Контрольная работа: Математический анализ

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХПИ»

Кафедра «Вычислительной техники и програмирования»
по курсу «Теория алгоритмов и вычислительные методы»
Исходные данные вводятся в ЭВМ как абсолютно точные числа и представляются в ней в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью в одну миллионную. Введенные данные x 0
и y 0
служат основой формирования двух векторов x=(x 0
, x 1
, …, x n
) и y=(y 0
, y 1
, …, y n
) по рекуррентным формулам:
while i < n + 1 do c := c + x i
· y i
;

и оценить аналитически и численно инструментальную абсолютную и относительную погрешности.
Поскольку данные представляются в ЭВМ в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью, то
C 2
= x 0
y 0
(1+δ) 5
+ x 0
2
(1+δ) 7
+ x 0
3
y 0
(1+δ) 10

C 3
= x 0
y 0
(1+δ) 6
+ x 0
2
(1+δ) 8
+ x 0
3
y 0
(1+δ) 11
+ x 0
4
(1+δ) 14

C 4
= x 0
y 0
(1+δ) 7
+ x 0
2
(1+δ) 9
+ x 0
3
y 0
(1+δ) 12
+ x 0
4
(1+δ) 15
+ x 0
5
y 0
(1+δ) 18

Выявим закономерность изменения C i
:
При расчете C n
без учета погрешности исходных данных и погрешности вычисления, получим
Оценим инструментально относительную и абсолютные погрешности при n = 10
Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность Δ n
g(x) = Δ n
G(k) для n = 5.
Составим таблицу всех повторных разно
стей:
Конечные разности, вычисленные аналитически и таблично Δ n

g
(
x
) =
Δ n

G
(
k
)
для n
= 5
совпали, следовательно, таблица повторных разностей составлена верно.
Таблично заданную функцию G(k)
с целочисленным аргументом представить в виде разложения по факториальным многочленам (
z
(
n
)
= z
· (
z
-1) · (
z
-2) · … · (
z
-
n
+ 1))
и преобразовать его в степенные многочлены G
(
z
)
и G
(
x
)
.
Представим функцию G
(
k
)
в виде разложения по факториальным многочленам:
Преобразуем функцию G
(
k
)
в степенной многочлен G
(
z
)
:
Так как результаты совпали, значит степенной многочлен G
(
z
)
представлен правильно.
Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(x). Зная, что получим:
Так как результаты совпали, то вычисления сделаны верно.
Вывести аналитическое выражение суммы для функции целочисленного аргумента G
(
z
)
. Проверить правильность вычисления полученного выражения прямым суммированием табличных значений G
(
k
)
, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (m = 5).
Для вычисления значения суммы используем функцию G
(
z
)
в виде разложения по факториальным многочленам, полученным в задаче 3:
Для проверки, просуммируем значения G
(
k
)
из таблицы:
-0.02 + 0.604 + 0.292 - 0.512 - 1.284 - 2.04 = - 2.96
Так как результаты вычисления аналитического выражения и суммы табличных значений G
(
k
)
совпали, значит аналитическое выражение для суммы выведено правильно.
Составить таблицу упорядоченных разделенных разностей для g
(
x
)
. Проверить правильность таблицы для разделенной разности [x 0
; x 1
; x 2
; x 3
]
по формуле ее аналитического представления.
Составим таблицу упорядоченных разделенных разностей для g
(
x
)
:
Для проверки правильности заполнения таблицы разделенных разностей, вычислим разделенную разность пятого порядка по формуле ее аналитического представления:
Так как результаты вычислений совпали, значит, таблица разделенных разностей составлена правильно.
Получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через первые четыре точки таблично заданной функции G(x), и сравнить их степенные представления.
Для нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа используем формулу
Проведем проверку вычислений, подставив x
=0.8
в интерполяционный многочлен Лагранжа, получим y 1
=0.604
Интерполяционный многочлен Ньютона находится по формуле:
l n
(x) = g 0
+ (x-x 0
)[x 0
;x 1
] + (x-x 0
)(x-x 1
)[x 0
;x 1
;x 2
] + … +
+(x-x 0
)(x-x 1
)∙ …∙(x-x n-1
)[x 0
;x 1
;x 2
;…;x n
]
Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа совпадают.
Проведем проверку вычислений, подставив x
=0.8
в интерполяционный многочлен Ньютона, получим y 1
=0.604
Вывести выражения для вычисления второй производной в точке x=x 3

