Контрольная работа: Таблица производных Дифференцирование сложных функций
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то
По определению . Будем дифференцировать как частное:
По определению . Будем дифференцировать как частное:
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то
то есть . Здесь была использована формула для второго замечательного предела.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то . Отсюда
Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .
Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если , то .
Теорема
. Если для некоторой функции существует обратная ей , которая в точке имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную равную , то есть .
Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: . Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть , откуда . Значит, .
Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.
В данном случае обратной функцией будет . Для нее . Отсюда
В данном случае обратной функцией будет . Для нее
Пусть дана функция и при этом . Тогда исходную функцию можно представить в виде . Функции такого типа называются сложными. Например, .
В выражении аргумент называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.
Теорема
. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную равную производной функции по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по , то есть .
Для доказательства дадим приращение аргументу , то есть от перейдем к . Это вызовет приращение промежуточного аргумента , который от перейдет к . Но это, в свою очередь, приведет к изменению , который от перейдет к . Так как согласно условию теоремы функции и имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если , то и , что, в свою очередь, вызовет стремление к нулю.
Если функция имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде , где , а , или , то, соответственно, и так далее.
3. Дифференцирование параметрически заданной функции
Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая , получаем значение , то есть пару чисел, являющихся координатами точки . При изменении меняется , точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные и связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции: где . Для каждого значения из данного промежутка будет своя пара чисел и , которой будет соответствовать точка . Пробегая все значения, заставляет меняться и , то есть точка движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная – параметром.
Если функция взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти . Подставляя в , получим , то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.
Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям и в зависимости от времени , то есть в виде параметрически заданной функции Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение .
В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.
Возьмем точку на окружности с радиусом . Выражая и через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:
Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности .
Известно, что уравнение эллипса – . Отсюда . Возьмем две точки и на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что . Подставим это выражение в : . Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид
Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом . Зафиксируем точку O
ее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t
, точка O
перейдет в точку C
(рис. 3.3). Найдем ее координаты:
Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:
Пусть внутри окружности радиуса без скольжения катится другая окружность радиуса . Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:
Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.
Пусть функция от задана параметрически: где . Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом . Найдем .
Следовательно, . Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.
2. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
3. Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.
4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.
Название: Таблица производных Дифференцирование сложных функций
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа
Добавлен 18:37:05 21 декабря 2010 Похожие работы
Просмотров: 642
Комментариев: 8
Оценило: 0 человек
Средний балл: 0
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Контрольная работа: Таблица производных Дифференцирование сложных функций
Отчет по практике по теме Горные работы на Наталкинском золоторудном месторождении
Реферат: Курортный район Санкт-Петербурга
Доклад: Зверобой продырявленный
Дипломная работа: Построение тренировочного процесса начинающих лыжников 12-13 лет на основе учета их индивидуальной моторной предрасположенности
Средства Защиты Дыхательных Путей Реферат
Как Правильно Начать Писать Сочинение
Контрольная Работа На Тему Правовые Основы Безопасности Жизнедеятельности
Дипломная Работа На Тему Информационно-Коммерческая Безопасность Предпринимательской Деятельности
Подготовка К Сочинению Описанию
Реферат: Проектирование режущего инструмента. Скачать бесплатно и без регистрации
Дипломная работа по теме Освещение геополитических конфликтов в современной прессе
Реферат: Гражданская война на Балтийском море
Автомобиль Көлігі Реферат
Реферат по теме Бизнес-план. Создание мини-пекарни
Реферат: Политинформация
Курсовая работа: Обеспечение техники безопасности на физкультурных занятиях в ДОУ
Экономическая Безопасность Как Правовая Категория Курсовая
Реферат На Тему Сказки И Их Значение
Реферат по теме Профессии: дальнобойщик, программист, конструктор
Реферат По Педагогике На Тему Методы Воспитания
Дипломная работа: Совершенствование сбытовой деятельности на предприятии
Статья: Клинико-рентгенологическая классификация острой спаечной обтурационной тонкокишечной непроходимости
Реферат: Римское право