Координатно-векторний метод розв’язування стереометричних задач - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Координатно-векторний метод розв’язування стереометричних задач

Дослідження історії виникнення та розвитку координатно-векторного методу навчання розв'язування задач. Розкриття змісту даного методу, розгляд основних формул. Розв'язання факультативних стереометричних задач з використанням координатно-векторного методу.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1) Дослідити історію виникнення координатно-векторного методу навчання розв'язування задач та його розвиток.
2) Розкрити зміст даного методу,розглянути основні формули.
3) Показати застосування методу на неважких, елементарних задачах, розв'язати факультативні стереометричні задачі з використанням координатно-векторного методу, порівняти і показати його переваги та розкрити методику викладання даного методу в стереометрії.
4) Розробити план-конспет уроку з використанням координатно-векторного методу для розв'язування стереометричних задач.
1. Історія виникнення методу координат та його розвиток
стереометрія координатний векторний задача
Виникнення в першій половині XVII ст. аналітичної теорії,що встановила зв'язок між алгеброю і геометрією, не було випадковим. Воно було наслідком як розвитку математики, так і загальною потребою виробництва, економіки й торгівлі тієї епохи.
В основі аналітичної геометрії, створеної П. Ферма і Р. Декартом, лежать дві ідеї:
1) ідея координат, що привела до арифметизації площини тому, що кожній точці площини ставиться у відповідність два числа, взятих у певному, визначеному порядку, і навпаки;
2) ідея вираження будь-якого рівняння двома невідомими як деякої лінії на площині і, навпаки,представлення будь-якої лінії, визначеної, як деяке геометричне місце точок, які відповідають рівнянню.
Перша робота, що містила деякий опис системи координат і використання цього методу при розв'язуванні задач, була написана приблизно в середині 30-х років XVII ст. П'єром Ферма і названа ним «Введение в учение о плоских и телесных местах». До своїх нових ідей Ферма прийшов, ретельно вивчаючи, як і всі великі математики того часу, класичні праці давньогрецьких учених, в тому числі Аполонія. Ферма займався навіть відновленням одного втраченого твору Аполонія -- «Плоские места».
У передмові до «Введення» Ферма вказує, що давньогрецькі вчені не володіли загальними методами розв'язування геометричних задач. Кожна задача трактувалася окремо і незалежно від інших, подібних до неї задач.
Відсутність єдиного загального підходу до дослідження і вирішення завдань,як і відсутність символіки, призводило до повторення одного і того ж і робило неможливим раціонально класифікувати різні завдання і розглядати їх сутність з більш широкої точки зору. Ферма задався метою встановити загальний підхід до дослідження геометричних місць. Він з самого початку заявляє, що всяке рівняння між двома «невідомими.
На прямій NZ (Наша вісь абсцис), що позначається буквою А (наш х), він відзначає початковуточку N, потім при точці Z будує кут NZ 1 (зазвичай прямий) і відкладає відрізок Z 1 (ординату), що позначається літерою Е (наш у) і рівний другій невідомій.(Рис. 1)
Одним з недоліків праці Ферма була обмеженість його системи координат. По-перше, фіксованою вважалася лише вісь абсцис N 2 . Вісь ординат по суті відсутня, вона ніби передбачається. По-друге, х і у приймають, як і в давнину, лише додатні значення. Фактично вся система координат складалася з одного, першого квадранта.«Геометрія» Декарта була вперше опублікована французькою мовою в1637 р. у якості одного з трьох додатків до його філософського праці «Міркування про метод». У ньому, як і в інших своїх творах, Декарт висловив думку, що математика є найважливішим засобом для розуміння законів Всесвіту і кращим підтвердженням того, що людський розум здатний знайти істину в науці і пізнавати природу. Ще в 23-річному віці Декарта осяяла думка про перебудову всіх наук на математичній, аналітичній основі, думка про створення однієї єдиної та всеосяжної науки - «Універсальної математики». Ця думка його постійно надихала, хоча йому так і не вдалося здійснити її повністю. «Геометрія» Декарта і з'явилася як часткова реалізація загальної його ідеї, як об'єднання арифметики і алгебри з геометрією. Фактично «Геометрія» Декарта є алгебраїчною працею, і мало в ній можна знайти з того, що ми сьогодні називаємо «аналітичною геометрією». Проте основна ідея останньої - алгебраїчний спосіб дослідження питань геометрії за допомогою методу координат - в ній чітко викладена. Значна частина «Геометрії» присвячена методам алгебраїчного і графічного розв'язування рівнянь.