в виде функций:
где ∆ n
g(0)
и g(x n
)
для n = 0,1,…,5
соответственно значения разностей в точке x = x 0

и ординаты g(x n
) = g n

из задачи N2. Значения производной вычисленные по выведенным формулам, сравнить с вычисленным значением производной, найденной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x)
:
Для вычисления производной воспользуемся оператором
Выражение для вычисления производной в точке x 0

имеет вид:
Для того, чтобы преобразовать его к выражению для вычисления производной в точке x 3
, применим оператор сдвига:
∆ 5
y 0
= -y 0
+ 5y 1
– 10y 2
+ 10y 3
– 5y 4
+ y 5


∆ 4
y 0
= y 0
- 4y 1
+ 6y 2
- 4y 3
+ y 4


Сравним это значение с вычисленным значением производной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x)
:
Значения производной равны, следовательно, вычисления сделаны верно.
Методом наименьших квадратов для таблично заданной g
(
x
)
получить аппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней (
P i

(
x
),
i
= 0, 1, 2, 3)
и изобразить их на одном графике.
Откуда a 0
= -0.93621; a 1
= 3.89576; a 2
= -2.8954; a 3
= 0.488001
P 3
(x) = -0.93621 + 3.89576x – 2.8954x 2
+ 0.488001x 3

Откуда a 0
= -0.0710314; a 1
= 0.989486; a 2
= -0.624589;
Аппроксимирующий степенной полином 2-й степени имеет вид:
P 2
(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x 2

Откуда a 0
= 0.974118; a 1
= -0.946742;
Аппроксимирующий степенной полином 1-й степени имеет вид:
Аппроксимирующий степенной полином 0-й степени имеет вид:
Для аппроксимирующего полинома третьей степени P
3

(
x
)
получить аналитические выражения Δ
n

P
3

(
x
),
n
= 0, 1, 2, 3, 4
и все конечно-разностные разностные кривые изобразить на одном графике.
Обозначим на графике все конечно-разностные кривые:
Вывести квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов с пределами [0, 1] и [-1, 1] от подынтегральных функций f(t), принадлежащих классу степенных многочленов степеней 0, 1, 2, 3. Вывод проделать для трех случаев использование в квадратурных формулах численных значений подынтегральных функций:
в) заданы значения функции в точках, обеспечивающих получение формул наивысшей алгебраической степени точности.
Значение определенного интеграла найдем, исходя из формулы:
где w 1
, w 2
— некоторые коэффициенты
w(t) = (t-t 1
)(t-t 2
) = C 0
+ C 1
t + C 2
t 2
= 0
Домножив уравнения на соответствующие коэффициенты получим:
2C 0
+ 2/3 = w 1
(C 0
+ C 1
t 1
+ t 1
2
) + w 2
(C 0
+ C 1
t 1
+ t 2
2
)
Подставляя полученные значения в первую систему, получим:
С помощью квадратурных формул, полученных в задаче 10, вычислить определенный интеграл от степенного представления интерполяционного многочлена Лагранжа (Ньютона), полученного в задаче № 6 в пределах от x 0
до x 0
+3h, и сравнить его с аналитически вычисленным значением определенного интеграла по первообразным многочлена.
Используем степенное представление интерполяционного многочлена Лагранжа из задачи 6
Для перехода к интегралу с канонической формой используем линейное преобразование: x = α + βt.
Подставив x = 1.05 + 0.75t, получим многочлен Лагранжа от переменной t:
Применим квадратурную формулу, полученную в задаче №10
Так как результаты совпали, значит, вычисления произведены верно.
Оценить погрешность определенного интеграла от функции sin(x) в пределах [0,2/3π] по квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности, полученной в задаче № 10в, по сравнению с аналитически точным. Проделать то же самое над усеченным степенным рядом, представляющим sin(x), в который x входит со степенью не выше третьей.
Проделаем те же операции над усеченным степенным рядом, представляющем sin(x):
Перейдем от пределов [0; 2π/3] к пределам [-1; 1], для этого используем линейное преобразование x = α +βt. Составим систему уравнений:
Применим квадратурную формулу, получим
Степенными полиномами Чебышева T i
относительно переменной x (|x| < 1) являются решениями линейного разностного уравнения второго порядка:
с начальными условиями T 0
= 1 и T 1
= x.
Найти аналитическое выражение и вычислить значения полинома Чебышева i-й степени, если и i = 4. Проверить вычисления непосредственно по заданной рекуррентной формуле. Найти положение нулей и экстремумов у многочленов Чебышева в общем виде и для заданных выше x и i. Оценить модуль максимально возможного значения полинома в точках экстремумов.
x i
= |y i
| надо найти T 4
т.е. для i = 4
Из T i
+2
- 2xT i
+1
+ T i
= 0 следует, что
T 3
= 2xT 2
- T 1
= 2x(2xT 1
- T 0
) - T 1

