Контрольная работа: Графическое решение уравнений

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.
Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.
В 1591 году Франсуа Виет

ввел формулы для решения квадратных уравнений.
В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.
Диофант Александрийский

и Евклид
, Аль-Хорезми
и Омар Хайям
решали уравнения геометрическими и графическими способами.
В 7 классе мы изучали функции у = С,
у =
kx
, у =
kx
+
m
, у =
x
2
, у = –
x
2
,
в 8 классе – у = √
x
, у =
| x
|, у =
ax
2

+
bx
+
c
, у =
k
/
x
. В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у =
x
3
, у =
x
4
, у =
x
2
n
, у =
x
-

2
n
, у =
3
√ x
, (
x
–
a
)
2
+ ( у –
b
)
2
= r
2
и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.
Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.
График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Линейная функция задаётся уравнением у =
kx
+
b
, где k
и b
– некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.
Функция обратной пропорциональности у =
k
/
x
, где k¹ 0. График этой функции называется гиперболой.
Функция (
x
–
a
) 2
+ (у –
b
) 2
=
r
2

, где а
, b
и r
– некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А ( а
, b
).
Квадратичная функция y
=
ax
2

+
bx
+
c
где а,
b
, с
– некоторые числа и а
¹ 0. Графиком этой функции является парабола.
Уравнение у 2
(
a
–
x
) =
x
2

(
a
+
x
)
. Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.
Уравнение (
x
2

+
y
2

) 2
=
a
(
x
2

–
y
2

)
. График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.
Уравнение . График этого уравнения называется астроидой.
Кривая (x 2
y 2
– 2 a x) 2
=4 a 2
(x 2
+ y 2
)
. Эта кривая называется кардиоидой.
Функции: у =
x
3
– кубическая парабола, у =
x
4
,
у = 1/
x
2
.
2. Понятие уравнения, его графического решения

Уравнение
– выражение, содержащее переменную.
Решить уравнение
– это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.
Корень уравнения
– это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Решение уравнений графическим способом
позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.
При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим.
Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек пересечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.
3. Алгоритм построения графика функции

Зная график функции у =
f
(
x
)
, можно построить графики функций у =
f
(
x
+
m
)
, у =
f
(
x
)+
l
и у =
f
(
x
+
m
)+
l
. Все эти графики получаются из графика функции у =
f
(
x
)
с помощью преобразования параллельного переноса: на │
m
│
единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на │
l
│
единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y
.
4. Графическое решение квадратного уравнения

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.
Что знали о параболе древние греки?
Современная математическая символика возникла в 16 веке.
У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.
Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский
, живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).
Существует алгоритм построения параболы:
• Находим координаты вершины параболы А (х 0
; у 0
): х 0
=-
b
/2
a
;
• Находим ось симметрии параболы (прямая х=х 0
);
• Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;
• Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.
1. По алгоритму построим параболу y
=
x
2

– 2
x
– 3
. Абсциссы точек пересечения с осью x
и есть корни квадратного уравнения x
2

– 2
x
– 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.
2. Разобьём уравнение на две функции: y
=
x
2

и y
= 2
x
+ 3
. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
3. Разобьём уравнение на две функции: y
=
x
2

–3
и y
=2
x
. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
4. Преобразуем уравнение x
2

– 2
x
– 3 = 0
при помощи выделения полного квадрата на функции: y
= (
x
–1) 2

и y
=4.
Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
5. Разделим почленно обе части уравнения x
2

– 2
x
– 3 = 0
на x
, получим x
– 2 – 3/
x
= 0
, разобьём данное уравнение на две функции: y
=
x
– 2,
y
= 3/
x
.
Корни уравнения – абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.
5. Графическое решение уравнений степени
n

Пример 1.
Решить уравнение x
5

= 3 – 2
x
.

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y
=
x
5

,
y
= 3 – 2
x
.

Пример 2.
Решить уравнение 3

√
x
= 10 –
x
.

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y
=
3

√
x
,
y
= 10 –
x
.

Рассмотрев графики функций: у =
ax
2

+
bx
+
c
, у =
k
/
x
, у = √
x
, у =
| x
|, у =
x
3
, у =
x
4
, у =
3
√ x
,
я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x
и y
.

На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений степени n.
Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.
В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.
На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.
1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.
5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.
6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

Название: Графическое решение уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа
Добавлен 23:22:19 03 ноября 2010 Похожие работы
Просмотров: 5116
Комментариев: 16
Оценило: 4 человек
Средний балл: 4.5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Контрольная работа: Графическое решение уравнений
Эссе Черты Социального Правового Государства
Реферат по теме Налогообложение религиозных организаций
Курсовая работа по теме Разработка технологического процесса для изготовления детали 'Чашка левая' в условиях серийного производства на станках с ЧПУ
Реферат: Создание бизнес модели дома отдыха коттеджного типа Рамина. Скачать бесплатно и без регистрации
Доклад по теме Варикозная болезнь. Лечебная тактика
Реферат: Своєрідність юридичної діяльності в англо-американській правовій сім’ї
Пользуемся шпаргалками правильно
Статья На Тему Методологічні Підходи До Означення Суті, Змісту Та Основних Напрямів Полікульткрної Освіти
Доклад по теме Школа и учитель Средневековья
Сочинение Образ Матери В Поэме Ахматовой Реквием
Реферат по теме Расчет усилителя звуковой частоты
Сочинение На Тему Мой Любимый Исполнитель Музыки
Реферат На Тему Античная Эстетика
Реферат: Архитектура мостов. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Право обвиняемого на защиту и его соотношение с презумпцией невиновности. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат По Физике Миша Набирал На Компьютере 3 Дня В Первый День 2022
Курсовая работа по теме Экономика производства молока
Формы Финансового Регулирования Экономики Курсовая
Развитие Сестринского Дела За Рубежом Реферат
Дипломная работа по теме Организация проведения аттестации персонала на примере МДОУ Красногорский детский сад 'Солнышко'
Доклад: Время и характер
Реферат: Трансакционный анализ
Реферат: Допустимость доказательств в уголовном процессе