Отже, не тільки у Ферма, а й у Декарта ще немає того, що ми називаємо системою декартових координат на площині, є тільки вісь абсцис з початковою точкою на ній. Хоча «Геометрія» Декарта ще не являла собою справжню аналітичну геометрію, все ж вона як наука розвивалася саме під впливом цієї книги Декарта, а не під впливом «Введення» Ферма, що з'явилася у пресі лише в 1679 р. Через нелегкий стиль і нечіткий спосіб викладу «Геометрія» Декарта виявилася дуже важкою для читання. Вже в 1649 р. француз Ф. Дебон в своїх «коротких зауваженнях» коментує і доповнює Декарта. Так само вчинив голландський математик Франц Ван Скоотен, який видав «Геометрію» Декарта латинською мовою в 1649 і 1659 рр. У ван Скоотена ми вже знаходимо самостійне рівняння прямої у = аx + к, перетворення координат і т.п. Дж. Валліс вперше ввів і від'ємні абсциси, які він застосував разом із від'ємними ординатами. Метод координат поступово пробивав собі дорогу. Деякі з послідовників Декарта хоча і малювали другу вісь координат, але не застосовували її. Істотним поштовхом для подальшого розвитку координатної геометрії на площині були невелика праця Ньютона «Перерахування кривих третього порядку» (1706) і книга його співвітчизника Дж. Стірлінга «Ньютонові криві третього порядку» (1717), в яких використовувалися обидві осі (хоча вісь V ще не вважалася рівноправноюз віссю X) і квадранти. Лише Г. Крамер у своєму «Введення в аналіз алгебраїчних кривих »(1750) вперше ввів вісь V, вважаючи її рівноправною з віссю X1, і чітко користувався поняттям двох координат точки на площині. Цього нововведення, однак, ще немає в другому томі «Введення в аналіз»(1748) Ейлера. З іншого боку, ця робота Ейлера, присвячена геометрії, стала першою в сучасному сенсі аналітичної геометрії конічних перерізів. Близькі до сучасних нові позначення і розташування матеріалу плоскої аналітичної геометрії ми знаходимо вперше у С. Лакруа в «Елементарний курс прямолінійної і сферичної тригонометрії та програм алгебри до геометрії », який перевидавався багато разів протягом цілого століття, починаючи з 1798 р. Ще складніше щось говорити про полярну систему координат. Вважається, що її основи були також закладені в геометрії Декарта, але подальшого глибокого розвитку її в математиці не простежується. І математики мало приділяють уваги полярній системі координат. Це пов'язано з незручністю її використання при проведенні розрахунків і побудов, а також складністю сприйняття об'єктів в полярній системі координат. Хоча, при вивченні об'єктів, що знаходяться на величезних відстанях і недоступних об'єктів дуже зручно використовувати саме полярну систему координат. Вся теорія руху небесних тіл побудована на основі полярної системи координат. Були розроблені формули переходу від декартової системи координат в полярну і навпаки.
На даний момент, різні системи координат застосовуються у різних галузях науки. В школі найчастіше працюють з декартовими та полярними системами координат. А основні положення вчень відомих математиків стали основою координатного методу розв'язування задач, який частково досліджується в роботі.
2. Координатно-в екторний метод розв'язування стереометричних задач
Деякі метричні задачі зручно розв'язувати за допомогою координатно-векторного методу. Це перш за все завдання, в яких мова йде про куб, прямокутний паралелепіпед або тетраедр з прямим кутом. Прямокутна система координат у просторі природним чином пов'язана з многогранниками, при цьому серед координат їх вершин є багато нулів, що спрощує обчислення.
Сутність координатного методу, як і векторного, полягає в тому, що геометрична задача перекладається на мову алгебри, і її розв'язання зводиться до розв'язання рівнянь, нерівностей чи їх систем.
З курсу стереометрії відомо, що рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно ненульовому вектору в прямокутній системі координат має вигляд:
Навпаки, будь-яке рівняння першого степеня визначає в координатному просторі єдину площину, яка перпендикулярна вектору з координатами (A, B, C).
