Контрольная работа: Экстремальная задача на индексационных классах

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах
Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)
В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.
Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR 1
, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A 1
(-1) k-i
g(x i
), ;
б) существуют точки y 1
, …, y k
(-¥ (-1) k-i
g(y i
), .
Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, gÎF.
Определение 2. Пишем , если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений: , , , . Пишем , если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно из отношений: , , , .
Функция f имеет индекс k -
в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k +
в F, если выполнено и не выполнено .
Через I k
-
(I k
+
), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k -
(k +
) в F.
Пусть U – семейство функций на [0, ¥).
Через F U
обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы
В случае положим , fÎF U
, AÌF U
, :
Множество называется моментным пространством класса F относительно системы функций .
Лемма 1. Пусть системы u 1
(t), …, u n
(t) и u 1
(t), …, u n
(t), u n
+1
(t) образуют T +
-системы на [0, ¥) такие, что . Тогда отношение невозможно для и, если , то
Доказательство. Допустим, что , где k£n, и A 1
, …, A k
– множества строгого знакопостоянства функции D=g - f. Для векторов рассмотрим матрицу
где d i
(-1) k
-
i
, и d i
=0, для всех векторов .
Из (1) следует, что detH( )=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H( ), получим
где 0£x 1
0, . Вместе с равенством d n
+1
=1 это означает, что d>0.
Определение 3. Скажем, что последовательность {f i
} i
³
1
функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функции f , если
Определение 4. Множество AÌF U
назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид , где V открыто, при , при .
Множество AÌF U
назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.
Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:
1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)£L при t³0, fÎF;
3. Множества I k
-
(k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Из любой последовательности {f i
} i
³
1
ÌI -
k
+1
(k>n) такой, что
можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции .
Пусть система образует T +
- систему на [0, ¥).
Рассмотрим систему функций , такую, что w i
=u i
для и - T +
- системы для m³n (см. [1]).
Теорема 1. Пусть система образует T +
- систему на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
Доказательство. Пусть . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {f j
} j
³
1
ÌI k
-
такая, что . Зафиксируем произвольное f l
.
Если f l
ÎI k
-
, где k£n+1, то положим f l
*
=f l
.
Пусть k>n+1 и s={ } – (k-1, W) окрестность f l
в I k
-
.
Рассмотрим произвольные и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и невозможны для s£k-1. Следовательно, и , что невозможно.
Таким образом, отображение непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что - открытое множество в R k
-1
, содержащее .
Пусть , и - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x 1
, …, x k
-2
. Условие b k
-1
=0 противоречит чебышевости системы . Положим b k
-1
>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>x k
-2
.
где c l
i
– i-ая компонента вектора , и, следовательно,
Так как константа К не зависит от f, то m l
>-¥.
Возьмем последовательность , такую, что
F k
-1
(f lp
)>F k
-1
(f lq
)=m l
при pn+1;
4. Для k>n из любой последовательности {f i
} i
³
1
ÌI k
+
такой, что
можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ;
Теорема 2. Пусть система образует T +
-систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
Определение 6. Систему непрерывных на [0, ¥) функций назовем T +
1
-системой, если она является T +
-системой, и, кроме того, системы u 1
, …, u l
-1
, u l
+1
, …, u n
также являются T +
-системами для .
Лемма 2. Пусть - T +
1
-система на [0, ¥), функции f и g таковы, что
(-1) n-i
F i
(f) ³ (-1) n-i
F i
(g), .
Тогда отношения , и , , невозможны.
Доказательство. Допустим, что имеет место отношение и 1£p£n.
Пусть x 1
, …, x p
-1
(-¥0, detA n
i
>0, . Следовательно, h n
£0. Получили противоречие.
Случай , , рассматривается аналогично.
Теорема 3. Пусть - T +
1
-система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и
Согласно теореме 1, для любого найдется последовательность такая, что .
Существует j 1
, такое, что , где r - какая-либо метрика в R n
, и
Продолжая таким образом, получим последовательность такую, что и
Рассмотрим произвольные и . Отношения и для k>n невозможны, в силу условий .
Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем
т. е. существует функция такая, что . Включение противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.
Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах

Пусть Â – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -¥0 для tÎ[a, b] и ; c 1
, …, c n
– вещественные константы; xÎ[a, b].
Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла
на множестве ФР из Â, удовлетворяющих ограничениям
Для классов Â o
- всех ФР на [a, b] и В L
– ФР на [a, b], удовлетворяющих условию , -¥0 при tÎ[a, b], то Á s
(x) не убывает по x.
Далее, из s k
Þs при k®¥ следует Á ÞÁ s
. Следовательно, семейства распределений {Á } и {Á } непрерывны.
Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B 0
(f)<…0 (или (-1) j
+1
f(x)>0 при xÎB j
(f), и f(x)=0 при .
Лемма 1. Для любого распределения Á (Á ) и для любого Á m
, , функция Á m
- Á
(Á m
- Á ) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].
Доказательство. Предположим, что функция Á m
- Á имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a 0, . Кроме того, Á m
(a)=Á (a)=0. Следовательно, существуют точки y 0
Î[a, x 0
), y 1
Î[x 0
, x 1
), …, y n
+3
Î[x n
+2
, x n
+3
) такие, что функция (-1) i
[m(t) - h a
(t)] возрастает в точке y i
, , что противоречит условию .
Очевидно, что последовательности u 0
, …, u k
, , образуют T +
- системы на [a, b]. Из условия W (
k
)
(t)>0 для tÎ[a, b] и следует (см. [1]), что последовательности –u 0
, …,-u k
, также образуют T +
- системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция Á m
- Á
не может иметь n+1 строгих перемен знака.
Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами B i
(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P 0
(f)=(-¥, infB 1
(f)], P i
(f)=[supB i
-1
(f), infB i
+1
(f)],
Зафиксируем ФР . Рассмотрим два класса функций
{D a
=Á s
- Á
:aÎ[0,1]} и {d b
=Á s
- Á
:bÎ[0,1]}.
Число a (число b) назовем: параметром первого типа, если функция D a
(d b
) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция D a
(d b
) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция D a
(d b
) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция D a
(d b
) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.
Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X 0
(a), …, X n
+2
(a) (Y 0
(b), …, Y n
+2
(b)) следующим образом. Если a (b) есть:
X i
(a)=P i
(D a
), (Y i
(b)=P i
(d b
), );
X i
(a)=P i-1
(D a
), , X 0
(a)=(-¥, infB 0
(D a
)],
(Y i
(b)=P i
(d b
), , Y n+2
(b)=(supB n+1
(d b
), +¥));
X i
(a)=P i
(D a
), , X n
+2
(a)=[supB n
+1
(D a
), +¥)),
(Y i
(b)=P i
-1
(d b
), , Y 0
(b)=(-¥, infB 0
(d b
)]).
(-1) n-i
D a
(t)£0 при tÎIntX i
(a), , (1)
(-1) n-i
d b
(t)³0 при tÎIntY i
(b), .
При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntX i
(a) и (-1) n
-
i
D a
(t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntY i
(b) и (-1) n
-
i
d b
(t)³0 при tÎY.
Заметим также, что X i
(0)=Y i
+1
(0), X i
+1
(1)=Y i
(1).
Определение 2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR 1
непрерывно, если из g i
®g 0
, x i
®x 0
, где g 0
, g i
Î[0, 1], x i
ÎZ(g i
), i³1, следует x 0
ÎZ(g 0
).
Лемма 2. Отображения X i
(a), Y i
(b), непрерывны.
Доказательство. Пусть a j
®a, j®¥. Обозначим через границы отрезка X i
(a j
). Определим a 0
=-¥. Возьмем произвольную точку a 1
сгущения последовательности {a 1
(
j
)
} j
³
1
. Пусть для удобства . Проделаем ту же операцию с последовательностями {a i
(
j
)
} j
³
1
, и {b i
(
j
)
} j
³
1
, . Положим b n+2
=+¥.
причем -¥=a 0
0 выберем x¢N выполнено неравенство ½Á
(x¢)-Á s
(x¢)½N. Так как Á
(x¢) £Á
(x), то Á s
(x) - Á
(x)0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Â х
решается, и в переносе предельным переходом x®¥ решения на класс Â.
Для любого x>0 введем подкласс класса Â: Â х
={sÎÂ:s(x+0)=1}.
Предположим, что для любого x>0 Â х
- индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).
Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на [0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x0 и т. д.
Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение
где I i
-
- множество всех ФР, имеющих индекс i -
в Â.
Кроме того, для этих классов справедливо включение , и следовательно,
Доказательство. Пусть . Из выпуклости множества следует, что точка является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы , и числа l 1
>0, …, l n
>0, l n
+1
>0 такие, что .
Из (2) следует существование последовательностей , таких, что
Тогда для достаточно больших k выполнено равенство
Из леммы 1 следует, что для достаточно больших x. Так как класс Â x
является индексационным на [0, x], то ([5])
где , ( ) – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе Â x
.
Вид экстремальных ФР и для рассматриваемых классов имеется в [5].
2 0
. Второй подход продемонстрируем на примере класса Â 0
всех ФР на [0,¥).
Лемма 2. Если u 0
, u 1
, …, u n
– T +
-система на [0,¥), то для всех i и j существуют пределы .
Доказательство. Из определения T +
-системы следует, что для произвольных i, j и чисел a,b функции u j
(t) и au j
(t)+bu j
(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.
Пусть х – наибольшее решение уравнения u j
(t)=0. Рассмотрим уравнение
Уравнение (u i
(t)¹0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ¥) при любых a,b.
Допустим, что не существует, т. е. Аt 0
.
Легко видеть, что системы v 0
, v 1
, …, v n
и v 0
, v 1
, …, v n
, W являются T +
-системами на [0, ¥).
Предположим, что эти системы являются T +
-системами также на [0, ¥], т. е. для любых 0£t 0
Контрольная работа: Экстремальная задача на индексационных классах
Золотой Болван Все Болван Сочинение
Реферат по теме Организация пригородного движения
Сочинение По Английскому Класс Моей Мечты
Электронное Образование Реферат
Сочинение На Тему История Народного Промысла
Комплект Схем Для Курсовой По Пэу
Курсовая работа по теме Межэтнические отношения
Реферат Социально Психологические Основы Экономики
Курсовая работа по теме Правосубъектность свидетеля в уголовном процессе
Контрольная работа по теме Проектирование деталей машин
Топик: myth of managment
Бизнес-План На Тему Бізнес-План На Відкриття Готелю "Гальшка" В М. Острог
Реферат по теме Вимірювання твердості за Роквеллом
Доклад: Западные модели учета. Виды учета в зарубежной практике
Презентация На Тему Искусство Граффити
Курсовая работа: Политические режимы. Скачать бесплатно и без регистрации
Он Растяпа Этот Вовка Сочинение 15.3 Авторитет
Титульный Лист Реферата Тгту Тамбов
Эссе Зачем Нужна Мне Совесть
Спотлайт 8 Входная Контрольная Работа
Отчет по практике: Основи правознавства
Курсовая работа: Понятие и значение Я-концепции
Реферат: Основные фонды коммерческого предприятия