Контрольная работа: Экономико-математические методы и прикладные модели

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.
Расход исходных продуктов на тонну краски, т
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден.ед. для краски Е и 2000 ден.ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Цена краски Е составляет 3000 (ден. ед.), а цена краски I –2000 (ден. ед.). Необходимо максимизировать целевую функцию:
Первое ограничение по продукту А Х 1
+2Х 2
≤6. Прямая Х 1
+2Х 2
=6 проходит через точки (0;3) и (6;0).
Второе ограничение по продукту В 2Х 1
+Х 2
≤8. Прямая 2Х 1
+Х 2
=8 проходит через точки (0;8) и (4;0).
Третье ограничение Х 2
≤2. Прямая Х 2
=2 проходит параллельно оси Х 1
через точку Х 2
=2.
Четвертое ограничение Х 2
-Х 1
≤1. Прямая Х 2
-Х 1
=1 проходит через точки (0;1) и (-1;0).
Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.

Решением неравенств будет являться полуплоскость, лежащая ниже пересекающихся прямых Х 1
+2Х 2=
6, 2Х 1
+Х 2=
8, Х 2=
2, Х 2
-Х 1=
1.
При максимизации функции линия уровня перемещается по направлению вектору – градиенту.
Прибыль фирмы будет максимальной, т.е. 12650 ден. ед., если ежедневно будет производиться 3,33 т краски Е и 1,33 т краски I.
При решении задачи на минимум – решений не будет.
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Нормы расхода ресурсов на ед. продукции
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
· проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
· определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
· оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
1)
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Х 1
- норма расхода ресурса первого вида
Х 2
- норма расхода ресурса второго вида
Х 3
- норма расхода ресурса третьего вида.
Оптимальный план найдем через Поиск решений в надстройках Excel (рис. 2.1) и (рис. 2.2).
Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4000 ед.) предприятие может получить при выпуске 40 единиц изделия 1 вида и 40 единиц изделия 2 вида. При этом ресурс «труд» и «сырье» будут использованы полностью, из 140 единиц оборудования будет использовано только 80 единиц.
Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета рис. 2.3
Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам

Рабочий лист: [Контр.раб 2.5.xls]кр 2.5

В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных , которые соответственно равны 40; 40; 0; значение целевой функции – 4000, а также недоиспользованный ресурс «оборудование» в размере 60 единиц.
2)
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Число неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 3 ограничения: труд, сырье и оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 3 неизвестных:
двойственная оценка ресурса оборудования
Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:
Необходимо найти такие «цены» на типы сырья ,чтобы общая стоимость используемых типов сырья была минимальной.
Ограничения. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче 3 ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость типа сырья, затраченного на производство единицы продукции.
Каждое ограничение соответствует определенной норме расхода сырья на единицу продукции:
Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.
Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности
Подставим оптимальные значения вектора в полученные выражения
В задаче и , поэтому первое и второе ограничения двойственной задачи обращаются в равенства
Решая систему уравнений получим, y 1
= 6,67, y 2
= 33,33, y 3
= 0.
Проверяем выполнение первой теоремы двойственности
Это означает, что оптимальный план двойственной задачи определен, верно.
Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений – Отчет по устойчивости (рис.2.4).
Microsoft Excel 10.0 Отчет по устойчивости

Рабочий лист: [Контр.раб 2.5.xls]кр 2.5

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора :
Затраты на 3 изделия превышают цену ( ). Это же видно и в отчете по устойчивости (рис. 2.4) значения (нормир. стоимость) равно -6.67. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу изделия больше чем цена изделия. Эти изделия не войдут в оптимальный план из-за их убыточности.
4)
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

Запасы сырья по первому и второму виду были использованы полностью, а по третьему виду – оборудование - было недоиспользовано 60.
Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины приводит к увеличению или уменьшению . Оно определяется:
Из расчетов видно, если мы увеличим запасы сырья на 18 единицы, то выручка возрастет на 600 единиц, т. е общая выручка составит после изменения запасов 4600 единиц.
При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на них не изменились.
Изменение общей стоимости продукции на 600 ед. получено за счет увеличения плана выпуска 1 вида продукции на 24 ед по цене 40 ед (40*(64-40)=960 ед.) и уменьшения на 6 ед. плана выпуска продукции 2 вида по цене 60 (60*(34-40)=-360 ед.)
Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Для оценки целесообразности включения в план изделия четвертого вида воспользуемся вторым свойством двойственной оценки.
т.к. 80>70, то включение в план изделия четвертого вида невыгодно.
Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида; второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутренне потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a
ij
( i
=1,2,3; j
=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y i