Положення площини в просторі однозначно визначається заданням трьох точок, що не лежать на одній прямій. Нехай дана площина перетинає осі координат в точках , , , але не проходить через початок координат. Підставивши координати цих точок у загальне рівняння площини, отримаємо:
де числа відмінні від нуля. Звідси знаходимо:
і рівняння приводиться до вигляду:
Отримане рівняння називають рівнянням площини у відрізках. Його часто застосовують при розв'язуванні задач.
Як відомо, відстань між двома точками і обчислюється за формулою:
Користуючись даною формулою можна легко вивести рівняння сфери.
В прямокутній системі координат рівняння сфери радіуса R з центром в точці має вигляд:
Якщо центр сфери співпадає з початком координат, то рівняння матиме вигляд:
Розглянемо способи завдання прямої в координатному просторі.
Нехай пряма l проходить через дану точку і паралельна ненульовому вектору Вектор називають напрямним вектором прямої l (рис. 2).
Довільна точка належить прямій l тоді і тільки тоді, коли вектори
де t- деяке число (параметр). Дане співвідношення в координатах рівносильне системі рівнянь:
Дану систему називають параметричними рівняннями прямої.
Якщо пряма l паралельна осі то вектор є напрямним вектором, і рівняння прямої прийме вигляд: (координата z прийме довільне значення).
Нехай жодна з координат вектора не рівна 0. Тоді виключивши з отриманих рівнянь параметр t , отримаємо рівняння:
Отримані рівняння називаються канонічними рівняннями прямої.
Виведемо формулу для обчислення відстані від даної точки до площини , заданої в прямокутній системі координат рівнянням
Нехай перпендикуляр, проведений з точки до площини , перетинає її в точці (Рис. 3).
Так як вектор перпендикулярний площині і колінеарний вектору то згідно з визначенням скалярного добутку,
Виразимо скалярний добуток, що стоїть в знаменнику дробу, через координати векторів і Отримаємо:
Точка лежить в площині , тому . Таким чином, маємо:
Отже, для того щоб обчислити відстань від точки до площини , потрібно в многочлен замість підставити координати точки , взяти модуль отриманого числа і поділити його на число
Наведемо основні векторні співвідношення і формули, які використовуються для розв'язування стереометричних задач.
1) Для будь-яких трьох точок Б, В,C має місце рівність:
2) Для будь-яких трьох точок Б, В і О виконується рівність:
3) Для того, щоб точка С лежала на прямій АВ, необхідно і достатньо, щоб існувало таке число k, що
4) Нехай А і В - дві різні точки прямої і точка С - точка даної прямої така, що . Доведемо істинність формули:
Відмітимо, що , інакше було б, що , або
, тобто . Але це неможливо, тому що А і В різні точки. Нехай або Користуючись правилом віднімання векторів, отримаємо:
Дану формулу називають формулою ділення відрізка в даному відношенні. Якщо С - середина відрізка АВ, то і
5) Чотирикутник ABCD є паралелограмом тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних рівностей:
6) Якщо вектори і неколінеарні, то для будь-якого вектора , що лежить в одній площині з і , існує єдина пара чисел x і y таких, що .
7) В просторі для кожного вектора існує єдиний розклад за трьома некомпланарними векторами , , :
(x, y, z - однозначно визначені числа).
8) Нехай точки А, В, С не лежать на одній прямій; тоді для того щоб точка D лежала в площині АВС, необхідно і достатньо, щоб існувала така пара чисел б і в, що
При розв'язуванні різних геометричних задач на обчислення довжин відрізків і величин кутів, на доведення геометричних нерівностей ефективно використовувати скалярне множення векторів. Нагадаємо його основні властивості.
1) З визначення скалярного добутку слідує, що
тобто скалярний квадрат вектора рівний квадрату його довжини. Отже, для знаходження довжини відрізка AB може бути використана формула
За допомогою скалярного добутку двох векторів можна знаходити довжину відрізка, величину кута, отже, знаходити відстані, площі та інші метричні характеристики геометричних фігур. Для доведення перпендикулярності прямих і площин зручно користуватися ознакою перпендикулярності двох ненульових векторів:
Для знаходження довжини відрізка АВ векторним способом в якості базисних вибирають такі вектори, довжини яких і кути між якими вже відомі. Потім записують розклад вектора за базисними векторами і знаходять:
Якщо в задачі потрібно знайти величину кута , то в якості базисних беруть вектори з відомими відношеннями їх довжин і кутами між ними. Потім вибирають вектори на сторонах цього кута з початком в його вершині і розкладають їх по базису, після чого знаходять cos ц за формулою
2) Для будь-яких векторів і має місце нерівність
3) Відрізки AB і CD перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли
4) Для будь-яких векторів і має місце формула:
Для успішного використання векторного методу, корисно знати деякі рівності, які часто використовуються для розв'язування задач.
