точке:
Первая квадратичная форма в выбранной точке найдена.
2.3 Вторая квадратичная форма поверхности. Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке
На поверхности (u,v) рассмотрим линию u=u(s), v=v(s) в естественной параметризации :
где k 1 кривизна кривой, - единичный вектор главной нормали кривой. Обозначим - единичный вектор нормали поверхности
Называется нормальной кривизной (s) на поверхности (u,v) или нормальной кривизной поверхности
Вычислим k n в окрестности точки Р=(x 0 ,y 0 ,z 0 ) . Находим
Коэффициенты L,M,N вычислены в точке Р поверхности .Выражение для нормальной кривизны линии на поверхности таково:
Воспользуемся значением ds 2 из первой квадратичной формы поверхности
Называется второй квадратичной формой поверхности.
Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке.
Найдем вторую квадратичную форму в произвольной точке:
Вычислим, для начала чему равен , подставив ранее полученные значения E, G и F для первой квадратичной формы:
Найдем коэффициенты второй квадратичной формы, подставив в формулы
Теперь напишем формулу второй квадратичной формы поверхности в произвольной точке
Вторая квадратичная форма в произвольной точке найдена.
Подставив значения в нашу формулу, получим уравнение второй квадратичной формы в выбранной точке:
Уравнение второй квадратичной формы в выбранной точке найдено.
2.4 Полная и средняя кривизны поверхности. Вычисление полной и средней кривизны поверхности
Рассмотрим регулярную (u,v) в окрестности точки Р.
Дифференцируем это неравенство по x и по y
Главные направления в касательной плоскости определяются этой системой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е. в случае ?=0
Главные кривизны есть корни выписанного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета
где К- полная кривизна поверхности (Гауссова кривизна),
Вычисление полной и средней кривизны поверхности
Мы вычислили полную и среднюю кривизну поверхности.
Изобразим нашу поверхность; она будет иметь следующий вид:
1.Долгарев А.И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований. - Саранск: Средневолжское математическое общество, 2003(препринт 63). - 116 с.
2.Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. - Пенза: Инф.-изд. Центр Пенз. гос. ун-та, 2004. - 306 с.
3.Позняк Э.Г. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство / Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин. - М.: Изд-во МГУ, 1990.-384 с.
4.Долгарев А.И. Одулярное описание афинных преобразований плоскости: Деп. В ВИНИТИ 07.02.97, №369 - В97. - 59 с.
Характеристика семейства поверхностей. Касательная прямая и плоскость. Криволинейные координаты. Вычисление длины дуги кривой на поверхности и ее площади. Угол между двумя линиями на поверхности. Нормальная кривизна линий, расположенных на поверхности. дипломная работа [2,0 M], добавлен 18.05.2013
Регулярная кривая и ее отдельные точки. Касательная к кривой и соприкасающаяся плоскость. Эволюта и эвольвента плоской кривой. Кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме. Примеры точки возврата; понятие асимптоты и полярных координат. курсовая работа [936,1 K], добавлен 21.08.2013
Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности. контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014
Искривленность пространства. Изучение "параллельных прямых" на поверхности планеты. Первая и вторая основная квадратичная форма. Классификация точек поверхности. "Мыльные пленки", возникающие на замкнутых контурах. Нахождение средних кривизн поверхностей. курсовая работа [2,1 M], добавлен 11.03.2014
Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно горизонтальной, фронтальной и профильной прямым. Угол в точке пересечения прямой с плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Метод прямоугольного треугольника. курсовая работа [647,0 K], добавлен 14.11.2014
Понятие и способы образования плоских и кривых линий. Примеры пересечения алгебраической кривой линии. Поверхность в геометрии. Аргументы вектор-функции. Уравнения семейства линий. Способ построения касательной и нормали в произвольной точке лемнискаты. контрольная работа [329,5 K], добавлен 19.12.2014
Ортогональное проецирование точки в разные плоскости. Проецирование прямой линии по плоскостям проекций. Плоскость на эпюре Монжа, позиционные и метрические задачи. Многогранники, кривые линии и аксонометрические поверхности, касательные и сечение. учебное пособие [3,6 M], добавлен 07.01.2012
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Кривые Евклидова пространства курсовая работа. Математика.
Контрольная Работа По Биологии 9 Класс Мамонтов
Купить Дипломную Работу В Улан Удэ
Реферат: Фармация с нормоконтролем
Курсовая Работа По Теме Безработица В России
Реферат по теме Япония Каменного Века
Дипломная работа по теме Проектирование ВОЛС для технологической оперативно–диспетчерской связи
Себестоимость Продукции Предприятия Курсовая Работа
Книга На Тему Бухгалтерський Облік В Галузях Економіки
Дипломная работа по теме Виды PR и его роль в политике
Практическая Работа Мастер Класс
Реферат На Тему Состояние Растительного Мира
Пенсионное Обеспечение Семей Военнослужащих Курсовая
Дипломная работа по теме Разработка мероприятий по обеспечению акустических требований промышленной зоны комплекса ремонтных мастерских
Линии Электропередачи Реферат
Дипломная работа по теме Автоматизация компрессора
Примеры Аргументов К Итоговому Сочинению
Сочинение по теме Гарри Поттер. Попытка не испугаться
Сочинение На Тему Учитель Робот
Плешаков Контрольные Работы 2 Класс
Дипломные Работы Технических Вузов
Методы и формы научного познания - Биология и естествознание реферат
Метафора как способ создания языковой картины мира на примере англоязычной прессы - Иностранные языки и языкознание дипломная работа
Защита радиоэлектронных средств от внешних механических воздействий - Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника презентация