вектора конечной продукции Y.
1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=( a
ij
) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
1) Проверить продуктивность технологической матрицы
A
=(а
ij

) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

1.1. Для решения данной экономической задачи будет выбрана среда табличного процессора MS Excel. (рис. 3.1)
1.2.
Найдем разность между единичной матрицей Е и матрицей А.
Для этого воспользуемся правилом вычитания матриц одинаковой размерности. (рис. 3.2)
1.3.
Найдем обратную матрицу . Воспользуемся встроенными функциями MS Excel (математические, обратная матрица) (рис. 3.2).
1.4.
Чтобы определить Валовую продукцию (матрицу ), надо матрицу = умножить на Конечный продукт (матрицу ). Воспользуемся опять встроенными функциями MS Excel (математические, умножение матриц) (рис. 3.3).
Определение валовой продукции (матрица )

1.5.
Матрица
(матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор
.
2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

2.1.
Для распределения продукции предприятий холдинга необходимо найти
(рис. 3.4)
Распределение продукции предприятий холдинга

2.2.
Построим межотраслевой баланс производства (рис. 3.5)
Условно чистая продукция
– это разность между валовым продуктом и суммой продуктов, которые потребляет каждая отрасль.
1) Матрица
(матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор
.
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y (
t
)
(млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y (
t
)
этого показателя приведен в таблице.
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Y
(
t
) =
a
0

+
a
1

t
, параметры которой оценить МНК ( Y
(
t
)) –
расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S–критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%)
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
1). Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число ( ) (таблица 4.1).

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.
Все полученные значения сравнили с табличными значениями, не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.
2) Построить линейную модель ,
параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel (рис. 4.2).
Результат регрессионного анализа
содержится в таблице 4.2 и 4.3.
Во втором столбце табл. 4.3 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а 0
, а 1
, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t – статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение регрессии зависимости (спрос на кредитные ресурсы) от (время) имеет вид (рис. 4.5).
3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/
S
-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью
d
– критерия Дарбина – Уотсона
по формуле:
Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от 0 до d 1
, т.е. в интервал от 0 до 1,08, то свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.
3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 √ (16n-29)/90]
Количество поворотных точек равно 6 (рис.4.5).
Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:
- максимальный уровень ряда остатков,
- минимальный уровень ряда остатков,
Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
В таблице 4.3 собраны данные анализа ряда остатков.
Вывод: модель статистики неадекватна
4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:
Расчет относительной ошибки аппроксимации

Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.
5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 4.10)
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости , следовательно, доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при равен 1,12.
Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (таб. 4.11).
6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Преобразуем график подбора (рис. 4.5), дополнив его данными прогноза.

Название: Экономико-математические методы и прикладные модели
Раздел: Рефераты по экономико-математическому моделированию
Тип: контрольная работа
Добавлен 05:59:04 22 марта 2008 Похожие работы
Просмотров: 3863
Комментариев: 16
Оценило: 4 человек
Средний балл: 4.3
Оценка: неизвестно   Скачать

Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Контрольная работа: Экономико-математические методы и прикладные модели
Дифференциальные Уравнения Второго Порядка Контрольная Работа
Реферат: Структурные и организационные особенности Московского религиозно-философского общества памяти Владимира Соловьёва
Рецензия На Магистерскую Диссертацию Семейное Право
Лжедмитрий 1 Эссе По Истории
Курсовая работа: Система трудового права в Україні в умовах формування ринкових відносин. Конституційні основи права людини на труд
Международная Торговля Реферат По Экономике
Курсовая работа: Монтаж и эксплуатация электрооборудования
Курсовая работа по теме Профориентация старшеклассников
Контрольная работа по теме Теорія ймовірностей та математична статистика
Курсовая Работа На Тему Исполнение Наказания В Виде Штрафа
Реферат Правовой Статус Личности Кратко
Тезис И Аргументы Примеры В Сочинении
Реферат: Отиты у собак
Анализ Управленческих Решений Реферат
Дипломная работа по теме Трудовые резервы компании
Доклад: Историческая справка о Рождественских чтениях
Сочинение На Тему Проблемы Сухопутных Стран
Курсовая работа по теме Материальная культура германцев (по Тациту)
Реферат по теме Принципы функционирования современных персональных электронных вычислительных машин
Собрание Сочинений В 11 Томах
Реферат: Зменшення "Блочного ефекту" при передачі зображення
Реферат: Конвенции "Урегулирование споров"
Реферат: Управление образовательными системами