5) Для будь-яких векторів , , виконується рівність:
6) Для будь-яких трьох точок A, B і C:
7) Для будь-яких чотирьох точок A, B, C, D:
Вектори і в лівій частині представимо у вигляді різниці двох векторів, відкладених від точки A. Отримаємо:
Доведена рівність є узагальненням рівності 6), яка випливає з неї при співпаданні точок D і A.
3. П риклади розв'язання стереометричних задач координатно-векторним методом
В шкільному курсі математики координатно-векторний використовується для розв'язування стереометричних задач дуже мало. На вивчення теми «Вектори і координати» у 11 класі виділяється 10 годин. Застосування координатно-векторного проводиться по аналогії із його застосуванням в планіметрії. Даний метод в шкільному курсі геометрії використовується для досить легких та типових задач. Тому пропонуємо добірку задач, які доречно було б розглянути на факультативних заняттях, для поглиблення знань про координатно-векторний метод. При розв'язанні стереометричних задач такого типу легко помітити переваги координатно-векторного методу над іншими методами, які вимагають знання великої кількості означень, ознак і формул [4].
Основою піраміди SAВCD є паралелограм. Проведено площину, що перетинає бічні ребра SA, SВ, SC, SD піраміди відповідно в точках K, L, M, N таких, що Знайти залежність між числами k, l, m, n.
За умовою належності чотирьох точок M, N, K і L, маємо:
Представимо кожен із векторів, що входять в рівність у вигляді різниці двох векторів зі спільним початком в точці S. Отримаємо:
Враховуючи умову задачі і попередню рівність перепишемо так
Позначимо через точку О перетин діагоналей паралелограма AВCD. Так як О - середина діагоналей AC і ВD, то
Таким чином, вектор виражаємо двома способами через не компланарні вектори , і .
В силу єдності розкладу вектора, отримуємо числові рівності:
Звідси, враховуючи, що , знаходимо:
Наведемо числовий приклад. Якщо площина проходить через вершину A тетраедра AВCD і перетинає його ребра SВ і SD в точках L і N таких, що , , то , , , значить , тобто .
Задача 2 (побудова і обчислення довжини спільного перпендикул я ра) [6, с. 22 ]
В кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 з ребром знайдіть відстань між прямими AB 1 і BC 1 .
Виберемо векторний базис , де , Нехай P і Q - деякі точки відповідно прямих BC 1 і AB 1 . Нехай
Знайдемо такі числа x і y, щоб вектор був ортогональним векторам і , і т. д., щоб мали місце рівності:
Беручи до уваги, що та, що отримуємо систему:
з якої , Точки P і Q шуканого спільного перпендикуляра будуються відповідно з отриманих рівностей і А так як
Умова компланарності трьох векторів.
В паралелепіпеді АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 точка М - середина діагоналі А 1 С 1 грані A 1 B 1 C 1 D 1 , точка K - середина ребра ВВ 1 . Доведіть, що прямі А 1 В 1 , KМ і ВС 1 паралельні деякій площині.
Трійку некомпланарних векторів,приймемо за базис. Розкладемо вектори за векторами цього базису.
Це означає, що вектори компланарні; отже, вони паралельні деякій площині, тоді цій площині паралельні і прямі А 1 В 1 , KМ і ВС 1 , для яких вектори є напрямними.
На діагоналях АВ 1 і ВС 1 граней AA 1 B 1 B і ВВ 1 С 1 С паралелепіпеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяті точки відповідно Н і M так, що відрізки MН і A 1 C паралельні. Знайдіть відношення довжин цих відрізків.