T 4
= 2xT 3
- T 2
= 2x(2x(2xT 1
- T 0
) - T 1
) - 2xT 1
+ T 0
= 8x 3
T 1
- 4x 2
T 0
- 4xT 1
+ T 0

Подставим значение T 0
= 1 и T 1
= x
T 4
= 8x 4
- 4x 2
- 4x 2
+ 1 = 8x 4
- 8x 2
+ 1
Проверим по заданной рекуррентной формуле:
T 2
= 2·0.00490·0.00490 - 1 = -0.9999
T 3
= 2·0.00490·(-0.9999) - 0.00490 = -0.01469
T 4
= 2·0.00490·(-0.01469) + 0.9999 = 0.99980
Нули функции находятся, как решения биквадратного уравнения:
Выравнивание по всей длине с течением времени температуры T(x, t) на тонком однородном хорошо теплоизолированном стержне описывается дифференциальным уравнением в частных производных с начальным распределением температуры (в градусах Цельсия) по длине стержня в 6 равномерно расположенных с шагом h точках.
T(x 0
, 0) = T 0
, T(x 1
, 0) = T 1
, …, T(x 5
, 0) = T 5
; (T i
= 100·y i
˚C).
На концах стержня в точках x -1
и x 6
удерживается нулевая температура.
Применяя конечно-разностное представление производных по пространственной переменной x, свести уравнение в частных производных к системе дифференциальных уравнений в обыкновенных производных относительно температуры T.
Учитывая начальные условия, получим систему уравнений:
Используя метод Ньютона-Рафсона, найти с относительной погрешностью в одну миллионную нуль многочлена Чебышева T i
(x), полученного в задаче 14. В качестве начального приближения к корню взять
В качестве x i
берутся |y i
| из таблицы исходных данных.
Из задачи 14 возьмем полином Чебышева T 4
= 8x 4
- 8x 2
+ 1. В качестве начального приближения к корню возьмем x нач
, вычисленное по формуле
Т.к. 8x 4
- 8x 2
+ 1 = 0, то можем сказать, что f(x нач
+ α) = 0
Воспользуемся DERIVE для нахождения корня с необходимой точностью:
получим такие значения: 0.38234, 0.382689, 0.382683, 0.382683, 0.382683.
На третьей итерации получаются значения корня с нужной точностью.
Скорость изменения переменной x(t) во времени равна функции от этой переменной f(x). Найти аналитическое выражение последней от времени, начиная с t = 0, если в начальный момент x(0) = 0. В качестве f(x) взять степенной многочлен P 2
(x), полученный в задаче 8. Протабулировать полученное решение с шагом h = 0.1 в интервале [0, 0.5].
P 2
(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x 2
= f(x)
Исходя из начальных условий, т.к. dx/dt = f(x), имеем
Протабулируем x(t) на интервале [0; 0.5] c шагом h = 0.1:
Методом Эйлера в интервале [0, 0.5] с шагом h = 0.1 получить решение нелинейного дифференциального уравнения:
Коэффициенты a, b, c взять из P 2
(x), полученного в задаче 8.
P 2
(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x 2

