Контрольная работа: Универсальная тригонометрическая подстановка

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

«Универсальная тригонометрическая подстановка»

1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим интегрирование выражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которыми выполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называются рациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случае обозначаются . Например,
В то же время функция рациональной не является.
Теорема
. Интеграл вида с помощью подстановки преобразуется в интеграл от рациональной дроби
.
Для доказательства выразим , и через :
В результате проведенных преобразований , и превратились в рациональные дроби от . Подставляя их в исходный интеграл, получаем:
В данном выражении рациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над ними выполняются лишь арифметические операции, то в результате получается также рациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функций можно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь.
называется универсальной тригонометрической подстановкой.
2. Частные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции

Рассмотренная в п. 11 универсальная тригонометрическая подстановка позволяет вычислить любой интеграл от функции вида . Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, интегрирование которых представляет значительную трудность. Есть целый ряд интегралов от тригонометрических функций, которые можно вычислить значительно проще.
1. Интегралы типа удобно вычислять с помощью подстановки . Тогда и получаем простой интеграл .
2. Интегралы типа удобно вычислять с помощью подстановки . Тогда и интеграл приводится к виду .
3. Если подынтегральная функция зависит только от ( ), то удобна замена . В этом случае и . В результате получаем .
4. Если подынтегральная функция является рациональной относительно четных степеней и , то есть , то в этом случае также удобна замена . При этом:
Данная подстановка в этом случае дает более простую рациональную дробь, чем с использованием универсальной тригонометрической подстановки.
Пусть дан интеграл , где и при этом хотя бы одно из этих чисел нечетное. Допустим, что . Тогда
Далее делается замена , и получаем .
6. Пусть дан интеграл , где и неотрицательные и четные. Положим, что , . Тогда
Данная замена позволяет в два раза понизить степень тригонометрических функций. Раскрывая скобки в интеграле , получаем снова случаи 5 или 6.
7. Пусть дан , где и – четные и хотя бы одно из этих чисел отрицательно. Тогда удобна та же замена, что и в случае 4.
8. В случае используется тригонометрическая формула
и интеграл превращается в два табличных интеграла.
9. В случае используется тригонометрическая формула
10. В случае используется тригонометрическая формула
Рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральную функцию к функции, рационально зависящей от и . Вначале выполняется выделение полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной), в результате этого интеграл сводится, в зависимости от знаков и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов:
1) рационализируется подстановкой x
= a
sin t
(или x
= a
cos t
). Замена переменной в неопределённом интеграле.
2) рационализируется подстановкой (или , или ).
3) рационализируется подстановкой x
= a
tg t
(или x
= a
ctg t
, или x
= a
sh t
).
Пример 1. . Интеграл вида , из возможных подстановок наиболее удобной оказывается x
= ctg t
.
3. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей

Рассмотрим теперь интегрирование функций, содержащих радикалы. Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Однако в наиболее простых случаях, когда над радикалами выполняются рациональные действия, это удается сделать. Необходимо отметить, что все такие иррациональные функции интегрируются посредством их рационализации, то есть избавления от корней.
где , ,…, , . Найдем общий знаменатель дробей ,…, . Пусть это число . Сделаем подстановку , . В этом случае все дробные степени становятся целыми и подынтегральная функция становится рациональной относительно .
2. Рассмотрим общий случай подобных интегралов:
Чтобы получить рациональную функцию, находят общий знаменатель дробей ,…, (обозначим его ) и делают замену переменной . В этом случае
Очевидно, если и , то случай 2 переходит в случай 1. Кроме того, необходимо иметь в виду, что в обоих случаях основания всех степеней должны быть одинаковы: в первом случае , во втором – .
4. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок

Рассмотри снова интегралы, содержащие квадратный трехчлен:
Выделив полный квадрат под корнем, получим один из трех интегралов: , , . Все они вычисляются с помощью тригонометрических подстановок.
Во всех трех случаях после проведенных подстановок интегралы пришли к виду, рассмотренному в п. 2.
5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

В п. 1 была сформулирована теорема о том, что любая непрерывная функция имеет первообразную. Однако необходимо иметь в виду, что не всегда первообразная выражается в конечном виде через элементарные функции.
Во всех подобных случаях первообразная представляет собой некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций.
Например, та из первообразных , которая обращается в нуль при , называется функцией Гаусса и обозначается . Эта функция хорошо изучена, составлены подробные таблицы ее значений. То же самое можно сказать и о других подобных функциях.
1. Александров В.В., Потапов М.К., Пасиченко П.И., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М.К и др. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции. Учебник. М: Высшая школа, 2001. – 736 с.
2. Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.
3. Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.
4. Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.
5. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.
6. Шахмейстер А.Х. ТРИГОНОМЕТРИЯ 1-е изд. МГУ, 2006. – 672 с.

Название: Универсальная тригонометрическая подстановка
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа
Добавлен 04:03:11 16 июня 2010 Похожие работы
Просмотров: 223
Комментариев: 16
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Контрольная работа: Универсальная тригонометрическая подстановка
Учебное пособие: Методические указания к семинарским занятиям, решению кейсов и деловым играм по дисциплине «Маркетинг» Семинар «Нужды и потребности покупателя»
Рекреалогия.Рекреационные ресурсы.
Доклад по теме Горючие сланцы как местный вид топлива
Сочинение По Роману Горького Фома Гордеев
Дипломная работа по теме Управление финансовой устойчивостью предприятия ЗАО 'Нева Энергия'
Контрольная Работа По Теме Иррациональные Уравнения
Ильин Жил Однажды Чудак Сочинение
Курсовая работа по теме Специальные упражнения как средство овладения техническими приёмами игры в баскетбол детьми 11- 12 лет
Курсовая работа по теме Вспомогательные глаголы в английском языке
Дипломная работа по теме Организация производства ячменя в СПК 'Остроленский'
Афо Лиц Пожилого И Старческого Возраста Реферат
Сочинение: Типичные характеры поэмы Мертвые души
Сочинение по теме Макар Чудра
Доклад: Курская битва 6
Контрольная работа: по Информатике 16
Курсовая работа по теме Группы с ограничениями на системы подгрупп
Реферат На Тему Организация Системы Рефинансирования Кредитных Организаций
Курсовая работа: Ответственность за нарушение общественного порядка
Контрольная работа по теме Общая нозология. Типовые патологические процессы
Дипломная работа: Системный анализ правового характера категории "административное правонарушение"
Реферат: Кто такой сетевой онлайн?
Доклад: Анализ основных конфликтов и возможности их устранения
Дипломная работа: Психические механизмы формирования религиозного мировоззрения в классическом психоанализе