Трійку , некомпланарних векторів приймемо за базис і розкладемо вектори за векторами цього базису.Маємо:
Оскільки точка Н лежить на діагоналі АВ 1 , то вектори колінеарні, тому існує таке число х, що Аналогічно, в силу колінеарності векторів існує таке число у, що
За умовою MН РРA 1 C, значить, існує таке число t, що тобто виконується рівність:
Внаслідок некомпланарності векторів і єдиності розкладу вектора за базисом, приходимо до висновку:
Розв'язком цієї системи рівнянь є: Тоді
У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , ребро якого дорівнює 6, знайдіть:
а) відстань від вершини А 1 до площини ВС 1 D;
б) кут між діагоналлю ВА 1 межі АА 1 В 1 В і площиною ВС 1 D.
а) Нехай відрізок A 1 М - перпендикуляр опущений з вершини А 1 на (ВС 1 D), М (ВС 1 D) (рис. 4). Тоді A 1 М = с (А 1 ; (ВС 1 D)). Знайдемо довжину відрізка A 1 М.
Позначимо: а в площині ВС 1 D введемо базис де і запишемо розклад вектора за векторами цього базису у вигляді:
Так як A 1 М(ВС 1 D), то A 1 М ? ВС 1 , A 1 М ? ВD (за визначенням прямої, перпендикулярної до площини), значить,
Коефіцієнти х і у в розкладі вектора знайдемо, користуючись умовою:яка рівносильна системі рівнянь
Перш ніж розв'язувати. цю систему рівнянь, знайдемо скалярні добутки векторів:
Так як трикутники ВС 1 D, A 1 ВС1, A 1 ВD v -правильні і рівні, то довжини їх сторін рівні
Повернемося до розв'язання системи рівнянь (*).
Враховуючи співвідношення (**) і (***) і властивості скалярного добутку векторів, отримуємо:
б) Позначимо (ВА 1 ;(ВС 1 D)) = ц. Так як А 1 М ? (ВС 1 D), то ВМ - ортогональна проекція ВС 1 на (ВС 1 D),
значить, (ВА 1 ;(ВС 1 D)) = ?(ВА 1 ; ВМ) = = ?А 1 ВМ = ц. Використовуючи співвідношення (**) і (***) і те, що вектор при має вигляд знаходимо:
Знайдіть відстань між перехрещеними діагоналями АВ 1 і ВС 1 суміжних граней АА 1 В 1 В і ВВ 1 С 1 С куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , якщо ребро цього куба дорівнює 12.
Введемо вектори: (мал.5). Трійку некомпланарних векторів приймемо за базис і розкладемо вектори за векторами цього базису. Маємо:
Нехай відрізок МН - спільний перпендикуляр прямих АВ 1 і ВС 1 (Н?АВ 1 , М?ВС 1 ). Тоді довжина відрізка МН дорівнює відстані між цими прямими: с(АВ1;ВС 1 ) = |МН|. Оскільки точка Н лежить на діагоналі АВ 1 , то вектори колінеарні, тому існує таке число х, що
Аналогічно, в силу колінеарності векторів існує таке число у, що
Враховуючи, що базисні вектори попарно взаємно перпендикулярні і довжина кожного з них дорівнює 12, маємо:
Таким чином, система векторних рівностей (1) рівносильна системі рівнянь розв'язком якої є:
Многогранники, фігури обертання і вектори
Навколо правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює 10, описаний циліндр так, що всі вершини піраміди знаходяться на колах основ циліндра. Знайдіть об'єм та площу бічної поверхні циліндра.
Нехай вершина Р цієї піраміди РАВСD лежить на колі з центром О нижньої основи циліндра, описаного біля цієї піраміди (рис.11).
Так як кожне ребро піраміди дорівнює 10, то радіус R кола основи,описаного навколо правильного трикутника РАВ зі стороною 10, дорівнює
Нехай точка М - середина ребра СD, МK - перпендикуляр опущений з точки М на площину АВС основи циліндра, K?(АВС). Тоді МK ? ВА, МK ? ВР (за визначенням прямої, перпендикулярної площині), при цьому висота h циліндра дорівнює .