x 1
= 0 + 0.5· (-0.0710314) = -0.0355156
x 2
= -0.0355156 + 0.5·(-0.0710314 + 0.989486 (-0.0355156) 1
–
-0.624589· (-0.0355156 2
) = -0.053854
x 3
= -0.053854 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.053854) 1
–
- 0.624589 (-0.053854) 2
) = -0.0636315
x 4
= -0.0636315 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0636315) 1
–
-0.624589 (-0.0636315) 2
) = -0.0689304
x 5
= -0.0689304 + 0.5 (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0689304) 1
–
-0. 0.624589 (-0.0689304) 2
) =--0.071827
Проверить заданную систему из трех векторов на линейную зависимость. При обнаружении линейной зависимости поменять местами первые компоненты векторов x1,x2 и выполнить повторную проверку. Из исходных данных векторы формируются так:
x 1
= (y 0
,y 1
,y 2
); x 2
=(y 3
,y 4
,y 5
); x 3
=(h,x 0
,0).
На базе линейно независимой системы векторов x 1
, x 2
, x 3
методом Грама-Шмидта построить ортонормированную систему трех векторов:
y 1
= (y 11
,y 21
,y 31
); y 2
=(y 12
,y 22
,y 32
); y 3
=(y 13
,y 23
,y 33
).
На основе полученной системы векторов сформировать квадратную матрицу T = (y 1
,y 2
, y 3
). Вычислить det(T) и получить матрицы — обратную T -1
и транспонированную T’. Найти произведение T -1
· T, T · T’. Сделать выводы о свойствах матрицы T.
Исходные векторы x 1
= (-0.02,0.604,0.292); x 2
=(-0.512,-1.284,-2.04);
Составим матрицу и проверим ее на линейную зависимость:
det (A·A T
) = 0.23591 > 0, значит система линейно независима.
v 2
= (-0.572423, 0.54078, -1.15782);
v3 = (0.471405, 0.104651, -0.184183).
Ортонормированная матрица T состоит из собственных векторов. Определитель матрицы T равен 1. Если транспонировать ортогональную матрицу то она будет равна обратной. T’ = T -1
. Это значит, что если умножить T·T’ = E — получим единичную матрицу.
Считая числа –1, -2, -3 собственными значениями, а векторы у 1
, у 2
, у 3
из задачи 23 – собственными векторами некоторой матрицы А, найдите проекторы этой матрицы ( Р 1
, Р 2
, Р 3
), саму матрицу А и ей обратную А -1
. Получить характеристическое уравнение матрицы А и подтвердить правильность всех промежуточных вычислений.
Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:
Корни характеристического уравнения – собственные значения матрицы
Решить систему алгебраических уравнений А·x = b, где А- матрица коэффициентов из задачи 24, x = (x1, x2, x3) – векторы решения, b = (3, 2, 1) – вектор правых частей. Решение получить, используя обратную матрицу, полученную из задачи 24.

Название: Математический анализ
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа
Добавлен 14:32:03 23 июня 2009 Похожие работы
Просмотров: 134
Комментариев: 14
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

[x i
; x i
+1
; x i
+2
; x i
+3
; x i
+4
]
[x i
; x i
+1
; x i
+2
; x i
+3
; x i
+4
;x i
+5
]
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Контрольная работа: Математический анализ
Написать Сочинение О Памятнике Культуры
Курсовая работа по теме Совершенствование технологии ремонта испарителей бытовых холодильников
Реферат: Мария де лас Мерседес Орлеанская
Курсовая работа: Проектування нової конструкції шнекової фрези
Реферат: Принятия Християнства на Руси. Скачать бесплатно и без регистрации
Проблемы и перспективы развития гостиничных цепей в России
Реферат: Черная дыра. Скачать бесплатно и без регистрации
Что Такое Красота Сочинение 9.3 По Тексту
Реферат по теме Литература - Гинекология (НЕВЫНАШИВАНИЕ БЕРЕМЕННОСТИ)
Реферат по теме Факторы здоровья человека
Доклад: Ионообменные смолы
Особенности Менеджмента Курсовой
Курсовая работа: Совершенствование торгово-технологического процесса
Курсовая Работа Интернет Магазин На Php
Реферат: Финансовый контроль: формы, методы, органы
Реферат На Тему Христианство В Современном Мире
Отчет по практике: Практика в школе
Сочинение Образ Ольги Ильинской
С Каких Слов Можно Начать Сочинение
Реферат: Фрески Ферапонтова Монастыря (Дионисий)
Статья: Реклама звучащая
Реферат: Анклавный язык в составе языкового союза (к постановке проблемы)
Сочинение: Истоки зла в мире и человеке в восприятии Шекспира по произведениям Макбет, Король Лир, Гамлет