Контрольная работа: Дифференциальные уравнения

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
1. Расстояние d между точками M 1
(x 1
;у 1
) и М 2
(х 2
;у 2
) определяется по формуле:
Подставив в эту формулу координаты точек А и В имеем:
2. Уравнение прямой, проходящей через точки М 1
(х 1
;у 1
) и М 2
(х 2
;у 2
), имеет вид:
Подставив в формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
Для нахождения углового коэффициента k ab
прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:
Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.
Для нахождения углового коэффициента k aс
прямой АС разрешим полученное уравнение относительно у:
3. Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k 1
и k 2
, определяется по формуле:
Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее
k 1
= k ab
= -3/4, k 2
= k ac
= 1/2.
4. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М 1
(х 1
;у 1
) в заданном угловом коэффициенте k имеет вид:
Подставив в формулу (4) координаты точки С и k cd
= 4/3, получим уравнение высоты CD:
у – 10 = 4/3(х – 3) , у – 10 = 4/3х – 4 , 4х – 3у + 18 = 0. (CD)
Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):
Подставив в формулу (1) координаты точек C и D, находим:
СD= √(-3 -3) 2
+ (2 -10) 2
= √36 + 64 = 10 .
5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид:
Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:
Следовательно E(0;6) и R = CD/2 = 5. Используя формулу (5), получим уравнение искомой окружности:
(х – 0) 2
+ (у – 6) 2
= 25, х 2
+ (у – 6) 2
= 25.
6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая прямая ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В. Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:
поэтому искомое неравенство имеет вид:
Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:
Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:
Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В:
Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:
Даны векторы a 1
, a 2
, a 3
, b . Показать, что векторы a 1
, a 2
, a 3
образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.
a 1
(5;3;1) , а 2
(-2;-1;2) , а 3
(-2;1;4) , b(3;0;1)
1. Система векторов в пространстве R n
линейно независима тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель, строками (столбцами) которого являются координаты векторов системы:
Подставив в формулу (1) координаты векторов a 1
, a 2
, a 3
найдем определитель:
Так как определитель не равен нулю, то данные три вектора являются линейно независимыми. Соответственно они образуют базис трехмерного пространства.
2. Вычислим координаты вектора b в новом базисе. А – матрица перехода.
Нам необходимо определить координаты b new
.
Для нахождения обратной матрицы применяется формула
Необходимо найти все элементы для составления обратной матрицы:
Подставляем полученные элементы в формулу (3) и найдем А -1
:
Подставив значения А -1
и вектора b в формулу (2), найдем координаты вектора b в новом базисе:
Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:
Обозначим через матрицу А – матрицу коэффициенты при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных Х, У, Z ;
H – матрицу-столбец свободных членов:
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:
Если матрица А – невырожденная (ее определитель Δ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А -1
. Умножив обе части уравнения (1) на А -1
, получим:
Но А -1
* А = Е (Е- единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому
Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А -1
.
где А ij
(i=1,2,3; j=1,2,3) – алгебраическое дополнение элемента а ij
в определителе матрицы А, которое является произведением (- 1) ij
на минор (определитель) второго- порядка, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца в определителе матрицы А.
Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения А ij
элементов матрицы А.
Следовательно матрица А имеет обратную матрицу А -1
.
По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:
а) Подстановка предельного значения аргумента х = 3 приводит к неопределенному выражению вида .
Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим на множитель (х – 3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х – 3) отличен от нуля при х →3:
б) При х→∞ выражение дает неопределенность вида . Для устранения этой неопределенности применим правило Лопиталя. Для разыскания предела отношения двух функций, бесконечно больших при х→∞, можно рассматривать отношение их производных .Если оно стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к тому же пределу стремится и отношение .
в) Обозначим arctg 3х = у. Тогда 3х = tg у и у→0 при х→0. Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела lim sin α/ α = 1, имеем:
г)При х→∞ выражение является неопределенностью вида 1 ∞
. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при х→∞ величины и применим формулу второго замечательного предела:
Пусть 3х – 1 = - у . Тогда 6х + 4 = - 2у + 6 и у→ -∞ при х→∞. Переходя к переменной у, получим:
а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:
в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у′ нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у′ .