Знайдемо для цього введемо в якості базисних не компланарні вектори розкладемо вектор у базисі і знайдемо
Система (2) рівносильна системі рівнянь:
Перш ніж розв'язувати цю систему рівнянь, знайдемо скалярні добутки векторів:
Маємо: трикутники АВР, РВС - правильні і рівні, а довжини їх сторін рівні АВСD - квадрат зі стороною 10, тому
Продовжимо розв'язання системи рівнянь (3). На підставі властивостей скалярного добутку векторів, враховуючи (4) - (6), отримуємо:
Сфера, описана навколо тетраедра, та вектори
Якщо дані довжини трьох ребер РА, РВ і РС тетраедра РАВС, що виходять з його вершини Р, а також відомі величини плоских кутів при цій вершині, то за допомогою векторів можна знайти радіус, а отже і площа сфери (об'єм кулі), описаної навколо цього тетраедра.
У трикутної піраміді РАВС всі плоскі кути при вершині Р прямі. Знайдіть площу сфери, описаної навколо цієї піраміди, якщо РА = 2, РВ = 3, РС = 4.
Нехай точка О - центр сфери, описаної навколо тетраедра РАВС, R - радіус цієї сфери. Тоді ОА = ОВ = ОС = ОР = R.
Введемо не компланарні вектори (рис.7) і приймемо їх за базисні в просторі. Тоді при цьому Знайдемо коефіцієнти х, у і z в цьому розкладі вектора
З рівностей ОА = ОВ = ОС = ОР (як радіуси сфери, описаної навколо тетраедра РАВС) випливає, що означає,
Зауважимо, що так як базисні вектори попарно перпендикулярні і довжини їх рівні відповідно 2, 3 і 4, то
Замінюючи виразом в останній системі рівнянь і враховуючи (7), отримуємо:
Якщо відомі величини плоских кутів при вершині Р тригранного кута РАВС і дано відстань РО від цієї вершини до центру О сфери, що дотикається до всіх трьох ребер РА, РВ і РС цього кута, то можна знайти радіус, а значить і площу цієї сфери.
У тригранному куті РАВС відомі величини плоских кутів при вершині Р: ?АРВ = ?ВРС = ?АРС = 60 ° [2].
Сфера, центр якої віддалений від вершини Р на відстань, рівну дотикається до всіх ребер цього кута. Знайдіть радіус даної сфери.
Нехай сфера дотикається ребер РА, РВ і РС в точках відповідно K, Н і М. Тоді РK = РН = РМ (як відрізки дотичних, проведених до сфери з точки Р), при цьому ОK = ОН = ОМ = R ( R - радіус сфери), ОK ? РА, ОН ? РВ, ОМ ? РС (як радіуси сфери, проведені в точки дотику її з ребрами кута).
Введемо не компланарні вектори (рис. 8) і приймемо їх як базисних в просторі. Тоді причому Так як РK = РН = РМ, то
Знайдемо значення коефіцієнтів х, у, z розкладу вектора використовуючи наступний факт: ОK ? РА, ОН ? РВ, ОМ?РС, тобто
Замінивши в трьох останніх рівностях вектор виразом отримуємо:
Знайдемо скалярні добутки векторів:
Продовжимо розв'язання системи рівнянь (8). Після поділу на m 2 обох частин кожного рівняння системи (8), враховуючи (9) - (10), отримуємо:
Після додавання всіх рівнянь останньої системи отримуємо: х + у + z = =1,5. Тоді з першого рівняння 2х + у + z = 2 отримуємо: х + 1,5 = 2, звідки х = =0,5. Аналогічно, з другого і третього рівнянь системи знаходимо: y = 0,5, z = =0,5.
(Рівність коефіцієнтів розкладання вектора означає, що центр О сфери, що дотикається всіх ребер тригранного кута з плоскими кутами 60 °, лежить на прямій перетину бісектральних площин двогранних кутів при ребрах цього тригранного кута.) Знайдемо довжини базисних векторів та враховуючи умову і співвідношення (9) - (10). Одержуємо:
Тепер знайдемо радіус R сфери, враховуючи, що
Дано тетраедр ABCD, у якого всі плоскі кути при вершині D прямі, ,, і , де - висота тетраедра. Довести, що
Візьмемо точку D за початкову точку, а напрямлені прямі DA, DB, DC за осі прямокутної системи координат. Вершини тетраедра матимуть координати , , . Запишемо рівняння площини у відрізках:
За формулою відстані від точки до площини знайдемо висоту тетраедра:
Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , в якому , , . Через вершину B 1 проведена пряма перпендикулярно площині . Довести, що якщо , то пряма перетинає грань ABCD в деякій точці М. Знайти [16].
Введемо в просторі прямокутну систему координат з початком в т D (Рис. 14).
Вершини паралелепіпеда матимуть координати , , , .
Вектор перпендикулярний до площини і є напрямним вектором прямої :
Знайдемо координати точки перетину прямої з площиною . Нехай , тоді
Очевидно, якщо , то , . Значить, точка М лежить всередині прямокутника ABCD.
За формулою відстані між двома точками знаходимо
чи де h - відстань від точки D до площини .
Зауваження. Отримана формула показує, як отримати елементарно-геометричний розв'язання задачі.
Нехай перпендикуляр до площини перетинає площину A 1 B 1 C 1 в точці . Тоді - паралелограм. З трикутника DND 1 випливає, що тому .
Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Яке найбільше значення може приймати кут нахилу його діагоналі до площини ?
Виберемо в просторі прямокутну систему координат з початком в точці D. Рівняння площини має вигляд:
Вектор перпендикулярний до площини . Позначимо шуканий кут через . Легко довести, що
і , причому тоді і тільки тоді, коли
Таким чином, і приймає найбільше значення, рівне лише за умови, що паралелепіпед є кубом.
Отже, якщо - напрямний вектор даної прямої і - вектор, перпендикулярний до площини то кут між прямою і даною площиною знаходиться з рівності
Величина кута між двома площинами обчислюється за визначенням від 0° до 90°. Якщо вектори і - вектори перпендикулярні відповідно площинам і то кут між даними площинами знаходиться з рівності
(даний кут або рівний куту між векторами і або доповнює його до 180°.)[15]
Дано куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Знайти кут між площинами і
Так як і то вектор перпендикулярний площині Аналогічно, вектор перпендикулярний до площини
Виберемо прямокутну систему координат з початком в точці D і координатними векторами Тоді вершини куба будуть мати координати а вектори - такі ж координати, як і точки і :
Кут між площинами і знайдемо за формулою:
Відмітимо, що лінійний кут AMC двогранного кута з ребром тупий і рівний 120°.
Традиційне розв'язання задачі полягає в побудові лінійного кута AMC двогранного кута обчислення сторін трикутника AMC, а потім і кута AMC.
Аналітичне розв'язання задачі підштовхує на ще один, більш простий спосіб розв'язання. Трикутник - рівносторонній, так як кожна його сторона рівна діагоналі квадрата з стороною 1. Значить, кут між векторами рівний 60°.
Метод координат з успіхом може застосовуватись при розв'язуванні задач на відшукання множини точок з певною властивістю.
Дано дві точки простору Знайти множину точокМ простору, для яких де c - даний відрізок[2].
Виберемо прямокутну систему координат з початком в точці А, напрямок осі абсцис - напрямок променя АВ.
Нехай - довільна точка простору, Точка В буде мати координати (). За формулою відстані між двома точками, отримаємо рівняння:
Отже, шукана множина точок є площиною, перпендикулярною прямій АВ.
4. Розробка уроку з використанням координатно-векторного методу розв'язування стереометричних задач
Урок геометрії в 10 класі з теми «Координатно-векторний метод»
· сформувати уявлення про координатно-векторний метод розв'язування задач, показати його переваги;
· розвивати навички критичного мислення, рефлексії;
· виховати працелюбність, вольові якості.
Перевірка готовності учнів до уроку. Сьогодні на уроці ми продовжуємо розв'язувати стереометричні задачі та розглянемо новий метод. Кожен учень під час уроку буде оцінений. За кожен етап уроку ви самі собі виставляєте бали у табличку. Виставлені вами бали я порівняю зі своїми та виставлю вам у журнал.
Учні звіряють відповіді домашнього завдання, виставляють бали у оцінювальну таблицю.
Завдання: Записати першу букву слова, яке відповіддю на запитання.
1) Положення точки на координатній площині (ОВ. к оординати).
3) Інша назва перпендикулярних прямих (ОВ. о ртогональні прямі).
4) Пряма CD для піраміди (ОВ. р ебро).
5) Математик, в честь якого назвали прямокутну систему координат (ОВ. Декарт).
6) Восьма буква в слові «математика» (ОВ. « и »).
7) Числа, що використовуються при лічбі (ОВ. н атуральні числа).
8) Перша буква алфавіту (ОВ. « а »).