3у 2
у′ + е ху
(у + ху′) = 0, 3у 2
у′ + уе ху
+ хе ху
у′ = 0,
Из последующего уравнения находим у′:
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме:
1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на непрерывность;
3) определить, является ли данная функция четной, нечетной;
4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума;
5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;
6) найти асимптоты графика функции.
1. Функция определена при всех значениях аргумента х.
2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервале (- ∞; ∞).
3. Для установления четности и нечетности функции проверим выполнимость равенств f(- х) = f( х) (тогда f( х) – четная функция) или f(-x) = - f(х) (для нечетной функции) для любых х и – х из области определения функции:
Следовательно, f(-х) ≠ f(x) и f(-х) ≠ -f(х), то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:
у′ = 0 при х 1
= - 3, х 2
= 3. Тем самым имеем две критические точки, обе принадлежать области определения функции.
Разобьем числовую ось на три интервала: (- ∞; - 3), (- 3; 3), (3; ∞).
В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х = -3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:
При переходе через точку х = 3 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум:
На рис. 1 знаками +, - указаны интервалы знакопостоянства производной у′, а стрелками – возрастание и убывание исследуемой функции.
5. Для определения точек перегиба графика и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:
у′′ = 0 при х 1
= 0, х 2
= - 3√3 , х 3
= 3√3.
Разобьем числовую ось на четыре интервалы: (-∞;-3√3), (-3√3 ;0), (0;3√3), (3√3 ; ∞).
На первом, втором и четвертом интервалах вторая производная у′′ положительна и дуга исследуемой кривой вогнута; на третьем интервале у′′ отрицательна – дуга выпукла.
При переходе через точки х = 0 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 0 – абсцисса точки перегиба.
Следовательно С(0;1) – точка перегиба графика функции.
При переходе через точку х = 3√3 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 3√3 - абсцисса точки перегиба.
Следовательно – точка перегиба графика функции.
6. Так как точек разрыва у данной функции нет, соответственно вертикальной асимптоты она не имеет. Для определения уравнения наклонной асимптоты у=kx + b воспользуемся формулами:
При вычислении пределов использовалось правило Лопиталя.
Значит прямая у=1 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции.
Найти неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.
а) Применяя свойства неопределенного интеграла и формулы табличных интегралов имеем:
Вычислить объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями ху=4; х=1; х=4; у=0. Сделать чертеж.
Объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями определяется по формуле:
Подставим в формулу (1) у = 4/х, х 1
= 1, х 2
= 4, получим:
Ответ: объем тела вращения равен 12π

Название: Дифференциальные уравнения
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа
Добавлен 01:42:30 08 мая 2010 Похожие работы
Просмотров: 329
Комментариев: 15
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Контрольная работа: Дифференциальные уравнения
Реферат: Учение римских юристов о праве
Факторы разнообразия людей.роль генетического и социокультурного наследования в расслоении общества
Диссертация По Зайцу
Реферат: Учет товарных запасов 2
Реферат по теме Одесская область
Реферат по теме Разработка месторождений газоконденсатного типа
Реферат Сжиженные Углеводородные Газы
Курсовая работа по теме Проектирование автомобильной дороги в Челябинской области
Сочинение Что Делает Базарова Героем Нашего Времени
Реферат по теме Новый метод развития координации движений у инвалидов по зрению
Дипломная работа по теме Разработка программного средства 'Профориентация'
Реферат по теме Государственный Исторический Музей
Реферат: Современное состояние банковской системы Японии
Курсовая работа: Оценка бизнеса
Реферат: Волевые процессы в возрастной психологии. Скачать бесплатно и без регистрации
Эссе В Чем Жизненное Кредо Юрия Живаго
Доклад: Восстание Боудикки
Контрольная Работа По Алгебре Номер Два
Сочинение На Тему Черная
Курсовая работа: Графический редактор CorelDraw рисование сложных фигур создание пейзажей
Реферат: Международные автомобильные перевозки
Реферат: Налогообложение в России, его влияние на цены и деловую активность. Налогообложение в других странах
Доклад: Сказочный город Рио-де-Жанейро