9) Три точки, що не лежать на одній прямій і три відрізки, що послідовно їх сполучають (ОВ. т рикутник).
10) Що позначає стрілка у вектора? (ОВ. н апрям)
11) Точка, якою позначають початок координат (ОВ. « О »).
12) Направлений відрізок (ОВ. в ектор).
13) Четверта буква в слові «математика» (« е »).
14) Вектори, що лежать на паралельних прямих (ОВ. к олінеарні вектори).
15) Правильний многогранник, що складається з чотирьох правильних трикутників (ОВ. т етраедр).
17) Сторона грані многогранника (ОВ. р ебро).
19) Нам бичок сказав: «Уви! Немає слів на букву …» (ОВ. « И »)
20) Який молочний продукт найчастіше рекламують? (ОВ. й огурт)
21) Відрізок, що сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ОВ. м едіана).
22) Давньогрецький математик, творець геометрії (ОВ. Е вклід).
23) Твердження, яке потребує доведення (теорема).
24) (На моделі піраміди) Дайте назву вказаної грані(ОВ. о снова).
25) Кут, утворений двома півплощинами зі спільним ребром (ОВ. д вогранний кут).
II. Повідомлення теми, мети і завдань уроку.
Отже, тема нашого уроку координатно-векторний метод розв'язування задач. Сьогодні на уроці, ми дізнаємось як використовується координатно-векторний метод розв'язування задач та його переваги над іншими методами.
1. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - паралелепіпед. Спростіть вираз:
2. Визначити довжину відрізка АВ; точки мають координати А(1, 2, 0), В(5, 3, 1).
1. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - паралелепіпед. Спростіть вираз:
2. Визначити довжину відрізка АВ; точки мають координати А(0, 2, 0), В(3, 3, 1).
Перевірка самостійної роботи, виставлення балів в оцінювальну таблицю.
Довести, що медіани тетраедра перетинаються в одній точці і діляться у цій точці в відношенні 3:1, починаючи від вершини.
Візьмемо на медіані тетраедра AВCD точку М таку, що . За формулою поділу відрізка в даному відношенні, маємо:
Враховуючи, що точка М задовольняє рівність
Для точки Mґ, що ділить будь-яку з трьох інших медіан тетраедра AВCD у відношенні 3:1, починаючи від вершини, отримаємо такий самий вираз (симетричний відносно ). Значить, і всі чотири медіани тетраедра перетинаються в одній точці М і кожна з них ділиться цією точкою у відношенні 1:3, починаючи від вершини тетра
Координатно-векторний метод розв’язування стереометричних задач курсовая работа. Математика.
Контрольная работа: Сущность логической системы
Отчет По Производственной Практике Дороги
Реферат: Gender Definition Essay Research Paper When studying
Реферат по теме Anwendung eines neuronalen Netzwerkes fuer die Erkennung der Zeit-Frequenz Repraesentationen \german...
Контрольная работа: Контроль і ревізія операцій з основними засобами
Реферат: Тройственный союз
Курсовая работа по теме Моделирование распределенных систем управления
Как Книги Влияют На Жизнь Человека Сочинение
Курсовая работа по теме Изучение древней Москвы по картинам A.M. Васнецова. Формирование исследовательских умений у младших школьников
Реферат: Социально-психологические воздействия рекламы на поведение потребителей. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Socialism And Capitalism Essay Research Paper What
Сочинение Егэ По Тексту Чичева
Доклад по теме Дизель (Diesel), Рудольф
Реферат: Проблемы трудоустройства: гендерный аспект
Контрольная работа: Философия экзистенцианизма
Дипломная Работа На Тему Психологические Условия Коррекции Нарушений Пространственного Анализа И Синтеза У Детей С Психомоторными Недостатками При Помощи Физических Упражнений
Устройства Автомобилей Реферат
Реферат по теме Болотоный тип почвооброзования
Начало Сочинения По Литературе Примеры
Понятие участников уголовного процесса и их классификация
Практические основы бухгалтерского учета имущества организации - Бухгалтерский учет и аудит презентация
Выраженная тенденция заимствования англоязычной терминологии индустрии гостеприимства на примере развивающегося гостиничного дела в России - Иностранные языки и языкознание дипломная работа
Локализация при переводе малых рекламных текстов - Маркетинг, реклама и торговля дипломная работа